浙大概率论与数理统计课件第3章节.ppt

1 第三章多维随机变量及其分布 关键词 二维随机变量分布函数分布律概率密度边缘分布函数边缘分布律边缘概率密度条件分布函数条件分布律条件概率密度随机变量的独立性Z X Y的概率密度M max X Y 的概率密度N min X Y 的概率密度 2 1二维随机变量 问题的提出例1 研究某一地区学龄儿童的发育情况 仅研究身高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的 需要同时考察每个儿童的身高和体重值 研究身高和体重之间的关系 这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量 例2 研究某种型号炮弹的弹着点分布 每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定 而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量 3 分布函数的性质 4 5 二维离散型随机变量 定义 若二维随机变量 X Y 全部可能取到的不同值是有限对或可列无限对 则称 X Y 是离散型随机变量 离散型随机变量的联合概率分布 为二维离散型随机变量 X Y 的联合概率分布 可以用如右表格表示 6 分布律的性质 例1 设随机变量X在1 2 3 4四个整数中等可能地取一个值 另一个随机变量Y在1 X中等可能地取一整数值 试求 X Y 的联合概率分布 解 X i Y j 的取值情况为 i 1 2 3 4 j取不大于i的正整数 即 X Y 的联合概率分布为 7 8 例2 X Y 的联合分布律为求 1 a b的值 2 X Y的边缘分布律 3 2 解 1 由分布律性质知a b 0 6 1即a b 0 4 9 对于连续型随机变量 X Y 概率密度为 事实上 同理 X Y的边缘概率密度为 10 例3 设G是平面上的有界区域 其面积为A 若二维随机变量 X Y 具有概率密度则称 X Y 在G上服从均匀分布 现设 X Y 在有界区域上均匀分布 其概率密度为求边缘概率密度解 11 12 13 3条件分布 正如对两事件A B 若可以考虑条件概率一样 对二维离散型随机变量 X Y 其分布律为 我们也可以考虑条件概率 由条件概率公式可得 14 定义 设 X Y 是二维离散型随机变量 对于固定的yj 同样 对于固定的xi 15 例1 盒子里装有3只黑球 4只红球 3只白球 在其中任取2球 以X表示取到黑球的数目 Y表示取到红球的只数 求 1 X Y的联合分布率 2 X 1时Y的条件分布率 3 Y 0时X的条件分布率 解 X Y的联合分布率为 16 故在X 1的条件下 Y的分布律为 同理P Y 0 1 5 故在Y 0的条件下 X的分布律为 17 例2 一射手进行射击 击中目标的概率为射击直至击中目标两次为止 设以X表示首次击中目标所进行的射击次数 以Y表示总共进行的射击次数 试求X和Y的联合分布律和条件分布律 解 18 19 定义 条件分布函数 20 定义 条件概率密度 21 由定义 事实上 22 例3 设二维随机变量 X Y 在区域 x y y x 1 内均匀分布 求条件概率密度 二维均匀分布的条件分布仍为均匀分布 解 根据题意 X Y 的概率密度为 Y的边缘概率密度为 于是给定y 1 y 1 X的条件概率密度为 23 24 4相互独立的随机变量 25 例1 1例2中X和Y是否相互独立 X Y 具有概率密度 连续型随机变量X Y相互独立 其密度函数有何特征 X和Y的边缘概率密度分别为 26 27 28 29 30 31 一般n维随机变量的一些概念和结果 32 边缘分布如 33 相互独立 34 定理1 定理2 35 5两个随机变量的函数的分布 36 例1 设X和Y是相互独立的标准正态随机变量 求的概率密度 解 由卷积公式 一般 设X Y相互独立 37 例2 X Y相互独立 同时服从 0 1 上的均匀分布 求的概率密度 解 根据卷积公式 易知仅当 参考图得 38 例3 设X Y相互独立 服从相同的指数分布 概率密度为 求的概率密度 解 根据卷积公式 39 一般的 可以证明 若X Y相互独立 且分别服从参数为X Y的概率密度分别为证明 这是例3的推广 由卷积公式 由此可知 40 41 推广到n个相互独立的随机变量的情况设X1 X2 Xn是n个相互独立的随机变量 它们的分布函数分别为 则 42 43 例5 设系统L由两个相互独立的子系统L1 L2联结而成 联结的方式分别为 1 串联 2 并联 3 备用 当系统L1损坏时 系统L2开始工作 如图 设L1 L2的寿命分别为X Y 已知它们的概率密度分别为 试分别就以上三种联结方式写出L的寿命Z的概率密度 44 串联的情况由于当L1 L2中由一个损坏时 系统L就停止工作 所以L的寿命为Z min X Y 而X Y的分布函数分别为 故Z的分布函数为 于是Z的概率密度为 即Z仍服从指数分布 45 并联的情况由于当且仅当L1 L2都损坏时 系统L才停止工作 所以这时L的寿命为Z max X Y Z的分布函数为 于是Z的概率密度为 46 备用的情况由于这时当系统L1损坏时 系统L2才开始工作 因此整个系统L的寿命Z是L1 L2寿命之和 即Z X Y 因此 47 复习思考题3 1 设 X Y 为二维向量 则P x1 X x2 y1 Y y2 F x2 y2 F x1 y1 对吗 2 设 X Y 为二维连续量 则P X Y 1 0 对吗 3 X Y 为二维连续型向量 f x y 为 X Y 的联合概率密度 fX x 和fY y 分别为关于X和Y的边缘概率密度 若有一点 x0 y0 使f x0 y0 fX x0 fY y0 则X和Y不独立 对吗 48 关键词 数学期望方差协方差相关系数 第四章随机变量的数字特征 49 问题的提出 在一些实际问题中 我们需要了解随机变量的分布函数外 更关心的是随机变量的某些特征 例 在评定某地区粮食产量的水平时 最关心的是平均产量 在检查一批棉花的质量时 既需要注意纤维的平均长度 又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度 考察杭州市区居民的家庭收入情况 我们既知家庭的年平均收入 又要研究贫富之间的差异程度 50 1数学期望 例1 甲 乙两人射击比赛 各射击100次 其中甲 乙的成绩如下 评定他们的成绩好坏 解 计算甲的平均成绩 计算乙的平均成绩 所以甲的成绩好于乙的成绩 分赌金 问题 A和B赌博 各押赌注32个金币 约定谁先赢满5局 谁就获得全部赌金 赌了半天 A赢了4局 B赢了3局 由于某种原因 赌局没有进行完 那么 这个钱应该怎么分 51 A拿赌注的3 4 B拿赌注的1 4 52 定义 定义 数学期望简称期望 又称均值 53 例3 设有10个同种电子元件 其中2个废品 装配仪器时 从这10个中任取1个 若是废品 扔掉后重取1只 求在取到正品之前已取出的废品数X的期望 解 X的分布律为 54 例4 设一台机器一天内发生故障的概率为0 2 机器发生故障时全天停工 若一周5个工作日里无故障 可获利10万元 发生一次故障获利5万元 发生2次故障获利0元 发生3次或以上故障亏损2万元 求一周内期望利润是多少 解 设X表示一周5天内机器发生故障天数 设Y表示一周内所获利润 则 55 数学期望的特性 这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况 常见的几种分布的数学期望离散型0 1分布二项分布泊松分布连续型均匀分布指数分布正态分布 56 57 例5 58 例6 59 60 例7 已知某零件的横截面是个圆 对横截面的直径X进行测量 其值在区间 1 2 上均匀分布 求横截面面积S的数学期望 62 例8 63 64 例9 设随机变量 X Y 的概率密度为 65 66 例11 一民航送客车载有20位旅客自机场出发 旅客有10个车站可以下车 如到达一个车站没有旅客下车就不停车 以X表示停车的次数 求 设每位旅客在各个车站下车是等可能的 并设各旅客是否下车相互独立 本题是将X分解成数个随机变量之和 然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望 这种处理方法具有一定的普遍意义 解 引入随机变量 67 例12 68 2方差 设有一批灯泡寿命为 一半约950小时 另一半约1050小时 平均寿命为1000小时 另一批灯泡寿命为 一半约1300小时 另一半约700小时 平均寿命为1000小时 问题 哪批灯泡的质量更好 单从平均寿命这一指标无法判断 进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度 方差 正是体现这种意义的数字特征 69 定义 70 对于离散型随机变量X 对于连续型随机变量X 此外 利用数学期望的性质 可得方差得计算公式 71 例1 设随机变量X具有数学期望 72 方差的性质 73 证明 74 例2 设随机变量X具有0 1分布 其分布律为 解 75 例3 解 76 例4 解 X的概率密度为 77 3协方差及相关系数 对于二维随机变量 X Y 除了讨论X与Y的数学期望和方差外 还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征 这就是本节的内容 定义 78 协方差的性质 79 相关系数的性质 续