高数函数的单调性与极值.ppt

1 主讲教师 王升瑞 高等数学 第十八讲 2 第九节 一 函数的单调性 二 函数的极值及其求法 函数的单调性与极值 第二章 3 一 函数的单调性 若 定理1 设函数 则在I内单调递增 递减 证 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 故 这说明在I内单调递增 在开区间I内可导 证毕 I称为单调递增 递减 区间 4 例1 确定函数 的单调区间 解 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 为驻点 5 说明 单调区间的分界点除驻点外 也可是导数不存在的点 例如 2 如果函数在某驻点两边导数同号 则不改变函数的单调性 例如 6 例2证明 证 令 令 从而 成立 7 例3 证明 证 设 则 故 时 单调增加 从而 即 思考 证明 时 如何设辅助 函数更好 提示 8 例4求证 证法一 设 当 时 当 时 综上可知 无论 为什么值 总有 则不等式 成立 当 时 9 例4求证 证法2 设 则无论 为什么值 总有 则不等式 成立 对f x 在0与x之间应用拉格朗日中值定理 有 式中 在0与x之间 由于 与x同号 10 例5证明 在 证明 令 在 上利用拉格朗日中值定理得 故当 时 从而 在 内单调增加 内单调增加 此函数为幂指函数 两边取对数 11 例5证明方程 在区间 0 1 内有且仅有一个实根 证明 设 在区间 0 1 上连续 由零点定理 使 即 的根存在 又 单调增加 的图形至多与x轴有一个交点 所以方程仅有唯一解 12 二 函数的极值及其求法 定义 在其中当 时 1 则称为的极大点 称为函数的极大值 2 则称为的极小点 称为函数的极小值 极大点与极小点统称为极值点 13 注意 为极大点 为极小点 不是极值点 2 对常见函数 极值可能出现在导数为0或不存在的点 1 函数的极值是函数的局部性质 例如 P146例4 为极大点 是极大值 是极小值 为极小点 14 定理2 极值存在的必要条件 如果 在x0处可导 且在x0处取得极值 则 证明略 使 的点称为函数 的驻点 定理2告诉我们 可导函数的极值点必定是驻点 但驻点未必是极值点 寻求函数的极值点首先要找 的驻点以及不可导的点 再判断其是否为 极值点 15 定理3 极值第一判别法 且在空心邻域 内有导数 自证 点击图中任意处动画播放 暂停 0 为极小值 为极小点 如 16 例1 求函数 的极值 解 1 求导数 2 求极值可疑点 令 得 令 得 3 列表判别 是极大点 其极大值为 是极小点 其极小值为 17 定理4 极值第二判别法 二阶导数 且 则在点取极大值 则在点取极小值 证 1 存在 由第一判别法知 2 类似可证 18 例2 求函数 的极值 解 1 求导数 2 求驻点 令 得驻点 3 判别 因 故为极小值 又 故需用第一判别法判别 19 试问 为何值时 解 由题意应有 又 取得极大值为 并求出该极值 指出它是极大还是极小 例3 20 内容小结 1 可导函数单调性判别 在I上单调递增 在I上单调递减 2 连续函数的极值 1 极值可疑点 使导数为0或不存在的点 2 第一充分条件 过 由正变负 为极大值 过 由负变正 为极小值 3 第二充分条件 为极大值 为极小值 21 思考与练习 1 设 则在点a处 的导数存在 取得极大值 取得极小值 的导数不存在 B 提示 利用极限的保号性 22 2 设 A 不可导 B 可导 且 C 取得极大值 D 取得极小值 D 提示 利用极限的保号性 23 3 设 是方程 的一个解 若 且 A 取得极大值 B 取得极小值 C 在某邻域内单调增加 D 在某邻域内单调减少 提示 A 24 作业 P1491 1 2 2 3 2 4 4 5 2 3 6 6 7 8 25 思考与练习 上 则 或 的大小顺序是 提示 利用 单调增加 及 B 1 设在 26 2 曲线 的凹区间是 凸区间是 拐点为 提示 及 27 4 设函数 由方程 所确定 求 的极值 令 得 代入原方程得 由 所以函数 在 处有极小值 解方程两边同时对x求导整理得 28 9 设函数 在 内连续 在 内存在 且 证明当 时 函数 单调增加 因 故 单调增加 因此 从而知 单调增加 解