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抽象函数单调性和奇偶性1. 抽象函数的图像判断单调性例1如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是( )A. 增函数且最小值为B. 增函数且最大值为C. 减函数且最小值为D. 减函数且最大值为分析：画出满足题意的示意图，易知选B。2、抽象函数的图像求不等式的解集例2、已知定义在上的偶函数满足，并且在上为增函数。若，则实数的取值范围 .二、抽象函数的单调性和奇偶性1.证明单调性例3已知函数f(x)= ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)0, g(1) =2,g(x) 是增函数. .求证： f(x)是R上的增函数.解:设x1x2因为，g(x)是R上的增函数, 且g(x)0。故g(x1) g(x2) 0。 g(x1)+1 g(x2)+1 0， 0 - 0。f(x1)- f(x2)=- =1-(1-) =-0。可以推出：f(x1) f(x2)，所以f(x)是R上的增函数。例4已知对一切，满足，且当时，求证：（1）时，（2）在R上为减函数。证明：对一切有。且，令，得， 现设，则，而 ，设且， 则 ，即为减函数。 2.证明奇偶性例5已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数。分析：在中，令，得 令，得于是，故是偶函数。三、求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。例6已知是定义在（）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足，试确定的取值范围。解：是偶函数，且在（0，1）上是增函数， 在上是减函数， 由得。 （1）当时，不等式不成立。（2）当时， （3）当时， ，综上所述，所求的取值范围是四、不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“”，转化为代数不等式求解。例7已知函数对任意有，当时，求不等式的解集。解：设且， 则， ，则 ， ， 故为增函数， 又 因此不等式的解集为。五、综合问题求解解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“”。例8.设函数定义在R上，当时，且对任意，有，当时。（1）证明；（2）证明：在R上是增函数；（3）设， ，若，求满足的条件。解：（1）令得， 或。 若，当时，有，这与当时，矛盾， 。 （2）设，则，由已知得，因为，若时，由，（3）由得得（2）从（1）、（2）中消去得，因为 即。例9. 已知是定义在上的奇函数，且,若时，有.（1）判断函数在上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式：f(x+)f().解：（1）设任意x1,x21,1,且x1x2.由于f(x)是定义在上的奇函数，f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1).因为x10f(x2)+f(x1)0,即f(x2)f(x1),所以函数f(x)在1，1上是增函数.（2）由不等式f(x+)f()得,解得1x0,即为所求. 例10、已知设函数定义在的一切实数，对定义域的任意都有，且当时，（1） 求证：；（2）在上是增函数。（3）解不等式。
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