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本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考专题二 代数应用型题二【考点透视】纵观近几年的中考数学试卷，应用题占有较大的比重，约占全卷总分的20%左右这些应用题联系实际，贴近生活，从同学们的生活经验和已有的知识背景出发，创设了一个生动活泼的数学学习情景本专题主要研究应用数与式、不等式、函数以及统计知识解决的应用问题【典型例题】一、用数与式知识解决的应用题数式是最基本的数学语言由于它能够有效、简捷、准确地揭示数学的本质，富有通用性和启发性，因而成为描述和表达数学问题的重要方法例1某水库共有若干个相同的泄洪闸，在无上游洪水注入的情况下，打开一个水闸泄洪使水库水位以a米/小时匀速下降某汛期上游的洪水在未开泄洪闸的情况下使水库水位以b米/小时匀速上升，当水库水位超警戒线h米时开始泄洪如果打开n个水闸泄洪x小时，写出表示此时相对于警戒线的水面高度的代数式（2003江苏省连云港市中考试题）分析：因为打开一个水闸泄洪，水库水位以a米/小时匀速下降，所以打开n个水闸泄洪，水库水位每小时下降na米，同时汛期上游的洪水使水库水位以b米/小时的速度上升，两者相抵，水库实际每小时上升(bna)米解：表示此时相对于警戒线的水面高度的代数式为(bna)x+h说明： （1）防洪抗洪是关系到国家和人民利益的大事，近几年的各种媒体加强了这方面的宣传力度题中涉及的防洪专业名词较多，也是同学们应该了解和掌握的（2）本题时可以与水池的进水和放水相类比，可以增强对题意的理解例2（2001天津）某企业有九个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多有A、B两组检验员，其中A组有8名检验员， 他们先用两天将第一、第二两个车间的所有成品（指原有的和后来生产的）检验完毕后，再去检验第三、第四两个车间的所有成品，又用去了三天时间；同时，用这五天时间，B组检验员也检验完余下的五个车间的所有成品如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件，每个车间每天生产b件成品（1）试用a，b表示B组检验员检验的成品总数；（2）求B组检验员的人数分析 （1）B组检验员检验了5个车间的成品，每个车间原有a件成品，每天生产b件成品，则每个车间5天后的成品数为（a+5b）件B组检验员检验的所有成品数为5（a+5b）=5a+25b（件）（2）A组有8名检验员，在前两天内检验了两个车间，每天检验的成品数为，后检验的2个车间5天后的成品数为2（a5b），8名检验员在后三天内每天检验的成品数为因为检验员的检验速度相同，所以，有因为8名检验员每天检验的成品数为，所以，一名检验员每天检验的成品数为（件）由（1）可知，B组检验的5个车间5天后的成品数为5（a+5b），这些检验员每天检验的成品数为件，即（a+5b）件根据题意，a0，b0，所以，B组检验员的人数为说明 建立的相等关系是本题的难点，突破难点的关键是抓住A组8名检验员“前两天每天检验的成品数=后三天每天检验的成品数”，这是比较隐蔽的条件二、用不等式知识解决的应用题现实世界中的不等关系是普遍存在的许多问题有时并不需要研究他们之间的相等关系，而只需确定某个量的变化范围即可对所研究的问题有比较清楚的认识例3某企业为了适应市场经济的需要，决定进行人员结构调整，该企业现有生产性行业人员100人，平均每人全年创造产值a元，现欲从中分流出x人去从事服务性行业假设分流后，继续从事生产性行业的人员平均每人全年创造产值可增加20%，而分流从事服务性行业的人员平均每人全年可创造产值3.5a元如果要保证分流后，该厂生产性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业的全年总产值，而服务性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业的全年总产值的一半，试确定分流后从事服务性行业的人数（2000年江苏省南通市中考试题）分析：设分流后从事服务性行业的人数为x人，可创造产值3.5a元，则企业生产性人员还有（100x）人，可创产值（120%）a（100x）分流前共创产值100a元，于是可列不等式组求解解：由题意，得即解得 x为正整数，x的取值为15，16答：从事服务性行业的人员为15人或16人说明：本题的最后两句话提出了全年总产值的目标，这是列不等式组的依据请你进一步思考：本题从事服务性行业的人员15人或16人中，哪一个结果更好？例4为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：A型B型价格（万元/台）1210处理污水量（吨/月）240200年消耗费（万元/台）11经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元（1）请你设计该企业有几种购买方案；（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案；（3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）（2003年黑龙江省中考试题）分析： 若企业购买A型号的设备x台，则购买B型号的设备(10x)台，根据表格给出的A、B两种型号设备的有关信息，即可求出企业购买设备的资金解： （1）设购买污水处理设备A型x台，则B型(10x)台由题意知，12x+10(10x) 105，解得x2.5x取非负整数，x可取0，1，2有三种购买方案：购A型0台，B型10台；购A型1台，B型9台；购A型2台，B型8台(2)由题意，得240x+200(10x)2040，解得x1x为1或2当x=1时，购买资金为121+l09=102(万元)；当x=2时，购买资金为122+ l08=104(万元)为了节约资金，应选购A型1台，B型9台(3)10年企业自己处理污水的总资金为102+1010=202(万元)若将污水排到污水厂处理，10年所需费用20401210l0=2448000(元)=244.8(万元)244.8202=42.8(万元)，能节约资金428万元说明： 对于不同的购买方案，何种最优？最好的办法就是分类讨论三、用函数知识解决的应用题函数应用问题主要有下列两种类型：（1）从实际问题出发，引进数学符号，建立函数关系式；（2）由提供的基本模型和初始条件去确定函数关系式例5某化工材料经销公司，购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）设销售单价为x元，日均获利为y元（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；（2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标；在直角坐标系中画出草图；观察图像，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？（2001年河北省中考试题）分析： 若销售单价为x元，则每千克降低（70x）元，日均多售出2（70x）千克，日均销售量为602（70x）千克，每千克获利为（x30）元从而可列出函数关系式解： （1）根据题意，得（30x70）（2），顶点坐标为（65，1950），二次函数的草图（略）经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元（3）当日均获利最多时，单价为65元，日均销售602（7065）=70千克，获总利为1950700070=195000元；当销售单价最高时，单价为70元，日均销售60千克，将这种化工原料全部售完需700060117天，获总利为（7030）7000117500=221500元因为221500195000，且221500195000=26500元，所以，销售单价最高时获总利较多，且多获利26500元说明： 根据题意，正确列出二次函数关系式，是解决（2）、（3）两小题的关键这里，特别要注意自变量x的取值范围例6某市20位下岗职工在近郊承包50亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表作物品种每亩地所需职工数每亩地预计产值 蔬菜1100元烟叶750元小麦600元请你设计一下种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计总产值最多（2001年甘肃省中考试题）解：设种植蔬菜x亩，烟叶y亩，则小麦有（50xy）亩根据题意，有所以y=903x再设预计总产值为w，则w=1100x750y600（50xy）=500x150y30000把y=903x代入上式，得w=4350050x y=903x0， 0x30，且x为偶数由一次函数的性质可知，当x=30时，y=0，50xy=20，w最大=45000元，此时种蔬菜的人数为15人，种小麦的人数为5人答：种蔬菜30亩，小麦20亩，不种烟叶，这时所有职工都有工作，且农作物预计总产值为45000元 说明： 本题在求函数y=903x的最大值时，运用了一次函数的性质“当k0时，y随x的增大而减小”，可见基本函数的性质在解应用题时有着十分重要的作用四、用统计初步知识解决的应用题例7某风景区对5个景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变有关数据如下表所示：景点ABCDE原价（元）1010152025现价（元）55152530平均日人数（千人）11232（1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平问风景区是怎样计算的？（2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%，问游客是怎样计算的？（3）你认为风景区和游客中，哪一个的说法较能反映整体实际？（2003年安徽省中考试题）解： （1）风景区是这样计算的：调整前的平均价格：（10+10+15+20+15）5=16(元)，调整后的平均价格：（5+5+15+25+30）5=16(元) 调整前后的平均价格不变，平均日人数不变，平均日总收入持平(2)游客是这样计算的：原平均日总收入：101+101+152+203+252=160(千元)，现平均日总收入：51+51+152+253+302=175(千元)， 平均日总收入增加了（175160）1609.4%(3)游客的说法较能反映整体实际说明： 风景区采用了简单的求5种门票平均数的方法，回避了各风景区的游览人数，从而隐瞒了其实际收入，具有一定的欺骗性游客运用的是加权平均数的计算方法，不仅考虑到了5种门票价格，还考虑到了各类门票所对应的游览人数，由此确定风景区的实际收入，较为真实地反映了整体情况例8为估计一次性木质筷子的用量，1999年从某县共600家高、中、低档饭店中抽取10家作样本，这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：0.6 3.7 2.2 1.5 2.8 1.7 1.2 2.1 3.2 1.0(1)通过对样本的计算,估计该县1999年消耗多少盒一次性筷子(每年按350个营业日计算)；(2)2001年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查的结果是10个样本饭店每个饭店平均每天使用一次性筷子2.42盒，求该县2000年、2001年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率（2001年该县饭店数、全年营业天数均与1999年相同）；（3）在（2）的条件下，若生产一套中小学生桌椅需木材0.07米3，求该县2001年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅计算中需用的有关数据为：每盒筷子100双，每双筷子的质量为5克，所用木材的密度为0.5103千克/米3；(4)假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做，简要地用文字表述出来(2002年吉林省中考试题)解：（1）该县1999年消耗一次性筷子为2600350420000(盒)（2）设平均每年增长的百分率为x，则2(1+x)2=2.42.解得x1=0.1=10%, x2=2.1(不合题意,舍去).平均每年增长的百分率为10%（3）该县2001年使用一次性筷子的木材可以生产学生桌椅套数为7260套.（4）先抽取若干个县（或市、州）作样本，再分别从这些县（或市、州）中抽取若干家饭店作样本，统计一次性木质筷子的用量说明：在快餐店等饮食行业，使用一次性木质筷子是普遍存在的现象，可大多数使用者并不知道或者不关心使用一次性木质筷子将消耗多少木材，因此，本题具有一定的现实教育意义另外，本题的第（3）小题还涉及到物理中的密度知识，是跨学科的综合问题解决代数类的实际应用问题，其求解过程可归结为以下几步：（1）审题分析题意，将条件和所求结果用正确的数学语言或数学符号来表示；（2）建模寻找合适的数学模型（如不等式、方程、函数、统计初步知识等等）；（3）解模将已知条件代入数学模型，求解一个纯数学问题（如解方程、求二次函数的最大值或最小值等等）；（4）还原将所获得的数学解还原到实际问题在审题时，要重视将条件和所求结果转化成用数学语言（符号）表示时的正确性，如果表示有误，建模就可能不正确，甚至会导致解题活动的失败【习题二】1某学校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘费）；若学校自刻，除租用刻录机需120元外，每张还需成本4元（包括空白光盘费），问刻录这批电脑光盘，到电脑公司刻录费用省，还是自刻费用省？请说明理由（2002年浙江省绍兴市中考试题）2我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内日平均风速不小于3米/秒的时间共约160天，其中日平均风速不小于6米/秒的时间约占60天为了充分利用“风能”这种“绿色能源”，该地拟建一个小型风力发电场，决定选用A、B两种型号的风力发电机根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量（即一天的发电量）如下表：日平均风速v（米/秒）v33v6v6日发电量（千瓦时）A型发电机036150B型发电机02490根据上面的数据回答：（1）若这个发电场购x台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电总量至少为 千瓦时；（2）已知A型风力发电机每台0.3万元，B型风力发电机每台0.2万元该发电场拟购置风力发电机共10台，希望购机的费用不超过2.6万元，而建成的风力发电场每年的发电总量不少于102000千瓦时，请你提供符合条件的购机方案（2003年江苏省苏州市中考试题）3阅读下列材料：十六大提出全面建设小康社会，国际上常用恩格尔系数（记作n）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：n=100%各类家庭的恩格尔系数如下表所示：家庭类型贫困温饱小康富裕最富裕nn60%50%n60%40%n50%30%n40%n30%根据上述材料，解答下列问题：某校初三学生对我市一个乡的农民家庭进行抽样调查，从1997年至2002年间，该乡每户家庭消费支出总额每年平均增加500元，其中食品消费支出总额每年平均增加200元，1997年该乡农民家庭平均刚达到温饱水平，已知该年每户家庭消费支出总额平均为8000元（1）1997年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元？ （2）设从1997年起m年后该乡平均每户的恩格尔系数为nm（m为正整数）请用m的代数式表示该乡平均每户当年的恩格尔系数nm，并利用这个公式计算2003年该乡平均每户的恩格尔系数（百分号前保留整数）（3）按这样的发展，该乡将于哪年开始进入小康家庭生活？该乡农民能否实现十六大提出的2020年我国全面进入小康社会的目标？（2003年广西自治区桂林市中考试题）4启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y=，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：（1）试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告是多少万元时，公司获得的年利率最大，最大年利润是多少万元？（2）把（1）中的最大利润出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：项目ABCDEF每股（万元）526468收益（万元）550440.60.50.91如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目(2003年山西省中考试题)5某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元进行批量生产已知生产每件产品的成本为40元在销售过程中发现，当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利（年获利=年销售额生产成本投资）为z（万元）（1）试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；（2）试写出z与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；（3）计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？（4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价，进行销售；第二年年获利不低于1130万元请你借助函数的大致图像说明，第二年的销售单价x应确定在什么范围内？（第6题）(2003年河北省中考试题)6某中学在一次健康知识测试中，抽取部分学生成绩（分数为整数，满分100分）为样本，绘制成绩统计图如下，请结合统计图回答下列问题：（1）本次测试中抽样的学生有多少人？（2）分数在90.5100.5这一组的频率是多少？（3）这次测试成绩的众数落在哪个小组内？（4）若这次测试成绩80分以上（含80分）为优秀，则优秀率不低于多少？（2003年黑龙江省中考试题）7在举国上下众志成城抗击“非典”的斗争中，疫情变化牵动着全国人民的心请根据下列疫情统计图表回答问题：中国内地“非典”疫情新增数据走势图（第10题）(5月11日至5月29日)（1）上图是5月11日至5月29日全国疫情每天新增数据走势图，观察后回答：每天新增确诊病例与新增疑似病例人数之和超过100人的天数共 天在本题的统计中，新增确诊病例的人数的中位数是 本题在对新增确诊病例的统计中，样本是 ，样本容量是 (2)下表是一段时间内全国确诊病例每天新增的人数与天数的频率统计表(按人数分组)：分组09101920293039404950596069707980899099100以上合计频数45102112013频率0.2750.10.02500.050.0250.0250.0501.00100人以下的分组组距是 ；填写本统计表中未完成的空格；在统计的这段时期中，每天新增确诊病例人数在80人以下的天数共有 天（2003年重庆市中考试题）8汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速40千米/小时O 10 20 30 40 50 60 70 x（千米/小时）S乙（米） 25 15 5（第11题）以内的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了事后现场测得甲车的刹车距离为12米，乙车的刹车距离超过10米，但小于12米查有关资料知，甲种车的刹车距离S甲（米）与车速x（千米/小时）之间有下列关系：S甲=0.1x0.01x2；乙种车的刹车距离S乙（千米）与车速x（千米/小时）的关系如图所示请你就两车的速度方面分析相碰的原因（2001年山东省临沂市中考试题）9某果品公司急需将一批不易存放的水果从A市运到B市销售现有三家运输公司可供选择，这三家运输公司提供的信息如下：运输单位运输速度（千米/小时）运输费用（元/千米）包装与装卸时间（小时）包装与装卸费用（元）甲公司60641500乙公司50821000丙公司100103700 解答下列问题： （1）若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的2倍，求A、B两市的距离；（2）如果A、B两市的距离为S千米，且这批水果在包装与装卸过程以及运输过程中的损耗为300元/小时，那么要使果品公司支付的总费用（包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和）最小，应选择哪家运输公司？（2003年江苏省南通市中考试题）
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