椭圆及其标准方程(刘建军).ppt

2 2 1椭圆及其标准方程 一 东莞中学松山湖学校刘建军 问题 1 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢 2 平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹又是什么呢 数学实验 同学们一起观察以下操作 在图板上 将一根无弹性细绳的两端用图钉固定 一支铅笔的笔尖沿细绳运动 能得到什么图形 反思 1 在画出一个椭圆的过程中 细绳的两端的位置是固定的还是运动的 2 在画椭圆的过程中 绳子的长度变了没有 说明了什么 3 在画椭圆的过程中 绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系 结合实验以及 圆的定义 思考讨论一下应该如何定义椭圆 它应该包含几个要素 1 在平面内 2 到两定点F1 F2的距离等于定长2a 3 定长2a F1F2 反思 平面上到两个定点的距离的和 2a 等于定长 大于 F1F2 的点的轨迹叫椭圆 定点F1 F2叫做椭圆的焦点 两焦点之间的距离叫做焦距 2c 椭圆定义的文字表述 椭圆定义的符号表述 一 椭圆的定义 F1 F2 M 二 如何得到椭圆曲线的方程 问题1 1 求曲线方程的基本步骤 2 如何建立适当的坐标系 O x y 方案一 O x y 方案二 1 建系设点 2 写出点集 3 列出方程 4 化简方程 5 证明 可省略 2 如何建立适当的坐标系 o x y 方案一 o x y 方案二 o x y 方案三 o x y 方案四 1 建系设点 2 写出点集 3 列出方程 4 化简方程 问题2 求曲线方程的步骤是什么 以方案一为例 O x y F1 F2 M 方案一 以F1F2所在直线为x轴 F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系 设M x y 为所求轨迹上的任意一点 则焦点F1 F2的坐标分别为 c 0 c 0 O x y F1 F2 M 如图所示 F1 F2为两定点 且 F1F2 2c 求平面内到两定点F1 F2距离之和为定值2a 2a 2c 的动点M的轨迹方程 解 以F1F2所在直线为x轴 F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系 则焦点F1 F2的坐标分别为 c 0 c 0 c 0 c 0 x y 设M x y 为所求轨迹上的任意一点 则椭圆就是集合P M MF1 MF2 2a 如何化简 O x y F1 F2 M c 0 c 0 x y 即 a2 c2 x2 a2y2 a2 a2 c2 因为2a 2c 0 即a c 0 所以a2 c2 0 a b 0 两边同除以a2 a2 c2 得 P 那么 式就是 O x y F1 F2 M O x y F1 F2 M 椭圆的标准方程 焦点 焦点 Y 椭圆的标准方程的再认识 1 椭圆标准方程的形式 左边是两个分式的平方和 右边是1 3 椭圆的标准方程中三个参数a b c满足a2 b2 c2 4 由椭圆的标准方程可以求出三个参数a b c的值 2 椭圆的标准方程中 x2与y2的分母哪一个大 则焦点在哪一个轴上 例1 填空 1 已知椭圆的方程为 则a b c 焦点坐标为 焦距等于 若CD为过左焦点F1的弦 则 F2CD的周长为 三 例题精析 5 4 3 3 0 3 0 6 0 判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则 焦点在分母大的那个轴上 CF1 CF2 2a 2 已知椭圆的方程为 则a b c 焦点坐标为 焦距等于 若曲线上一点P到左焦点F1的距离为3 则点P到另一个焦点F2的距离等于 则 F1PF2的周长为 2 1 0 1 0 1 2 P PF1 PF2 2a 例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程 1 两焦点的坐标分别是 4 0 4 0 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10 2 两焦点的坐标分别是 2 0 2 0 且椭圆经过点P 1 两焦点的坐标分别是 4 0 4 0 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10 解 因为椭圆的焦点在X轴上 所以可设它的方程为 2a 10 2c 8 即a 5 c 4 故b2 a2 c2 52 42 9 所以椭圆的标准方程为 2 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 2 0 2 0 并且经过点 解法一 因为椭圆的焦点在x轴上 所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知 所以 又因为 所以 因此 所求椭圆的标准方程为 2 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 2 0 2 0 并且经过点 解法二 因为椭圆的焦点在x轴上 所以设它的标准方程为 联立 因此 所求椭圆的标准方程为 求椭圆标准方程的解题步骤 1 确定焦点的位置 2 设出椭圆的标准方程 3 用待定系数法确定a b的值 写出椭圆的标准方程 又 焦点的坐标为 1 判定下列椭圆的焦点在哪个轴 并指明a2 b2 写出焦点坐标 答 在X轴 3 0 和 3 0 答 在y轴 0 5 和 0 5 答 在y轴 0 1 和 0 1 判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则 焦点在分母大的那个轴上 四 课堂练习 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 a 4 b 1 焦点在x轴上 焦点在Y轴上 a b 10 2 1 动点P到两个定点F1 4 0 F2 4 0 的距离之和为8 则P点的轨迹为 A 椭圆B 线段F1F2C 直线F1F2D 不能确定 B 分母哪个大 焦点就在哪个轴上 平面内到两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于F1F2 的点的轨迹 a2 c2 b2 五 小结 六 作业 P49习题2 2 A组123