椭球面元素归算至高斯平面(高斯投影).ppt

椭球面元素归算至投影面 高斯投影 测绘工程系 一 长度比 5 1高斯投影概述 或者 长度比不仅随点的位置 而且随线段的方向而发生变化 高斯投影是等角横轴切椭圆柱投影 高斯投影是一种等角投影 它是由德国数学家高斯 Gauss 1777 1855 提出 后经德国大地测量学家克吕格 Kruger 1857 1923 加以补充完善 故又称 高斯 克吕格投影 简称 高斯投影 二 高斯投影的基本概念 N S c 中央 子 午线 赤道 高斯投影采用分带投影 将椭球面按一定经差分带 分别进行投影 1 中央子午线投影后为直线 且长度不变 2 除中央子午线外 其余子午线的投影均为凹向中央子午线的曲线 并以中央子午线为对称轴 投影后有长度变形 3 赤道线投影后为直线 有长度变形 4 除赤道外的其余纬线 投影后为凸向赤道的曲线 并以赤道为对称轴 5 经线与纬线投影后仍然保持正交 6 所有长度变形的线段 其长度变形比均大于l 7 离中央子午线愈远 长度变形愈大 赤道 中央子午线 平行圈 子午线 O x y 我国规定按经差6 和3 进行投影分带 6 带自首子午线开始 按6 的经差自西向东分成60个带 3 带自1 5 开始 按3 的经差自西向东分成120个带 高斯投影带划分 6 带与3 带中央子午线之间的关系如图 3 带的中央子午线与6 带中央子午线及分带子午线重合 减少了换带计算 工程测量采用3 带特殊工程可采用1 5 带或任意带 按照6 带划分的规定 第1带中央子午线的经度为3 其余各带中央子午线经度与带号的关系是 L 6 N 3 N为6 带的带号 例 20带中央子午线的经度为 L 6 20 3 117 按照3 带划分的规定 第1带中央子午线的经度为3 其余各带中央子午线经度与带号的关系是 L 3 n n为3 带的带号 例 120带中央子午线的经度为L 3 120 360 若已知某点的经度为L 则该点的6 带的带号N由下式计算 若已知某点的经度为L 则该点所在3 带的带号按下式计算 四舍五入 x轴 中央子午线的投影y轴 赤道的投影原点O 两轴的交点 O x y P X Y 高斯自然坐标 注 X轴向北为正 y轴向东为正 赤道 中央子午线 4 高斯平面直角坐标系的建立 由于我国的位于北半球 东西横跨12个6 带 各带又独自构成直角坐标系 故 X值均为正 而Y值则有正有负 为了免出现负的横坐标 在横坐标上加上500000m 此外还在坐标前面再冠以带号 这种坐标称为国家统一坐标 例如 有一点Y 19123456 789m 该点位在19 带内 其相对于中央子午线的坐标y 376543 211m 为了把各带联成整体 一般规定各投影带要有一定的重叠度 其中每一6 带向东加宽30 向西加宽15 或7 5 这样在带边缘 控制点将有两套相邻带的坐标值 地形图将有两套公里格网 保证了控制点间的互相应用 地图的顺利拼接和使用 例 有一国家控制点的坐标 x 3102467 280m y 19367622 380m 1 该点位于6 带的第几带 2 该带中央子午线经度是多少 3 该点在中央子午线的哪一侧 该点距中央子午线和赤道的距离为多少 1 第19带 2 L 6 19 3 111 3 y 367622 380 500000 132377 620m 在西侧 距中央子午线132377 620m 距赤道3102467 280m 三 椭球面三角系化算到高斯平面 椭球面内 中央子午线ON 赤道OE 三角网PKTMQ 起始点P大地坐标 B l l L L0 L L0分别为P和轴子午线的大地经度 起始边PK S 起始边的大地方位角APK PC为垂直于中央子午线的大地线 C点大地坐标 B0 l 0 PP1为过P点平行圈 P1点的大地坐标 B l 0 X为赤道至纬度B的平行圈子午弧长 三 椭球面三角系化算到高斯平面 高斯投影面上 中央子午线和赤道分别为直线ON 及OE 其他子午线和平行圈均变为曲线 P N 是PN的投影 P P1 是PP1的投影 P 的直角坐标为 x y 因是等角投影 大地方位角APK投影后没有变化 三角形投影后变为边长si的曲线三角形 长度大于椭球面上的边长 且曲线都凹向纵坐标轴 1 椭球面三角系化算到高斯投影面问题分析 1 投影后需用连接各点间的弦线来代替曲线 为此 必须在每个方向上引进曲改直的水平方向改正 2 根据始点P的大地坐标B L计算其平面坐标的坐标正算公式 3 反算公式 1 椭球面三角系化算到高斯投影面问题分析 4 确定平面三角形各边坐标方位角a 5 确定平面三角形各边长 1 高斯投影坐标计算将起始点的大地坐标B L归算为高斯平面直角坐标x y 根据 x y 反算 B L 2 通过计算该点的子午线收敛角及方向改正 将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边的坐标方位角 3 通过计算各方向的曲率改正和方向改正 将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角 4 通过计算距离改正 将椭球面上起算边的长度归算到高斯平面上的直线长度 5 控制网跨越两投影带时 需要进行平面坐标的邻带换算 2 将椭球面三角系化算到高斯投影面的主要内容 将椭球面三角系归算到平面上 包括坐标 曲率改正 距离改正和子午线收敛角等项计算工作 第一类称高斯投影正算公式 亦即由 B L 求 x y 第二类称高斯投影反算公式 亦即由 x y 求 B L 5 2高斯投影坐标正反算 一 高斯投影坐标正算公式 高斯投影必须满足以下三个条件 中央子午线投影后为直线 中央子午线投影后长度不变 投影具有正形性质 即正形投影条件 1 在经差小于3 5 时 精度为 0 1m 2 扩展到精度0 001m的公式 所求点的大地经度与该点所在带的中央子午线的大地经度之差 二 高斯投影坐标反算公式 投影方程 x坐标轴投影后为中央子午线 是投影的对称轴 x坐标轴投影后长度不变 投影具有正形性质 即高斯面上的角度投影到椭球面上后角度没有变形 仍然相等 投影函数 1 2应满足以下三个条件 首先根据x计算纵坐标在椭球面上的垂足纬度Bf 接着按Bf计算 Bf B 及经差l 最后得到 反算公式的推导方法的基本思想 1 高斯投影坐标反算基本思想 2 精度为0 0001 的高斯投影坐标反算公式 1 正算实用公式 5 3高斯投影坐标计算的实用公式 2 反算实用公式 5 4方向改化公式 方向改正数就是指大地线的投影曲线和连接大地线两点的弦之夹角 设地球椭球为一圆球 OD为轴子午线 AB为一条大地线 是球面上一条大圆弧 投影为曲线ab AD BE是与轴子午线正交点大圆弧 投影分别为垂直于x轴的直线ad和be 一 方向改化近似公式的推导 方向改化概略数值 误差小于0 1 可适用于三 四等三角测量的计算 由表可见 对于各等三角测量计算 方向改正都不能忽略 1 用勒让德尔定理解算球面三角形 1 准备知识 二 方向改化较精密公式的推导 勒让德尔定理 如果平面三角形和球面三角形对应边相等 则平面角等于对应球面角减去三分之一球面角超 P为平面三角形的面积 可直接用球面角代替平面角计算球面角超 虽然带有误差 但研究表明 当边长不大于90km时 这种误差小于0 0005 可忽略 2 球面角超的计算 设地球椭球为一圆球 AB为轴子午线 小圆弧P1Q与轴子午线平行 垂直于BQ AP1 投影为P Q 大圆弧P1CQ的投影为曲线P1 C Q 2 方向改化较精密公式的推导 该式精确至0 001 适用于一等三角测量计算 5 5距离改化公式 由S化至D所加的 S改正称为距离改正 1 研究平面曲线长度s与其弦线长度D的关系 2 研究用大地坐标B L和平面坐标x y计算长度比m的公式 3 导出距离改化的计算公式 m 1 S 大地线长 s 大地线S在高斯平面的投影 D 直线长 思路 1 平面曲线长度s与其弦线长度D的关系 v是一个小角 最大不会超过方向改化值 因此可把cosv展开为级数 式中用v的最大值 代替v 目前 最高的距离测量精度约为10 8 弧线与直线的长度差异完全可以忽略 完全可以认为 大地线的平面投影曲线长度s等于其弦线长度D 2 长度比和长度变形 长度比m是指椭球面上某一点的微分元素dS 与其投影面上的相应的微分元素ds之比 即 为长度变形 1 用大地坐标表示的长度比公式 2 用平面坐标表示的长度比公式 Rm大地线始末两端点的平均纬度计算的椭球平均曲率半径 长度比的近似式 长度比是y坐标的偶函数 且只与y坐标有关 m随点的位置 B L 或 x y 而异 但在一点上与方向无关 当y 0 或l 0 时 即在纵坐标轴或中央子午线上时 各点的m都等于1 即中央子午线投影后长度不变 当y 0或l 0时 由于m是y 或l 的偶函数 且各项都为 号 故m恒大于1 即除中央子午线外其它投影后都变长了 长度变形 m 1 与y2或l2成正比例地增大 愈离远中央子午线长度变形愈大 在同一纬线上 B 常数 长度变形 m 1 随l的增大而增大 在同一经线上 l 常数 长度变形 m 1 随B的减少而增大 在赤道处 B 0 为最大 3 高斯投影及长度变形规律分析 3 距离改化公式 当S 70km ym 350km 6 带边缘 计算精度达0 001m 对于一等边长的归算完全可满足要求 ym取大地线投影后始末两点横坐标平均值 精密公式 可用于二等边长的归算 4 距离改化的实用计算公式 一等三角网的距离改正的实用公式 二等三角网的距离改正的实用公式 三等三角网以下的距离改正的实用公式 则 距离改化 S可表示为 若边的两端点离中央子午线都不超过45公里 则可简化为 补充一点 5 6高斯投影的邻带换算 1 位于两个相邻带边缘地区并跨越两个投影带的控制 为了能在同一带内进行平差计算 计算前 必须先进行起始坐标统一化换算 1 换带的原因 一个带的平面坐标换算到相邻带的平面坐标 简称为 邻带换算 2 在分界子午线附近测图时 往往需要用到另一带的三角点作为控制 因此必须将这些点的坐标换算到同一带中 为实现两相邻带地形图的拼接和使用 在于45 或37 5 重叠地区的平面控制点需要具有相邻带的坐标值 3 当大比例尺 1 0000或更大 测图时 特别是在工程测量中 要求采用3 带 1 5 带或任意带 而国家控制点通常只有6 带坐标 这时就产生了6 带同3 带 或1 5 带 任意带 之间的相互坐标换算问题 邻带方里网 如图所示 规定 在一定范围内将邻带的坐标延伸到本带的图幅中 2 应用高斯投影正 反算公式间接进行换带计算 实质 把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标 利用高斯投影的正反算公式 可以进行不同投影带坐标的换带计算 这种方法 理论上最简明严密 精度最高 通用性最强 不仅适用于6 6 带 3 3 带以及6 3 带互相之间的邻带坐标换算 且适用于任意带之间的坐标换算 虽计算量稍大 但由于计算机的普及和本法的通用性及计算的高精度 它自然便成为坐标邻带换算中最基本的方法 4 由高斯投影正算 求得新的高斯投影坐标x y 算步骤 1 根据高斯投影坐标x y 反算得纬度B和经度差l 2 由中央子午线的经度L0 求得经度L L0 l 3 根据换带后新的中央子午线经度L0 计算相应的经差 算例 在中央子午线的 带中 有某一点的平面直角坐标 现要求计算该点在中央子午线的第 带的平面直角坐标 5 7横轴墨卡托投影的概念 墨卡托投影为正轴等角切圆柱投影 是由墨卡托于1569年专门为航海目的设计的 设计思想是令一个与地轴方向一致的圆柱切于或割于地球 将球面上的经纬网按等角条件投影于圆柱表面上 然后将圆柱面沿一条母线剪开展成平面 即得墨卡托投影 一 墨卡托 Mercator 投影 墨卡托投影的经纬线是互为垂直的平行直线 经线间隔相等 纬线间隔由由赤道向两极逐渐扩大 图上任取一点 由该点向各方向长度比皆相等 即角度变形为零 在正轴等角切圆柱投影中 赤道为没有变形的线 随纬度增高面积变形增大 墨卡托投影 正轴等角切圆柱投影 编制世界时区图 UTM投影全称为 通用横轴墨卡托投影 UniversalTransverseMercatorProjection 投影属于横轴等角割椭圆柱投影 椭圆柱割地球于南纬80度 北纬84度两条等高圈 它的投影条件是取第3个条件 中央经线投影长度比不等于1而是等于0 9996 投影后两条割线上没有变形 UTM投影分带方法与高斯 克吕格投影相似 是自西经180 起每隔经差6度自西向东分带 将地球划分为60个投影带 它的平面直角系与高斯投影相同 且和高斯投影坐标有一个简单的比例关系 因而有的文献上也称它为m0 0 9996的高斯投影 UTM投影是为了全球战争需要创建的 美国于1948年完成这种通用投影系统的计算 二 通用横轴墨卡托投影概念 UTM投影的中央经线长度比为0 9996 这是为了使得 处的最大变形值小于0 001而选择的数值 两条割线 在赤道上 它们位于离中央子午线大约 约 处 上没有长度变形 离开这两条割线愈远变形愈大 在两条割线以内长度变形为负值 在两条割线之外长度变形为正值 UTM投影的分带是将全球划分为60个投影带 带号1 2 3 60连续编号 每带经差为 从经度180 和17 之间为起始带 1带 连续向东编号 1 UTM投影变形的特点 2 UTM投影带的划分 3 直角坐标系的实用公式 基本公式如下 可由高斯 克吕格投影簇通用公式导出 也可依高斯投影而得 4 UTM投影的直角坐标 x y 长度比 子午线收敛角 横轴墨卡托投影 1 UTM是对高斯投影的改进 改进的目的是为了减少投影变形 2 UTM投影的投影变形比高斯的要小 最大在0 001 但其投影变形规律比高斯要复杂一点 因为它用的是割圆柱 所以 它的m 1的地方是在割线上 实际上是一个圆 处在正负1 40 的位置 距离中央经线大约180km 3 UTM投影在中央经线上 投影变形系数m 0 9996 而高斯投影的中央经线投影的变形系数m 1 4 UTM为了减少投影变形也采用分带 它采用6 分带 但起始的1带是 e174 e180 所以 UTM的6 分带的带号比高斯的大30 5 高斯投影与UTM投影可近似计算 计算公式是 XUTM 0 9996 X高斯YUTM 0 9996 Y高斯这个公式的误差在1米范围内 完全可以接受 5 UTM与高斯投影的异同 我国大地测量法式和有关测量规范规定 国家大地测量控制网依高斯投影方法按6 带或3 带进行分带和计算 并把观测成果归算到参考椭球体面上 1 符合高斯投影的分带原则和计算方法 与国际惯例相一致 而且也便于大地测量成果的统一 使用和互算 2 无论对按6 带测制1 2 5万或更小比例尺国家基本图 还是对按3 带测制1 1万比例尺图 都能满足测图的精度要求 国家大地测量控制网投影带与投影面选择的合理性 5 8工程测量投影面与投影带的选择大概念 一个城市只应建立一个与国家坐标系统相联系的 相对独立和统一的城市坐标系统 并经上级行政主管部门审查批准后方可使用 城市平面控制测量坐标系统的选择应以投影长度变形值不大于2 5cm km为原则 并根据城市地理位置和平均高程而定 城市测量规范 规定 如何选择城市平面控制网坐标系统 工程测量 既有测绘大比例尺图的任务 又有满足各种工程建设和市政建设施工放样工作的要求 如何根据这些目的和要求合适地选择投影面和投影带 经济合理地确立工程平面控制网的坐标系 在工程测量是一个重要的课题 1 引起投影变形的因素 一 工程测量中投影面和投影带选择的基本出发点 1 实量边长归算到参考椭球体面上的变形影响 S1 Hm 归算边高出参考椭球面的平均高程 R 归算边方向参考椭球法截弧的曲率半径 可见 s1值是负值 表明将地面实量长度归算到参考椭球面上 总是缩短的 l s1l值与Hm成正比 随Hm增大而增大 取R 6370km 计算的每公里长度投影变形值 2 将参考椭球面上边长归算到高斯投影面上的变形影响 S为参考椭求面上的长度 经过高程改正过的边长 ym为归算边两端点横坐标平均值 Rm为参考椭球面平面平均曲率半径 由公式可以看出 的值总为正 即椭球面上长度归算至高斯面上 总是增大的 值与成正比而增大 离中央子午线愈远变形愈大 为便于施工放样的顺利进行 要求由控制点坐标直接反算的边长与实地量得的边长 在长度上应该相等 即由上述两项归算投影改正而带来的变形或改正数 不得大于施工放样的精度要求 一般地 施工放样的方格网和建筑轴线的测量精度为1 5000 1 20000 因此 由归算引起的控制网长度变形应小于施工放样允许误差的1 2 即相对误差为1 10000 1 40000 也就是说 每公里的长度改正数 不应该大于10 2 5cm 2 有关工程测量平面控制网的精度要求的概念 3 工程测量投影面和投影带选择的基本出发点 1 当长度变形值不大于2 5cm km时 应采用国家统一3 带高斯平面直角坐标系 将观测结果归算至参考椭球面上 2 当长度变形值大于2 5cm km时 可采用任意带的独立高斯平面直角坐标系 归算测量结果的参考面可自己选定 a 抵偿投影面的高斯正形投影 通过改变Hm从而选择合适的高程参考面 b 任意带高斯正形投影 改变ym从而对中央子午线作适当移动 以抵偿由高程面的边长归算到参考椭球面上的投影变形 c 具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影 通过既改变Hm 选择高程参考面 又改变ym 移动中央子午线 来抵偿两项归算改正变形 3 面积小于25k 的城镇 可不经投影采用假定平面直角坐标系统在平面上直接进行计算 1 国家3 带高斯正形投影平面直角坐标系 二 工程测量中几种可能采用的直角坐标系 当测区平均高程在100m以下 且ym值不大于40km时 其投影变形值均小于2 5cm 可以满足大比例尺测图和工程放样的精度要求 因此 在偏离中央子午线不远和地面平均高程不大的地区 无需考虑投影变形问题 直接采用国家统一的3 带高斯正形投影平面直角坐标系作为工程测量的坐标系 使两者一致 例1 某测区的平均高程为Hm 400m 测区中心在高斯投影3 带的坐标为y 70km 平均边长1000m 试问投影面和投影带如何选定 设R 6371000m 分析 长度变形值不大于2 5cm km 直接采用国家统一的3 带高斯正形投影平面直角坐标系作为工程测量的坐标系 仍采用国家3 带高斯投影 但投影的高程面不是参考椭球面 而是依据补偿高斯投影长度变形而选择的高程参考面 在该参考面上长度变形为零 2 抵偿投影面的3 带高斯正形投影平面直角坐标系 抵偿投影面的高程如何确定 设抵偿面的高程为H抵 在抵偿投影面上的投影变形为0 某测区海拔HM 2000 最边缘中央子午线100km 当s 1000m时 则有 将地面实测距离归算到 算例 超过允许值 10 2 5cm 为不改变中央子午线位置 而选择一个合适的高程参考面 经计算得高差 例2 某测区的平均高程为Hm 1000m 测区中心在高斯投影3 带的坐标为y 80km 平均边长1000m 要使测区内抵偿投影面上的长度与实地长度之差最小 试问抵偿高程面应如何选定 设R 6371000m 所以抵偿高程面高程应为 分析 例2验证 该坐标系中 仍把地面观测结果归算到参考椭球面上 但投影带的中央子午线不按国家3 带的划分方法 而是依据补偿高程面归算长度变形而选择的某一条子午线作为中央子午线 已知ym 再来反确定中央子午线的位置 用上式计算得到的ym时 此时的投影变形为0 ym表示某测区中心的横坐标值 或测区内y坐标的平均值 3 任意带高斯正形投影平面直角坐标系 取高斯坐标正算y的第一项 某测区相对参考椭球面的高程Hm 500m 为抵偿地面观测值向参考椭球面上归算的改正值 依上式算得 即选择与该测区相距80km处的子午线 此时在ym 80km处 两项改正项得到完全补偿 算例 例3 某测区中心所在的大地坐标为L 114 59 40 B 34 21 18 北京54 测区内平均高程为Hm 400m 平均边长1000m 为使高斯投影面上的长度与实地长度保持一致 试确定抵偿投影带中央子午线的经度 设Rm N 6371km 例3验证 在实际应用这种坐标系时 往往是选取过测区边缘 或测区中央 或测区内某一点的子午线作为中央子午线 而不经过上述的计算 这是综合第二 三两种坐标系长处的一种任意高斯直角坐标系 这种坐标系更能有效地实现两种长度变形改正的补偿 4 具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影平面直角坐标系 这种方案的思路结合了前面两种方案的一些特点 即将中央子午线移动至测区中部 又变换了高程投影面 当测区东西向跨度较大时 需要抵偿的带宽较大时 应采用此种方案建立坐标系统 投影的中央子午线选在测区中央 地面观测值归算到测区平均高程面上 按高斯正形投影计算平面直角坐标系 即 抵偿高程面的高程取测区的平均高程 或略低于该平均高程面 考虑到高程异常 各边长的高程投影变形近似为0 即 测区在中央子午线附近 则各边长的高斯投影变形近似为0 1 要求 2 实现步骤 测区在中央子午线附近 选择一条整5 或整10 的子午线作中央子午线 将当地的国家控制网已知点坐标 在统一的6 带或3 的高斯坐标 通过高斯换带计算 换算成中央子午线为L0的地方带坐标系内的坐标 1 选择合适的地方投影带中央子午线L0 2 已知点的换带计算 这样获得的坐标其高程投影基准面仍是参考椭球面 而中央子午线则为地方中央子午线 第1套坐标 该套坐标可通过坐标换带与国家标准坐标系统进行互算 是与国家控制网联系紧密的统一系统 3 计算控制网的地方带坐标 第1套坐标 4 选择抵偿高程投影面H抵 抵偿高程投影面一般选测区平均高程面Hm 或稍低一点的高程面面 H抵取整至10m即可 将地面观测值先投影到参考椭球面 再投影到所选中央子午线的高斯平面 然后进行平差计算 5 计算地方带在平均高程面上的坐标 第2套地方坐标 在测区内 最好在测区中心区 选择某点P0为控制网缩放的不动点 即P0点的坐标 x0 y0 在控制网缩放前后保持不变 点P0可以是一个实有的控制点 也可以是一个人为取定的坐标点 计算控制点的缩放比例k 计算各点的第2套地方坐标 某测区内已有国家控制网 各点在高斯投影统一3 带内的坐标列于表中 测区内平均高程Hm 300m 为了满足精密工程测量的要求 试选择一个合适的抵偿高程面 使测区内抵偿投影面上的长度与实地长度之差最小 并将各点坐标化算到选定的抵偿高程面上相应的坐标 取不同投影面上同一距离近似相等 并取Rm 6371km 假设选定A点为控制网缩放的不动点 例4 10649 55 31996 50 因为选定A点为控制网缩放的不动点 相当于在抵偿面内的 坐标原点 该点的坐标保持它在3 带内的国家统一坐标 所以有 当测区面积小于100km2时 可不进行方向和距离改正 直接把局部地球表面作为平面建立独立的平面直角坐标系 起算坐标和起算方位角最好能与国家网联测 如果联测有困难可自行测定边长和方位 而起始点坐标可假定 这种假定平面直角坐标系只限于某种工程建筑施工之用 5 假定平面直角坐标系 假定平面直角坐标系 地方独立坐标系 的特点 1 投影面一般采用区域的平均高程面 2 投影的中央子午线一般采用过位于区域中心附近的子午线 或采用经度为整分或整度的子午线 3 原点的坐标一般加上某个整数 使整个区域中的坐标不出现负值 也有些城市如上海 其加常数为0 4 其高斯坐标所对应的椭球面应是与投影面相接近的区域性椭球面 而不是国家参考椭球面 小结 1 地面水平距离s投影到椭球面的长度变形 2 地面水平距离s投影到任意高程面H0的长度变形 3 椭球面距离s0投影到高斯平面的长度变形 4 地面水平距离s投影到高斯平面总的长度变形 确定抵偿高程投影面的高程或任意投影带的位置的原则 总变形最小 0