四川成都2012年中考数学总复习知识讲解例题解析强化训练之二次函数.doc

2012年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练二次函数知识讲解一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（xh）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（xx1）（xx2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（，）对于y=a（xh）2+k而言其顶点坐标为（h，k），由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=，最值为，（k0时为最小值，k0）个单位得到函数y=ax2k，将y=ax2沿着x轴（右“”，左“”）平移h（h0）个单位得到y=a（xh）2在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减（右减左加）在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点抛物线y=ax2+bx+c的图像位置及性质与a，b，c的作用：a的正负决定了开口方向，当a0时，开口向上，在对称轴x=的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴x=的右侧，y随x的增大而增大，此时y有最小值为y=，顶点（，）为最低点；当a0时，开口向下，在对称轴x=的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴x=的右侧，y随x的增大而增大，此时y有最大值为y=，顶点（，）为最高点a的大小决定了开口的宽窄，a越大，开口越小，图像两边越靠近y轴，a越小，开口越大，图像两边越靠近x轴；a，b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y轴，当a，b同号时，对称轴x=0，即对称轴在y轴右侧，垂直于x轴正半轴；c的符号决定了抛物线与y轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c0时，与y轴交于正半轴；c0，开口向上， 又y=x2x+m=x2x+（）2 +m=（x）2+ 对称轴是直线x=，顶点坐标为（，） （2）顶点在x轴上方， 顶点的纵坐标大于0，即0 m m时，顶点在x轴上方 （3）令x=0，则y=m 即抛物线y=x2x+m与y轴交点的坐标是A（0，m） ABx轴 B点的纵坐标为m 当x2x+m=m时，解得x1=0，x2=1 A（0，m），B（1，m） 在RtBAO中，AB=1，OA=m SAOB =OAAB=4 m1=4，m=8 故所求二次函数的解析式为y=x2x+8或y=x2x8 【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a，b，c的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处 例2 （2006，重庆市）已知：m，n是方程x26x+5=0的两个实数根，且mn，抛物线y=x2+bx+c的图像经过点A（m，0），B（0，n），如图所示 （1）求这个抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PHx轴，与抛物线交于H点，若直线BC把PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标 【分析】（1）解方程求出m，n的值 用待定系数法求出b，c的值 （2）过D作x轴的垂线交x轴于点M，可求出DMC，梯形BDBO，BOC的面积，用割补法可求出BCD的面积 （3）PH与BC的交点设为E点，则点E有两种可能： EH=EP， EH=EP 【解答】（1）解方程x26x+5=0， 得x1=5，x2=1 由mn，有m=1，n=5 所以点A，B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y=x2+bx+c， 得 解这个方程组，得 所以抛物线的解析式为y=x24x+5 （2）由y=x24x+5，令y=0，得x24x+5=0 解这个方程，得x1=5，x2=1 所以点C的坐标为（5，0），由顶点坐标公式计算，得点D（2，9）过D作x轴的垂线交x轴于M，如图所示 则SDMC=9（52）= S梯形MDBO=2（9+5）=14， SBDC =55= 所以SBCD =S梯形MDBO+SDMC SBOC =14+=15 （3）设P点的坐标为（a，0） 因为线段BC过B，C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5 那么，PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5），PH与抛物线y=x2+4x+5的交点坐标为H（a，a24a+5） 由题意，得EH=EP，即 （a24a+5）（a+5）=（a+5） 解这个方程，得a=或a=5（舍去） EH=EP，得 （a24a+5）（a+5）=（a+5） 解这个方程，得a=或a=5（舍去） P点的坐标为（，0）或（，0） 例3 （2006，山东枣庄）已知关于x的二次函数y=x2mx+与y=x2mx，这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A，B两个不同的点 （1）试判断哪个二次函数的图像经过A，B两点； （2）若A点坐标为（1，0），试求B点坐标； （3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？ 【解答】（1）对于关于x的二次函数y=x2mx+ 由于b24ac=（m）41=m220， 所以此函数的图像与x轴有两个不同的交点 故图像经过A，B两点的二次函数为y=x2mx （2）将A（1，0）代入y=x2mx 得1+m=0 整理，得m22m=0 解得m=0或m=2 当m=0时，y=x21令y=0，得x21=0 解这个方程，得x1=1，x2=1 此时，点B的坐标是B（1，0） 当m=2时，y=x22x3令y=0，得x22x3=0 解这个方程，得x1=1，x2=3 此时，点B的坐标是B（3，0） （3）当m=0时，二次函数为y=x21，此函数的图像开口向上，对称轴为x=0，所以当x0时，函数值y随x的增大而减小 当m=2时，二次函数为y=x22x3=（x1）24，此函数的图像开口向上，对称轴为x=1，所以当x1时，函数值y随x的增大而减小 【点评】本题是一道关于二次函数与方程、不等式有关知识的综合题，但它仍然是反映函数图像上点的坐标与函数解析式间的关系，抓住问题的实质，灵活运用所学知识，这类综合题并不难解决强化训练一、填空题1（2006，大连）右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，观察图像写出y2y1时，x的取值范围_2（2005，山东省）已知抛物线y=a2+bx+c经过点A（2，7），B（6，7），C（3，8），则该抛物线上纵坐标为8的另一点的坐标是_3已知二次函数y=x2+2x+c2的对称轴和x轴相交于点（m，0），则m的值为_4（2005，温州市）若二次函数y=x24x+c的图像与x轴没有交点，其中c为整数，则c=_（只要求写出一个）5（2005，黑龙江省）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，2）与（1，4），则a+c的值是_6甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离s（m）与其距地面高度h（m）之间的关系式为h=s2+s+如下左图所示，已知球网AB距原点5m，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为m，设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是_ 7（2005，甘肃省）二次函数y=x22x3与x轴两交点之间的距离为_8（2008，甘肃庆阳）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/m2）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8），已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如上右图），则6楼房子的价格为_元/m2二、选择题9（2008，长沙）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列关系式不正确的是（ ）Aa0 Ca+b+c0 (第9题) (第12题) (第15题)10（2008，威海）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）若点M（2，y1），N（1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上，则下列结论中正确的是（ ） Ay1y2y3 By2y1y3 Cy3y1y2 Dy1y30）交x轴A，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（1，0） （1）求抛物线的对称轴及点A的坐标； （2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形？并证明你的结论；（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D，当APD=ACP时，求抛物线的解析式18（2006，重庆）如图所示，m，n是方程x26x+5=0的两个实数根，且mn，抛物线y=x2+bx+c的图像经过点A（m，0），B（0，n） （1）求这个抛物线的解析式； （2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PHx轴，与抛物线交于点H，若直线BC把PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出点P的坐标19（2006，太原市）某地计划开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道，其截面是抛物线拱形ACB，而且能通过最宽3m，最高3.5m的厢式货车按规定，机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度AB和拱高OC20（2005，河南省）已知一个二次函数的图像过如图所示三点 （1）求抛物线的对称轴；（2）平行于x轴的直线L的解析式为y=，抛物线与x轴交于A，B两点在抛物线的对称轴上找点P，使BP的长等于直线L与x轴间的距离求点P的坐标21（2005，吉林省）如图576所示，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（1，0），点C（0，5），D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式；（2）求MCB的面积22（2005，长春市）如图所示，过y轴上一点A（0，1）作AC平行于x轴，交抛物线y=x2（x0）于点B，交抛物线y=x2（x0）于点C；过点C作CD平行于y轴，交抛物线y=x2于点D；过点D作DE平行于x轴，交抛物线y=x2于点E （1）求AB：BC； （2）判断O，B，E三点是否在同一直线上？如果在，写出直线解析式；如果不在，请说明理由答案12x1 2（1，8） 31 4答案不唯一（略） 5365m4+ 74 82080 9C 10B 11B 12D 13D14B 15B 16D17（1）对称轴是直线x=2，A点坐标为（3，0） （2）四边形ABCP是平行四边形 （3）ADECDP，= ADEPAE，12=t，t= 将B（1，0）代入y=ax2+4ax+t得t=3a，a= 抛物线解析式为y=x2+x+218（1）y=x24x+5 （2）C（5，0），D（2，9） SBCD=15 （3）设P（a，0），BC所在直线方程为y=x+5 PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5） PH与抛物线y=x24x+5的交点坐标为H（a，a24a+5） 若EH=EP则（a24a+5）（a+5）=（a+5），则a=或a=5（舍） 若EH=EP，则（a24a+5）（a+5）=（a+5），则a=或a=5（舍） P（，0）或（，0）19如图所示，由条件可得抛物线上两点的坐标分别为M（，4），N（2，），设抛物线的表达式为y=ax2+c，则 解这个方程组，得 y=x2+，当x=0时，y=， C（0，），OC= 当y=0时，x2+=0，解得x= A（，0），B（，0），AB= 所以，抛物线拱形的表达式为y=x2+隧道的跨度AB为m，拱高OC为m20（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c 根据题意，得 ，解得 即y=x2+6x3=（x3）2+6 抛物线的对称轴为直线x=3 （2）解得点B（3+，0） 设点P的坐标为（3，y），如图， 由勾股定理，得BP2=BC2+PC2， 即BP2=（3+3）2+y2=y2+6 L与x轴的距离是， y2+6=（）2，解y= 所求点P为（3，）或（3，）21（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得，解得 所求抛物线的解析式为y=x2+4x+5 （2）C点坐标为（0，5），OC=5，令y=0 则x2+4x+5=0，解得x1=1，x2=5 B点坐标为（5，0），OB=5 y=x2+4x+5=（x2）2+9， 顶点M的坐标为（2，9） 过点M作MNAB于点N，则ON=2，MN=9 SMCB=S梯形OCMN+SBNM SOBC =（5+9）2+9（52）55=1522（1）A（0，1） B点纵坐标为1，1=x2，x0，x=1，B（1，1），AB=1 C点纵坐标为1，1=x2，x2=4，x0，x=2 C（2，1），BC=1，AB：BC=1：1 （2）D点的横坐标为2，D在y=x2上，则D（2，4） E点的纵坐标为4，E在y=x2，则E（4，4） 过O（0，0），B（1，1）的直线解析式为y=x E（4，4）在这条直线上，所以O，B，E三点在同一条直线上，并且直线解析式为y=x