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新课标第一网(www.xkb1.com)-中小学教学资源共享平台一轮复习专题讲座四边形1 专题概述本期复习的四边形是初中几何核心内容之一四边形的概念、性质和定理较多,特别是特殊四边形,与同学们的生活实际息相关,又为数学上证明线段和角相等提供了依据,自然成为各地中考必考内容在各地中考题中,四边形的考查题型不定,问题呈现方式多样难度以中档题、较难题为主直接考查的题量一般在57个左右,分值占试卷20%30%预计2010年中考会继续将四边形作为重点考查对象,考查灵活多变,突出推理、综合与应用2 基础知识回顾1 平行四边形的的概念:两组对边 的四边形叫做平行四边形.2 平行四边形的性质:平行四边形的两组对边 ;平行四边形是 图形, 的交点为平行四边形的对称中心;平行四边形的对边 ,对角 ,邻角 ;平行线之间的距离处处 .3 平行四边形的判定方法: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义识别)一组对边 的四边形是平行四边形对角线 的四边形是平行四边形两组对边 的四边形是平行四边形 两组对角 的四边形是平行四边形4 矩形概念:有一个角是 的平行四边形叫做矩形.5 矩形的性质:矩形具有 的所有特征;矩形的四个内角都是 ;矩形的两条对角线 ;矩形既是 图形,又是 图形。6 矩形的判定方法:矩形定义;有三个角是 的四边形是矩形;对角线 的平行四边形是矩形;7 菱形概念:有一组邻边 的平行四边形叫做菱形.8 菱形的性质:菱形具有 的所有特征;菱形的四条边都 ;菱形的对角线 ,每条对角线平分一组 ,9 菱形的判定方法:菱形定义;四条边 的四边形是菱形;对角线 的平行四边形是菱形。10正方形概念:有一组邻边 ,并且有一个角是 的平行四边形叫做正方形.11正方形的性质:正方形具有 、 、 的所有特征,正方形的四个角都是 ,四条边都 ;正方形的两条对角线 ,并且互相 ,每条对角线平分一组 ;正方形 的交点是它的对称中心, 是它的对称轴,共有 条对称轴。12正方形的判定方法:正方形定义;有 的矩形是正方形;有 的菱形是正方形;对角线 的矩形是正方形;对角线 的菱形是正方形。13梯形定义: 的四边形叫梯形。14梯形的元素:平行的两边叫梯形的 ,不平行的两边叫做梯形的 ,两底之间的距离叫做梯形的 .15其中一腰与底边垂直的梯形叫 梯形,两腰相等的梯形叫 梯形。16等腰梯形的性质:(1)等腰梯形的两腰 ,两底 ;(2)等腰梯形同一底上的 相等;(3)等腰梯形的对角线 ;(4)等腰梯形是 图形,它的对称轴是 。17等腰梯形的判定方法:(1) 相等的梯形是等腰梯形;(2)同一底上的两个角 的梯形是等腰梯形;(3)对角线 的梯形是等腰梯形。3 考点例析考点一 平行四边形的性质与判定例1 (2009年桂林市)如图,ABCD中,AC、BD为对角线,BC6,BC边上的高为4,则阴影部分的面积为( ) A3 B6 C12 D24讲解:观察平行四边形中散在的5个阴影部分,其面积怎样集中起来呢?如果发现平行四边形的中心对称性质就可以将它们转化(集中)为一个大的三角形(ADC或ABC)来求了,显然阴影部分的面积为12,故选CADCB点评:不规则图形的面积一般都需要有效转化,像上面这样充分发现并利用已知条件的价值,进而为问题求解服务的策略是值得同学们积累的例2 (2009湖北黄冈)如图,在ABC中,ACB=90,点E为AB中点,连结CE,过点E作EDBC于点D,在DE的延长线上取一点F,使AF=CE求证:四边形ACEF是平行四边形BDCAFE分析:要证明ACEF是平行四边形,已有AF=CE,只要证明AFCE即可,只要证明F=DEC,而由AF=AE,得F=AEF,由BE=CE,得CED=DEB,又BED=AEF,即证.点评:几何证明主要采用的是分析的方法,寻找现有的条件,挖掘隐藏的条件,从结论出发,向已知条件或定理靠拢.考点二 菱形、矩形的性质与识别例3 (2009四川内江)如图在矩形ABCD中,若AC=2AB,则AOB的大小是( )A. 30 B. 45 C. 60 D.90分析:在RtABC中,AC=2AB,得ACB=30,又由矩形的性质得BO=CO,所以AOB=60,选C.点评:矩形是特殊的平行四边形,它可以转化为直角三角形的问题,利用直角三角形的性质来解答.例4 (2009福建莆田)如图,菱形的对角线相交于点请你添加一个条件: ,使得该菱形为正方形ABCDDCBAOO分析:正方形是特殊的菱形,它具有菱形具有的一切性质外,还有它的对角线是相等,所以当菱形增加一个条件是对角线相等时,该菱形变为正方形.点评:特殊平行四边形之间的关系是十分重要的,同学们一定要对它们之间的关系熟悉.例5 (2009年襄樊市,有改动)如图所示,在中,将绕点顺时针方向旋转得到点在上,再将沿着所在直线翻转得到连接 (1)试分析四边形是菱形吗?说明理由 (2)连接并延长交于连接请问:四边形是什么特殊平行四边形?为什么?ADFCEGB讲解:(1)四边形是菱形说明:是由绕点旋转得到, 是等边三角形,又是由沿所在直线翻转得到是平角点F、B、C三点共线是等边三角形 四边形是菱形(2)四边形是矩形说明:由(1)可知:是等边三角形,于,四边形是平行四边形,而四边形是矩形点评:本题第(1)问中发现“是等边三角形”是很重要的,它是后续很多特殊三角形得到发现、确认的关键第(2)问求解时,如果能发现特殊RtABC、RtBCG、RtACG(它们都是30度,60度,90度)也是思路得以打开的关键考点5 与正方形相关的探究问题例6 (2009年莆田市)如图,菱形的对角线相交于点请你添加一个条件: ,使得该菱形为正方形ABCDDCBAOO讲解:或或等点评:正方形的识识别一般可从两个方面来理解: (1)若是矩形,则需再有一组邻边相等;(2)若是菱形,再需要有一个角是直角即在矩形和菱形的基础上发现,当然也可以结合正方形的定义来发现例7 (2009山东德州)已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EFBD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG(1)求证:EG=CG;(2)将图中BEF绕B点逆时针旋转45,如图所示,取DF中点G,连接EG,CG问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;(3)将图中BEF绕B点旋转任意角度,如图所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)FBADCEG图FBACE图FBADCEG图 FBADCEGMNN图 (一)分析:题中点G是一个特殊点,它是RtDEF和RtDCF斜边上的中点,要证EG=CG可利用直角三角形的性质加以证明.随着图形的变换,要证明结论的不变性,可充分挖掘正方形的一些特性,所隐藏的一些条件,构造出全等三角形加以证明.解:(1)证明:在RtFCD中, G为DF的中点, CG=FD同理,在RtDEF中, EG=FD; CG=EG(2)(1)中结论仍然成立,即EG=CG;连接AG,过G点作MNAD于M,与EF的延长线交于N点在DAG与DCG中,; AD=CD,ADG=CDG,DG=DG, DAGDCG; AG=CG;在DMG与FNG中, DGM=FGN,FG=DG,MDG=NFG, DMGFNG MG=NG 在矩形AENM中,AM=EN,在RtAMG 与RtENG中, AM=EN, MG=NG, AMGENG AG=EG EG=CG(3)(1)中的结论仍然成立,即EG=CG其他的结论还有:EGCG点评:当几何图形和已知条件发生变化时,它的结论有可能随之发生变化,也有可能原来结论保持不变的.这类探索型试题在中考试卷中属热点问题,要求同学们能在“变”中求“变”或“不变”.考点四 梯形为载体的问题例8 (2009山东淄博)如图,梯形ABCD中,ABC和DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P,若EF=3,则梯形ABCD的周长为( )ABCDEFPA9B10.5 C12D15讲解:梯形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA,由梯形中位线性质可求出AD+BC=6.由平行线与角平分线的性质,可得BE=EP=AE;CF=PF=DF,所以AB+CD=6,所以ABCD的周长为12.点评:梯形的中位线定理在梯形面积周长的计算中时常用到,它将上下底的和的大小位置转换到中位线的大小位置关系.例9 (2009湖南邵阳)如图在梯形中,将延长至点,使DAFBC(1)求的度数;(2)求证:为等腰三角形讲解:要求的度数的大小,但题中已知条件没有告之角度的大小,所以可以考虑用方程来解决,因为DAC=DCA=BAF=AFB=x;则x=,则=.点评:本题是利用梯形等腰三角形的性质进行角度的计算,是通过角度之间的转换来4 新题解读题型一 矩形纸条的操作探究问题例1 (2009年烟台市)如图,将两张长为8,宽为2的矩形纸条交叉,使重叠部分是一个菱形,容易知道当两张纸条垂直时,菱形的周长有最小值8,那么菱形周长的最大值是 例1-1 例1-2讲解:两张等宽纸条交叉放置,重叠部分是一个菱形,同学们一定能说明它的正确性,这里不去验证了怎样才能获得最大周长呢?关键是什么时候的边长最大!当两张纸条放置成如图(例4-2)所示的情况时,可获得最大边长,此时思考RtABC由勾股定理可求出菱形的边长为,即此时菱形周长为17点评:顺利求解这道题有两个关键:一是想象出如图例4-2的最大菱形;二是在该图形怎样求出菱形的边长,能不能想到用方程思想解RtABC题型二 小组合作学习的情境问题例2 (2009年孝感市)如图,正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF,M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上小明认为:若MN = EF,则MNEF;小亮认为: 若MNEF,则MN = EF你认为( )A仅小明对B仅小亮对C两人都对D两人都不对 讲解:关键是过E、M引对边的垂线段,进而构造直角三角形全等,可以发现两个同学的发现都是正确的点评:这是正方形中一个重要的性质了,同学们在课本上或习题一定都会碰到此类题的求解,这里的两个性质是需要同学们积累的,多进行这样的归纳有利解题思路的获取、解题速度的提升题型三 菱形的生活情境应用例3 (2009年安徽)学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案,每增加一个菱形图案,纹饰长度就增加dcm,如图所示已知每个菱形图案的边长cm,其一个内角为6060dL(1)若d26,则该纹饰要231个菱形图案,求纹饰的长度L;(2)当d20时,若保持(1)中纹饰长度不变,则需要多少个这样的菱形图案?讲解:这是一道特殊平行四边形的实际应用题,已知菱形的边长和一个内角求较长的水平方向对角线的长,当然它不是简单地将菱形对角线的长度相加.(1)菱形图案水平方向对角线长为30cm.按题意,cm.(2)当20cm时,设需x个菱形图案,则有:;解得;即需300个这样的菱形图案.点评:本题在菱形图案长度这样一个实际背景下,综合了解直角三角形和方程的知识,体现了数学解决生活中实际问题的无穷魅力.题型四 特殊四边形的动态探究例4 (2009年河南)如图,在中,点是的中点,过点的直线从与重合的位置开始,绕点作逆时针旋转,交边于点过点作交直线于点,设直线的旋转角为 (1)当 度时,四边形是等腰梯形,此时的长为 ;当 度时,四边形是直角梯形,此时的长为 ;(2)当时,判断四边形是否为菱形,并说明理由讲解:反过来考虑,当是等腰梯形时,B=EDB=,ECO=CAB=,所以,而AD=DO=.同样地,是直角梯形时,同样可以求出的大小.(1)30,1;60,1.5; (2)当=900时,四边形EDBC是菱形. =ACB=900,BC/ED.CE/AB, 四边形EDBC是平行四边形,在RtABC中,ACB=900,B=600,BC=2,A=300.AB=4,AC=2.AO=,在RtAOD中,A=300,AD=2.BD=2.BD=BC.又四边形EDBC是平行四边形,四边形EDBC是菱形 点评:将梯形与旋转等变换结合起来,在运动和变化的过程中需要同学们对特殊四边形性质活学活用.5 跟踪训练1 以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有( )A1个 B.2个 C.3个 D.4个2 如图,在四边形ABCD中,E是BC边的中点,连结DE并延长,交AB的延长线于F点,添加一个条件,使四边形ABCD是平行四边形你认为下面四个条件中可选择的是()EBAFCDA BC D3 能够判断一个四边形是菱形,则下列答案正确的是( )A一组对角相等且一条对角线平分这组对角 B对角线相等 C对角线互相垂直 D一组邻边相等4 已知一矩形的周长是24cm,相邻两边之比是12,那么这个矩形的面积是( )A24cm2 B32cm2 C48cm2 D128cm25 已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,分别添加下列条件:(1)ABC=90;(2)ACBD;(3)AB=BC;(4)AC平分BAD;(5)AO=DO使得四边形ABCD是矩形的条件的序号有 6 梯形中, ,则的长为 7 如图,已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,且BP = BC,则ACP度数是 BCDAP8 如图,在梯形ABCD中,ABCD,BDAD,BC=CD,A=60,CD=2cm.(1)求CBD的度数;(2)求下底AB的长.9 如图,在平行四边形ABCD中,ABC的平分线交CD于点E,ADC的平分线交AB于点F.试判断AF与CE是否相等,并说明理由. FEDCBA10如图1,在正方形中,分别为边上的点,连接交点为如图2,连接,试判断四边形的形状,并证明你的结论;(图1)DCBAOHGFEEBADCGFH(图2)参考答案1C;2D; 3A;4B;5是矩形的条件有(1)(5).63;722.5;8(1)A60,BDAD;ABD30又ABCD;CDBABD30;BCCD;CBDCDB30(2)ABDCBD30;ABC60A ADBCCD2cm;在RtABD中,AB2AD4cm。9解:AF = CE; 四边形ABCD是平行四边形; AD=CB, A=C, ADC=ABC; 又ADF=ADC, CBE=ABC; ADF=CBE ADFCBE; AF = CE10(1)四边形是正方形;证明:四边形是正方形,.,;四边形是菱形;由知,;四边形是正方形新课标第一网-免费课件、教案、试题下载
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