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15专题概率【 知识改变命运 教育成就未来 】数学核心数学学习，学习的不仅仅学习大多数人认为的整数、小数、分数、负数，条形图、折线图、统计整理数据等各种数学知识点还要学习数学思想，数学方法复习思考：1、 频数与频率频数：在数据统计中，每个对象出现 ，频率： 。2、 概率的意义和大小： 。【知识点1】频率与概率的含义在试验中，每个对象出现的频繁程度不同，我们称每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率，即把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率。【例1】不透明的袋中有3个大小相同的球，其中2个位白色，1个位红色，每次从袋中摸出一个球，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中，得到下表中的部分数据：摸球次数4080120160200240280320360400出现红球的频数14233852678697111120136出现红球的频率3532343535（1） 请将表中的数据补充完整。（2） 观察表中出现红球的频率，随着试验次数的增多，出现红球的概率（ ） 【知识点2】通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率在进行试验的时候，当试验的次数很大时，某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近。我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的频率。例2 三张除字母外完全相同的纸牌，字母分别是A，A，K，每次抽一张为试验一次，经过多次试验后，结果汇总表如下： 试验总次数1020501002003004005001000摸出A的频数71328172198276660摸出A的频率7562（1） 将上述表格补充完整；观察表格，估计摸到A的概率；（2） 求摸到A的概率；【知识点3】利用画树状图或列表法求概率（重难点）【例4】有列表法求以下随机事件发生的概率掷一枚均匀的骰子，每次试验掷两次，求两次骰子夫人点数和为7的概率。例5 明华外出游玩时带了2件上衣（白色、米色）和3条裤子（蓝色、黑色、棕色），他任意拿出一件上衣和一条裤子恰好是白色和黑色的概率是多少？题型一：求事件的概率例1 某市今年的信息技术结业考试，采用学生抽签的方式决定自己的考试内容。规定：每位考生先在三个笔试题（题签分别用表示）中抽取一个，再在三个上机题（题签分别用代码表示）中抽取一个进行考试，小亮在看不到题签的情况下，分别从笔试题和上机题中随机的各抽取一个题签（1） 用画树状图或列表法表示出所有可能的结果。（2） 求小亮抽到的笔试题和上机题的题签代码的下标均为奇数的概率。题型二 频率域概率关系的应用例2 有两组相同的纸牌，每组两张，牌面数字分别是1和2 。从每组中各抽取一张记为一次试验，小明和小红做了200次试验后将两张牌的牌面数字之和的情况做了统计。制作了相应的频数分布直方图，如图所示，请估计两牌面数字之和为4的概率是 ，和为3的概率是 。题型三 设计方案题例3 请设计一个摸球游戏，使摸到红球的概率为，摸到白球的概率为。用频率估计概率【知识点1】生日相同的概率50个人中有2个人生日相同是不确定事件，可能有、也可能没有，只能通过试验频率估计概率。但因调查的次数而异。【知识点2】用抽取法估计总体数目（重点）此类问题有两种解决方法：（1）从袋中随意摸出一个球，记下颜色然后将其放入袋中，重复做这一过程，进行一定的次数，记录某一颜色球出现的次数，利用频率来估算这一颜色球的数目。依据是：试验频率概率（2） 利用抽样调查，从袋中一次摸出10个球，求出其中某一颜色球的个数与10的比值，再把球放回袋中，不断重复此过程，摸一定的次数，求出这一颜色的球的个数与10的比值的平均数，即平均概率，利用平均概率来估算这一颜色球的数目。 依据是：平均概率概率例1 一个不透明的口袋中装有6个红色的小正方体和若干个黄色的小正方体，小正方体除颜色外其他都相同，从口袋中随机摸出一个小正方体，记下颜色后再把它放回口袋中，不断重复此过程，共摸了300次，其中有100次摸到红色小正方体，则口袋中大约有 个黄色小正方体。【知识点3】利用替代物模拟试验估算概率在估算事件发生的概率时，有些调查即费力又费时，但要想使这种估算尽可能准确，就需要尽可能多的增加调查对象，在这种情况下，我们可以采用模拟试验的方法来估计事件发生的概率。通过模拟试验，在室内就可以完成收集数据、进行试验、统计结果等过程。【例2】设计一个方案，估计8个人中只有2个人生肖相同的概率。【知识点4】用计算器模拟试验估算概率利用计算器产生随机数的大体步骤是：（1） 进入产生随机数状态（2） 输入所产生随机数的范围（3） 按键得出随机数。【例3】课外活动时，王老师把自己的一串钥匙交给李强，让他去办公室取一本书，但李强不小心把王老师告诉他的开办公室的那把钥匙的特征忘记了，只知道这串钥匙有8把，请你用计算器模拟试验的方法估测一下，他一次试开成功的可能性有多大。【知识点5】模拟试验的应用（1） 概率是对随机现象的一种数学描述，他可以帮助我们更好地认识随机现象，并对生活中的一些不确定情况做出自己的决策。（2） 从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是偶然的，但多次观察某个随机现象，立即可以发现：在大量的偶然之中存在着必然的规律。也就是当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近，因此，去哦们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。（3） 通过模拟试验能估计事件所有可能结果总数n和其中事件A发生的可能的结果数m（4） 估计概率时，要看频率随试验次数的增加是否趋于稳定，不能随便取其中一个频率去估计。例4 下表给出了一些模拟试验的方法，你觉得这些方法合适吗？若不合适，请说明理由，另外提出一个新的你认为合理的模拟试验的方法。研究的问题用替代物模拟试验的方法新的模拟试验方法采用实物一枚均匀的骰子一个饮料瓶盖试验方式抛掷骰子抛掷饮料瓶盖考虑随机事件的概率奇数点朝上的概率正面朝上的概率（1）（2）研究的问题用替代物模拟试验方法新的模拟试验方法采用实物不透明袋中。有2个红球，2个白球1枚硬币试验方式摸出1个球抛起后落地考虑随机事件的概率恰好摸出红球的概率正面朝上的概率题型一 估计生日相同的概率例1 利用课余时间，让每位同学调查10人的生日，然后从全班同学的调查结果中随机选取40个被调查人，看看他们中有没有2个人的生日相同，最后将全班同学的调查数据集中起来，设计出一个方案，估计40个人中有2人生日相同的概率。题型二 用频率估计袋中球的数目例2 一个不透明的口袋中有10个白球和若干个黑球，它们除颜色外完全相同，如果不允许将球倒出来数，如何估计其中的黑球数呢？两位同学是如下操作的：小芳：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复此过程，共摸了100次，其中有81次摸到黑球。小明：利用抽样调查方法，从口袋中一次摸出10个球，求出其中白球数与10的比值，再把球放回口袋中，不断重复上述过程，他共摸了10次白球数与10的比值如下：次数12345678910每次摸球白球数与10的比值0.20.30.20.10.40.10.30.20.10.2问：（1）小芳估计袋中黑球有多少个？（2） 小明估计袋中黑球有多少个？（3） 两位同学操作时每次摸球后，都要放回，如果不放回行吗？为什么？题型三 设计模拟试验解决问题例3 把图中四张纸片放在一个盒子里搅均匀，任取两张，看能拼成菱形还是房子（如果是两张三角形，则能拼成菱形；如果是一张三角形和一张正方形，则能拼成房子）想想看哪些方法可以用来模拟试验？通过模拟试验分别估计拼成菱形和拼成房子的概率。题型四 模拟试验的拓展创新题例4 某抽签活动设置了下表所示的翻奖牌，每次抽奖翻开一个数字，考虑”中奖“的可能性有多大？ 正面 反面123456789轿车一辆万事如意奖金100元心想事成奖金100元洗衣粉一袋奖金10元生活愉快奖金2万元（1） 如果用试验进行估计但又觉得制作翻奖牌太麻烦，能否用简单的模拟试验来代替？（2） 估计”未中奖“的可能性有多大，”中奖“的可能性有多大，你能探索出他们的关系吗？知识提升当一次事件涉及到三个因素或三步时，学会用树状图法求概率。思考活动一 问题：甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B； 乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；从两个口袋中各随机地取出1个小球。用列表法写出所有可能的结果如果还有丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。从甲、乙、丙三个口袋中各随机地取出1个小球。你能写出所有可能的结果吗？与你的同伴交流一下。当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。当一次试验涉及三个因素时，列表法就不方便了，那么为不重不漏地列出所有可能的结果，我们该怎么办呢？ 思考活动二在用树形图时，必须将树形图与具体的结果写下来，这也是中考的要求。例1 甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B； 乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。从3个口袋中各随机地取出1个小球。（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？ 思考总结：什么时候用“列表法”方便，什么时候用“树形图”方便？（当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法，当一次试验涉及3个因素或3个以上的因素时，列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用树形图）思考活动三经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率：（1）三辆车全部继续直行（2）两辆车右转，一辆车左转（3）至少有两辆车左转 1.两道单项选择题都含有A、B、C、D四个选项，若某学生不知道正确答案就瞎猜，则这两道题恰好全部被猜对的概率是_ 2.小明的奶奶家到学校有3条路可走，学校到小明的外婆家也有3条路可走，若小明要从奶奶家经学校到外婆家，不同的走法共有_种3.某校八年级将举行班级乒乓球对抗赛，每个班必须选派出一对男女混合双打选手参赛，八年级一班准备在小娟、小敏、小华三名女选手和小明、小强两名男选手中，选男、女选手各一名组成一对参赛组合，一共能够组成哪几对？如果小敏和小强的组合是最强组合，那么采用随机抽签的办法，恰好选出小敏和小强参赛的概率是多少？4.在一个盒子中有质地均匀的3个小球，其中两个小球都涂着红色，另一个小球涂着黑色，则计算以下事件的概率选用哪种方法更方便？1、从盒子中取出一个小球，小球是红球2、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，取出两球的颜色相同3、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，连取了三次，三个小球的颜色都相同5.假定鸡蛋孵化后为公鸡与母鸡的概率相同。如果三枚鸡蛋全部能成功孵化，则所有可能的孵化结果中，恰有两只公鸡的概率是多少？6.小刚上学的路上要经过三个红绿灯路口。假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发到学校，至少遇到一次红灯的概率是多少？不遇红灯的概率是多少？ 课后习练练、1、 再用摸球试验来模拟6人中有2人生肖相同的概率的过程中没有如下不同的观点，其中正确的是（ ）A、 摸出的球不能放回 B、摸出的求一定放回C、可放回，可不放回 D、不能用摸球试验来模拟此试验2、 一个布袋中有15个黑球和若干个白球，从布袋中一次摸出10个球，求出其中黑球数与10的比值，再把球放回布袋中摇匀，不断重复此过程，得到黑球数与10的比值的平均数为，因此可估计布袋中大约有 个白球。3、 两同学都写出0-9中的一个数字，用试验的方法估计两人所写的数字相同的概率为 。4、 小亮给3个好朋友写了3封信，可是粗心的小亮在装信时将3封信随意放到了3个不同的信封中，请问，能否出现3个好朋友都没有收到应该是自己的信的情况？你能设计一个模拟试验估计出现3个好朋友都没有收到应该是自己的信的概率吗？练、1、 在一个不透明的中装有5个完全相同的小球把它们分别标号为1,2,3,4,5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率是 。2、 小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是 。3、 一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有-1,1,2中的一个数指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好停在等分线上，当做指向右边的扇形）（1） 若小静转动转盘一次，求得到负数的概率；（2） 小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“不谋而合”用列表法（或画树状图）求两人不谋而合的概率4、 在一个不透明的盒子中放油三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为（卡片除了实数不同外，其余均相同）（1） 从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的数字是3的概率；（2） 先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或画树状图法，求出两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率。
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