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1 命题在数学中我们把用语言 符号或式子表达的 可以叫做命题 其中的语句叫做真命题 的语句叫做假命题 判断真假的陈述句 判断为真 判断为假 2 四种命题及其关系 1 四种命题 2 四种命题间的关系 3 四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题 它们有的真假性 两个命题互为逆命题或互为否命题 它们的真假性 逆命题 否命题 相同 没有关系 逆否命题 3 充分条件与必要条件 1 如果p q 则p是q的 q是p的 2 如果p q q p 则p是q的 充分条件 必 要条件 充要条件 1 命题 若a 3 则a 6 以及它的逆命题 否命题 逆否命题中 假命题的个数为 A 1B 2C 3D 42 设集合M x 0 x 3 N x 0 x 2 那么 a M 是 a N 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 3 对于非零向量a b a b 0 是 a b 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4 命题 若a b不为零 则a b都不为零 的逆否命题是 5 i j是不共线的单位向量 若a 5i 3j b 3i 5j 则a b的充要条件是 基础自测答案1 答案 B解析 原命题为真命题 从而其逆否命题也为真命题 逆命题 若a 6 则a 3为假命题 则否命题也为假命题 2 答案 B解析 a M时 推不出a N 例如a 3 但是a N时 a M成立 故 a M 是 a N 的必要不充分条件 3 答案 A解析 当a b 0时 a b a b 当a b时 不一定有a b a b 0 是 a b 的充分不必要条件 4 若a b至少有一个为零 则a b为零 5 答案 i j解析 a b a b 0 即 5i 3j 3i 5j 0 即15i2 16i j 15j2 0 i j 1 16i j 0 即i j 0 i j 题型一命题的概念及其真假的判断 例1判断下列语句是否是命题 若是 判断其真假 并说明理由 1 大角所对的边大于小角所对的边 2 x y是有理数 则x y也都是有理数 3 求证 x R 方程x2 x 1 0无实数根 思路分析 依据命题 真命题 假命题的定义来判定 1 判断一个语句是不是命题 就是要看它是否符合 是陈述句 和 可以判断真假 这两个条件 只有这两个条件都具备的语句才是命题 2 对于命题真假的判定 关键是分清命题的条件与结论 只有将条件与结论分清 再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假 题型二四种命题及其关系 例2分别写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 命题的否定 并判断它们的真假 1 若q 1 则方程x2 2x q 0有实根 2 若x y都是奇数 则x y是偶数 3 若x2 y2 0 则x y全为0 听课记录 1 原命题是真命题 逆命题 若方程x2 2x q 0有实根 则q 1 为真命题 否命题 若q 1 则方程x2 2x q 0无实根 为真命题 逆否命题 若方程x2 2x q 0无实根 则q 1 为真命题 命题的否定 若q 1 则方程x2 2x q 0无实根 为假命题 2 原命题是真命题 逆命题 若x y是偶数 则x y都是奇数 是假命题 否命题 若x y不都是奇数 则x y不是偶数 是假命题 逆否命题 若x y不是偶数 则x y不都是奇数 是真命题 命题的否定 若x y都是奇数 则x y不是偶数 是假命题 3 原命题为真命题 逆命题 若x y全为0 则x2 y2 0 为真命题 否命题 若x2 y2 0 则x y不全为0 为真命题 逆否命题 若x y不全为0 则x2 y2 0 为真命题 命题的否定 若x2 y2 0 则x y不全为0 是假命题 总结评价 1 都是 的否定是 不都是 而不是 都不是 因为 x y不都是奇数 包含 x是奇数y不是奇数 x不是奇数y是奇数 x y都不是奇数 三种情况 2 要注意区别 否命题 与 命题的否定 否命题要对命题的条件和结论都否定 而命题的否定仅对命题的结论否定 3 互为逆否关系的命题是等价命题 原命题与逆否命题同真同假 逆命题与否命题同真同假 所以 当判断一个命题的真假有困难时 可以判断它的逆否命题的真假 原命题 逆命题 否命题 逆否命题这四个命题真命题的个数可能是0个 2个 4个 在判断四种命题之间的关系时 首先要分清命题的条件与结论 再比较每个命题的条件与结论之间的关系 要注意四种命题关系的相对性 一旦一个命题定为原命题 也就相应地有了它的 逆命题 否命题 和 逆否命题 互动训练2 原命题是 若x y 2009 则x 1004或y 1005 则这个命题及它的逆命题 否命题 逆否命题这四个命题中 真命题的个数是 A 0B 1C 2D 4答案 C解析 原命题的否命题是 若x y 2009 则x 1004且y 1005 这个命题是假命题 所以原命题的逆命题也是假命题 又原命题的逆否命题是 若x 1004且y 1005 则x y 2009 易知这个命题是真命题 所以原命题也是真命题 故选C 点评 直接判断原命题的真假有些困难 此时可转化为判断其逆否命题的真假 由此可得出原命题的真假 题型三充要条件的判定及应用 思路分析 先证p q是否成立 再证q p是否成立 听课记录 1 5 2 32 但 5 5 但32 5 2 qp p是q的既不充分也不必要条件 3 A B C 且B不是A的子集 A C x Cx A 但x A x C 即pq 但q p p是q的必要不充分条件 1 利用定义判断 若p q 则p是q的充分条件 若q p 则p是q的必要条件 若p q且q p 则p是q的充要条件 若p q且qp 则p是q的充分不必要条件 若pq且q p 则p是q的必要不充分条件 若pq且qp 则p是q的既不充分也不必要条件 2 利用集合判断记条件p q对应的集合分别为A B 则 若A B 则p是q的充分条件 若A B 则p是q的充分不必要条件 若A B 则p是q的必要条件 若A B 则p是q的必要不充分条件 若A B 则p是q的充要条件 若AB 且A B 则p是q的既不充分也不必要条件 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 答案 B 1 2010 天津卷 命题 若f x 是奇函数 则f x 是奇函数 的否命题是 A 若f x 是偶函数 则f x 是偶函数B 若f x 不是奇函数 则f x 不是奇函数C 若f x 是奇函数 则f x 是奇函数D 若f x 不是奇函数 则f x 不是奇函数 答案 B解析 一个命题的否命题是以这个命题中的否定的条件作条件 否定的结论作结论得到的命题 条件的否定是 f x 不是奇函数 结论的否定是 f x 不是奇函数 故该命题的否命题是 若f x 不是奇函数 则f x 不是奇函数 故选B 2 2010 北京卷 a b为非零向量 a b 是 函数f x xa b xb a 为一次函数 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 答案 B解析 只要看两个条件之间能不能相互推出即可 函数f x x2a b a2 b2 x a b 当函数f x 是一次函数时 必然要求a b 0 即a b 但当a b a b 时 函数f x 不是一次函数 故条件是必要而不充分的 故选B