模块第三讲(简单的逻辑联结词全称量词与存在量词).ppt

第三讲简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词 走进高考第一关基础关 教材回归1 逻辑联结词命题中的 叫逻辑联结词 或 且 非 2 命题p q p q p的真假判断 真 真 假 假 真 假 假 真 真 假 假 真 注意 p与q全真时 p q为真 否则 p q为假 p与q全假时 p q为假 否则 p q为真 p与 p必定是一真一假 3 全称量词 存在量词 1 全称量词短语 所有的 任意一个 在逻辑中通常叫做 并用符号 表示 含有全称量词的命题 叫做 全称命题 对M中任意一个x 有p x 成立 简记作 全称量词 全称命题 x M p x 2 存在量词短语 存在一个 至少有一个 在逻辑中通常叫做 并用符号 表示 含有存在量词的命题 叫做 特称命题 存在M中的一个x 使p x 成立 简记作 存在量词 特称命题 x M p x 3 两种命题的关系全称命题的否定是 特称命题的否定是 特称命题 全称命题 注意 同一个全称命题 特称命题 由于自然语言的不同 可能有不同的表述方法 在实际应用中可以灵活地选择 考点陪练1 x A B 不成立 是指 A x A且x BB x A或x BC x A BD x A B 答案 B 2 三个数a b c均为零 的否定是 A a b c均不为零B a b c至多一个是0C a b c至少一个是0D a b c不全为0 答案 D 3 下列命题不是全称命题的是 A 在三角形中 三内角之和为180 B 对任意非正数c 若a b c 则a bC 对于实数a b a 1 b 1 0D 存在实数x 使x2 3x 2 0成立 答案 D 4 下列全称命题中假命题的个数是 2x 1是整数 x R 对所有的x R x2 0 对任意一个x Z 2x2 1为奇数 A 0B 1C 2D 3 答案 C 5 教材改编题 对命题 x R x2 2x 4 0 的否定正确的是 A x R x2 2x 4 0B x R x2 2x 4 0C x R x2 2x 4 0D x R x2 2x 4 0 答案 C 解读高考第二关热点关 类型一 含有逻辑联结词的命题真假判定 解题准备 解决该类问题基本步骤为 1 弄清构成它的命题p q的真假 2 弄清它的结构形式 3 根据真值表判断构成新命题的真假 典例1 直接法 分别指出由下列命题构成的 p q p q p 形式的命题的真假 1 p 4 2 3 q 2 2 3 2 p 1是奇数 q 1是质数 3 p 0 q x x2 3x 52 分析 据或 且 非命题的形式及其真假规律直接判断 解 1 p是假命题 q是真命题 p q为真 p q为假 p为真 2 1是奇数 p是真命题 又 1不是质数 q是假命题 因此p q为真 p q为假 p为假 4 显然p 5 5为真命题 q 27不是质数为真命题 p q为真命题 p q为真命题 p为假命题 5 x2 2x 8 0 x 4 x 2 0 即 4 x 2 x2 2x 8 0的解集为 x 4 x 2 命题p为真 q为假 p q为真 p q为假 p为假 评析 意思是 4 且 x 2 对含有逻辑联结词 且 或 的命题的否定 逻辑联结词应分别变为 或 且 类型二 全 特 称命题真假的判定 解题准备 1 要判定全称命题是真命题 需对集合M中每个元素x 证明p x 成立 如果在集合M中找到一个元素x0 使得p x0 不成立 那么这个全称命题就是假命题 2 要判定一个特称命题是真命题 只要在限定集合M中 至少能找到一个x0 使p x0 成立即可 否则 这一特称命题就是假命题 注意 有些题目隐含了全称量词和存在量词 要注意对其进行改写来找到 典例2 特例法 试判断以下命题的真假 1 x R x2 2 0 2 x N x4 1 3 x Z x3 1 4 x Q x2 3 解 1 由于 x R 有x2 0 因而有x2 2 2 0 即x2 2 0 所以命题 x R x2 2 0 是真命题 2 由于0 N 当x 0时 x4 1不成立 所以命题 x Z x4 1 是假命题 3 由于 1 Z 当x 1时 能使x3 1 所以命题 x Z x3 1 是真命题 4 由于使x2 3成立的数只有 而它们都不是有理数 因此 没有任何一个有理数的平方能等于3 所以命题 x Q x2 3 是假命题 评析 本例中的 3 是一个典型的特例法 即要说明一个存在性命题正确 只要找到一个元素使命题成立即可 探究一 定义法 判断下列语句是不是命题 如果是 说明它是全称命题还是存在性命题 1 有一个向量a a的方向不能确定 2 存在一个函数f x 使f x 既是奇函数又是偶函数 3 对任何实数a b c 方程ax2 bx c 0都有解 4 平面外的所有直线中 有一条直线和这个平面垂直吗 解 1 2 3 都是命题 其中 1 2 是存在性命题 3 是全称命题 4 不是命题 评析 判定命题是全称命题还是存在性命题 主要方法是根据定义看命题中是否含有全称量词和存在量词 要注意的是有些全称命题并不含有全称量词 这时要根据命题涉及的意义去判断 解题准备 1 全称命题p x M p x 它的否定 p x0 M p x0 2 存在性命题p x0 M p x0 它的否定 p x M p x 3 全称 存在性 命题的否定与命题的否定有着一定的区别 全称 存在性 命题的否定是将其全称量词改为存在量词 或存在量词改为全称量词 并把结论否定 而命题的否定则直接否定结论即可 从命题形式上看 全称命题的否定是存在性命题 存在性命题的否定是全称命题 类型三 全 特 称命题的否定 典例3写出下列命题的否定 并判断命题的否定的真假 指出命题的否定属全称命题还是特称命题 1 所有的有理数是实数 2 有的三角形是直角三角形 3 每个二次函数的图象都与y轴相交 4 x R x2 2x 0 分析 先否定量词 存在任意 再否定判断词 解 1 非p 存在一个有理数不是实数 为假命题 属特称命题 2 非p 所有的三角形都不是直角三角形 为假命题 属全称命题 3 非p 有一个二次函数的图象与y轴不相交 为假命题 属特称命题 4 非p x R x2 2x 0 全称量词和存在量词为真命题 属特称命题 评析 只否定全称量词和存在量词 或只否定判断词 因否定不全面或否定词不准确而致错 从以上的符号语言和例子可以看出 对全称命题的否定 在否定判断词时 还要否定全称量词 变为特称命题 对特称命题的否定 在否定判断词时 也要否定存在量词 类型四 与逻辑联结词 全称量词 存在量词有关的命题中参数范围的确定 解题准备 1 由简单命题的真假可判断复合命题的真假 反之 由复合命题的真假也能判断构成该复合命题的简单命题的真假情况 利用简单命题的真假分别求出参数满足的条件 再取二者的交集即可 2 此类题目经常与函数 不等式等知识相联系 要注意分类讨论思想的应用 典例4已知a 0 设命题p 函数y ax在R上单调递增 命题q 不等式ax2 ax 1 0对 x R恒成立 若p且q为假 p或q为真 求a的取值范围 解析 可先求每个命题为真时 相应a的取值范围 再根据p q之间的关系确定a的取值范围 解 y ax在R上单调递增 p a 1 又不等式ax2 ax 1 0对 x R恒成立 0 即a2 4a 0 0 a 4 q 0 a 4 而命题p且q为假 p或q为真 那么p q中有且只有一个为真 一个为假 1 若p真 q假 则a 4 2 若p假 q真 则0 a 1 所以a的取值范围为 0 1 评析 1 含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的 一个或两个 命题的真假 求出此时参数成立的条件 2 其次求出含逻辑联结词的命题成立的条件 3 注意p q为假且p q为真 等价于p q中一真一假 探究2 已知命题p x1和x2是方程x2 mx 2 0的两个实根 不等式a2 5a 3 x1 x2 对任意实数m 恒成立 命题q 不等式ax2 2x 1 0有解 若命题p是真命题 命题q是假命题 求a的取值范围 命题q 不等式ax2 2x 1 0有解 当a 0时 显然有解 当a 0时 2x 1 0有解 当a0有解 4 4a 0 1 a0有解时a 1 又命题q是假命题 a 1 故命题p是真命题且命题q是假命题时 a的取值范围为a 1 笑对高考第三关成熟关 名师纠错误区 对含有量词的命题的否定不当致误 典例命题 对任意的x R x3 x2 1 0 的否定是 A 不存在x R x3 x2 1 0B 存在x R x3 x2 1 0C 存在x R x3 x2 1 0D 对任意的x R x3 x2 1 0 剖析 本题是对全称命题的否定 因此否定时既要对全称量词 任意 否定 又要对 进行否定 全称量词 任意 的否定为存在量词 存在 的否定为 可能的错误是 顾此失彼 忽略了细节 正解 题目中命题的意思是 对任意的x R x3 x2 1 0都成立 要否定它 只要能找到至少一个x 使得x3 x2 1 0即可 故命题 对任意的x R x3 x2 1 0 的否定是 存在x R x3 x2 1 0 故选C 评析 含有量词的命题的否定方法对全称命题的否定 在否定判断词时 还要否定全称量词 变为特称命题 特别要注意的是 由于有的命题的全称量词往往可以省略不写 从而在进行命题否定时易将全称命题只否定判断词 而不否定省略了的全称量词 变式 x y 0等价于 A x 0或y 0B x 0且y 0C x 0或y 0D x 0且y 0 答案 A 解析 当 x y 0时 x 0且y 0 否定即是x 0或y 0 解题策略1 掌握全称命题处理的一般方法 如最值法 掌握特称命题处理的一般方法 如反例法 特例法等 2 认真审题 理解好题目中的条件 尤其是背景新颖的题目 典例1 新定义题 如果对于函数f x 在定义域内任意的x 都有f x M M为常数 称M为f x 的下界 下界M中的最大值叫做f x 的下确界 下列函数中 有下确界的是 A B C D 答案 D 解析 对于 f x sinx 1 sinx 1 sinx有下确界 1 对于 f x lgx值域为R 无下确界 对于 f x ex 0有下确界0 对于 f x 有下确界 1 评析 本考题属于一个新 定义 题目 确界 的概念是大学数学中的知识 对高中学生来讲是一个新定义 作好本题的关键在于理解题意 下确界的定义是以一个 全称命题 的形式出现的 要体会其含义 3 熟练 真值表 的应用 4 在解决本部分题目时 要注意各种数学方法与数学思想的综合应用 典例2 综合题 已知命题p x x2 a 0 命题q x R x2 2ax 2 a 0 若命题 p且q 是真命题 则实数a的取值范围为 A a 2或a 1B a 2或1 a 2C a 1D 2 a 1 答案 A 评析 本题为一简易逻辑小综合题目 两个命题分别为全称命题与存在性命题 先求得两个命题为真时的情况 再进行交集运算 快速解题 典例设有两个命题P 函数f x x2 2ax 4的图象与x轴没有交点 Q 不等式 x 1 1 x a恒成立 若 P或Q 为真 P且Q 为假 则实数a的取值范围是 解题切入点 由f x x2 2ax 4的图象与x轴没有交点 求出a满足的条件 再由 x 1 1 x a恒成立 求出a满足的条件 分析思维过程 当求出P和Q后 P和 Q自然也就有了 由 P且Q 为假可知 P与Q至少一个为假 由 P或Q 为真可知 P与Q至少一个为真 快解 由f x x2 2ax 4的图象与x轴没有交点 得 4a2 16a恒成立 由 x 1 1 x 的几何意义易知 g x 2 则a 2 故Q a 2 则 Q a 2 P或Q 为真等价于 P且 Q 为假 当 P且 Q 为真时 a 2 故 P且 Q 为假 a 2 P且Q 为假等价于 P或 Q 为真 此时a 2 上面已求出 故同时满足 P或Q为真 P且Q 为假的a 2 方法与技巧 在求P时 只能由 a恒成立 则g x 的最小值大于a 故有aa恒成立 这个方法可省不少时间 P或Q 为真即P真Q真 或P真Q假 或P假Q真三种情况 求这三个交集的并集比较麻烦 转化为等价的 P且 Q 为假就比较容易求a了 况且将 P且Q 为假等价转化为 P或 Q 为真 可直接利用上面计算过程的结果 又省了不少时间 得分主要步骤 求出P 2 a 2 求出Q a 2固然必不可少 但要弄清 P或Q 为真并求出a的范围并不是很容易 同理求出 P且Q 为假时a的范围 一定要清楚 必须三种情况都满足 求三者的 并 易丢分原因 P或Q 为真含三种情况 考虑不全则做不对 会丢分 每种情况都同时成立 求 交 然后三种情况求 并 很可能会出错 同理求 P且Q 为假时也一样 即使至此的求解过程全部正确 在最后理解 P或Q 为真 P或Q 为假时 若认为两者是 或 的关系 也会出错 教师备选正确区别 否命题 与 命题的否定 1 要正确理解逻辑联结词 非 还需区分好 否命题 与 命题的否定 否命题 是对原命题的条件与结论同时否定 命题的否定 是只对原命题的结论进行否定 2 或 与 且 在非p形式下的转化设全集为U 集合A和B是U的子集 有如下公式 U A B UA UB UA B UA UB 在命题之间也有类似情况成立 p或q的否定就是对p q分别否定后 联结词 或 变成 且 即 p或q p且 q 同样 p且q的否定就是 p且q p或 q 典例1已知全集U R A U B U 如果命题p a A B 则命题 p 是 A a AB a UBC a A B D a UA UB 答案 D 解析 一般情况下 命题 p或q 的否定为 p且 q 故若p a A B 则 p a UA UB 评析 p q 的否定为 p q p q 的否定命题为 p q 典例2写出下列命题的否定形式 并判断其真假 1 方程x2 5x 6 0有实根 2 菱形的四条边都相等 3 平行四边形是菱形 分析 在命题的条件下 结论可以有多个 要注意分析有关的情况 找出与命题有关的全部结论 就是说非p与p不但真假相反 非p还必须包含p的所有反面 解 1 非p 方程x2 5x 6 0无实根 由 25 24 0知 p真 则非p假 2 四边形的四条边可能有四种情况 四条边都不相等 有两条边相等 有三条边相等 四条边都相等 因此 四条边都相等 的否定是 四条边不都相等 非p 菱形的四条边不都相等 p真 而非p假 3 平行四边形包括菱形 矩形 正方形等特殊形状的平行四边形和一般意义上的平行四边形 因此 非p 平行四边形不一定是菱形 p假 则非p真 评析 逻辑联结词 非 相当于全集中的补集 假定p与非p的结论所确定的集合分别是A B 则A B满足 A B U 全集 且A B 即非p的结论必须包含p的结论的所有对立面 课时作业三简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词 一 选择题1 基础题 易 如果命题 p或q 是真命题 命题 p且q 是假命题 那么 A 命题p与命题q都是假命题B 命题p与命题q都是真命题C 命题p与命题q的真值不同D 命题p与命题q的真值相同 分析 由 p或q 与 p且q 的真值情况判断 答案 C 解析 p或q 是真命题 p和q至少有一为真 p且q 是假命题 p和q至少一假 故p和q一真一假 即p与q真假不相同 所以选C 评析 此题为一高考模拟题 考查的知识点就是 真值表 的应用问题 一般地 只要真值表熟练 加上正确的推理 此类题目即可解决 2 基础题 易 下列命题 其中假命题的个数为 5 4或4 5 9 3 命题 若a b 则a c b c 命题 菱形的两条对角线互相垂直 A 0B 1C 2D 3 答案 A 解析 5 4真 故5 4或4 5为真命题 9 3表示为9 3 真 或9 3 故9 3为真命题 若a b 则a c b c也是真命题 也是真命题 评析 本题为判断命题的真假 有简单命题也有复合命题 对复合命题的判断要根据真值表判断 不可凭想象 如 9 3 是正确的命题 可能误认为错误的命题 3 基础题 易 命题 存在实数x 使 x 1 0 且x2 4 是 A p或q 的形式B 简单命题C 真命题D 假命题 答案 C 解析 设p 存在x R 使 x 1 0 为真 而q 存在实数x使x2 4也是真命题 故p且q为真命题 4 基础题 易 设有两个命题 关于x的不等式x2 2ax 4 0对一切x R恒成立 函数f x 5 2a x是减函数 若命题有且只有一个是真命题 则实数a的取值范围是 A 2 B 2 C 2 2 D 答案 A 解析 若x2 2ax 4 0对一切x R恒成立 则 2 a 2 若f x 5 2a x是减函数 则a 2 若 真 假 则a不存在 若 假 真 则a 2 故选A 5 基础题 易 给出命题p 3 3 q 函数f x 在R上是连续函数 则在下列三个复合命题 p且q p或q 非p 中 真命题的个数为 A 0B 1C 2D 3 分析 要判断三个复合命题的真假 首先应先分别判断命题p和q的真假 从而进一步进行判断 答案 B 解析 对于命题p 3 3 本身为一复合命题 由于3 3成立 所以3 3成立 即命题p成立 对于命题q 画出函数f x 的图象 如图 可知函数在x 0处不连续 从而函数f x 在R上不为连续函数 即命题q为假命题 所以 只有 p或q 为真 故选B 评析 本题中命题q的判断借助于函数图象 简单明了 6 易错题 中 下列各组命题中 满足 p或q 为真 p且q 为假 非p 为真的是 A p 0 q 0 B p 在 ABC中 若cos2A cos2B 则A B q y sinx在第一象限是增函数 答案 C 解析 由真值表 若 p或q 为真 p且q 为假 则p真q假或者p假q真 若 非p 为真 则p为假 所以由已知得 p假q真 分析各选项得C 二 填空题7 基础题 易 命题p x 是y sinx 的对称轴 命题q 2 是 sinx 的最小正周期 下列命题中 是真命题的为 p q p q 答案 解析 画出y sinx 的图象 x 是其一条对称轴 即p正确 而y sinx 的最小正周期为 故q错误 所以 为真 为假 评析 此题的判断 关键在于判断命题p q本身的真假问题 根据图象可得结论 如果忽略图象 容易判断出p与q都错误 从而正确命题个数是0 8 基础题 易 如果命题 p或 q 是假命题 对于下列结论 命题 p q 是真命题 命题 p q 是假命题 命题 p q 是真命题 命题 p q 是假命题 其中正确的是 答案 解析 由 p或 q 是假命题知 p 与 q 都是假命题 则p q都是真命题 由真值表可得 正确 9 2010 广东东升高中 能力题 中 命题p 方程x2 x a2 6a 0有一正根和一负根 命题q 函数y x2 a 3 x 1的图象与x轴有公共点 若命题 p q 为真命题 而命题 p q 为假命题 则实数a的取值范围是 答案 解析 命题p 0 a 6 命题q a 5或a 1 又命题 p q 为真命题 而命题 p q 为假命题 故p q一真一假 若p真q假 则1 a 5 若p假q真 则a 6或a 0 故 三 解答题10 易错题 中 设函数f x lgax 5x2 a的定义域为A 若命题p 3 A与q 5 A有且只有一个为真命题 求实数a的取值范围 11 能力题 中 已知函数f x 4x2 2 p 2 x 2p2 p 1在区间上至少存在一个实数c 使得f c 0 求实数p的取值范围 解 如图 在区间 1 1 中至少存在一个实数c 使得f c 0的否定是 在 1 1 上的所有实数x 都有f x 0恒成立 又由二次函数的图象特征可知 评析 本例考查了一定的运算能力 主要借助逆向思维方法 巧用否定命题解决问题 使运算变的简捷 本例若从正面思考 需要分类讨论 运算相当复杂 因此 在解题时注意思维的灵活性 12 能力题 中 设命题p 函数f x lg ax2 x a 的定义域为R 命题q 不等式 1 ax对一切正实数均成立 如果命题p或q为真命题 命题p且q为假命题 求实数a的取值范围 根据题意知 命题p与q为有且只有一个是真命题 当命题p为真命题且命题q为假命题时 a不存在 当命题p为假命题且命题q为真命题时 a的取值范围是 1 2 综上 命题p或q为真命题 命题p且q为假命题时实数a的取值范围是 1 2