概率统计大题总结.doc

概率与统计大题总结一、 知识点汇编：1.线性回归分析（1）函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法（2）线性回归分析：方法是画散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：回归模型中，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率R2越接近于1，表示回归的效果越好如果对某组数据可能采取几种不同的回归方程进行回归分析，也可以通过比较几个R2，选择R2大的模型作为这组数据的模型说明：r只能用于线性模型，R2则可用于任一种模型. 对线性回归模型来说，.3、独立性检验（1）对于性别变量，其取值为男和女两种这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量（2）假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为和其样本频数列联表称为22列联表：y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdabcd（3）构造随机变量利用K2的大小可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”，这种方法称为如：如果k7.879，就有99.5的把握认为“X与Y有关系”.4、概率事件的关系：事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作；事件A与事件B相等：若，则事件A与B相等，记作A=B；并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作（或）；并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作（或） ；事件A与事件B互斥：若为不可能事件（），则事件A与互斥；对立事件：为不可能事件，为必然事件，则A与B互为对立事件。概率公式：古典概型：；几何概型： ；5、统计案例抽样方法：简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。注：每个个体被抽到的概率为；常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数表法。系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。注：步骤：编号；分段；在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号；按预先制定的规则抽取样本。分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数注:以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等频率分布直方图与茎叶图：用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。总体特征数的估计：样本平均数；样本方差 ；样本标准差= 大题训练1(本小题满分12分)某中学准备招聘一批优秀大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的师范生素质进行测试在待测试的某一个小组中有男、女生共10人(其中女生人数多于男生人数)，如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为.(1)求该小组中女生的人数；(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率为，每个男生通过的频率为.现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3个人中通过测试的人数为随机变量，求的分布列和数学期望解析(1)设该小组有n个女生，根据题意，得，(3分)解得n6或n4(舍去)(5分)该小组中有6个女生(6分)(2)由题意知，的所有可能取值为0,1,2,3，P(0)，(7分)P(1)C()2，(8分)P(2)C()2，(9分)0123PP(3)()2.(10分)的分布列为(11分)E()0123.(12分)2(2014江西红色六校二次联考)(本小题满分12分)某企业招聘工作人员，设置A，B，C三组测试项目供参考人员选择，甲、乙、丙、丁、戊五人参加招聘，其中甲、乙两人各自独立参加A组测试，丙、丁两人各自独立参加B组测试已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为，丙、丁两人各自通过测试的概率均为.戊参加C组测试，C组共有6道试题，戊会其中4题戊只能且必须选择4题作答，至少答对3题则竞聘成功(1)求戊竞聘成功的概率；(2)求参加A组测试通过的人数多于参加B组测试通过的人数的概率；(3)记A、B组测试通过的总人数为，求的分布列和期望解析(1)设戊竞聘成功为A事件，则P(A).(3分)(2)设参加A组测试通过的人数多于参加B组测试通过的人数为B事件，则P(B)C()2()2C()2.(6分)(3)的所有可能取值为0,1,2,3,4，P(0)，P(1)CC，P(2)CC，P(3)CC，P(4).(10分)所以的分布列为01234PE()01234.(12分)3(2014石家庄一模)(本小题满分12分)现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目非你莫属，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为(0t0，P(2)P(0)0，P(2)P(3)0.又因为0t2，所以t的取值范围是1t2.(11分)所以E().(12分)4(本小题满分12分)周先生的船舱中装有6条小鱼和1条大鱼，由于在海上漂流，他计划从当天开始，每天从该船中捕捉1条鱼(每条鱼被抓到的概率相同)并吃掉来维持生计若大鱼未被捕捉，则它每天要吃掉1条小鱼(1)求这7条鱼中至少有6条被周先生吃的概率；(2)以表示这7条鱼中被周先生吃掉的条掉，求的分布列及其数学期望解析(1)设周先生能吃到的鱼的条数为，若周先生要吃到7条鱼，则必须在第一天吃掉大鱼，P(7)，若周先生要吃到6条鱼，则必须在第二天吃掉大鱼，P(6).故周先生至少吃掉6条鱼的概率是P(6)P(6)P(7).(4分)(2)周先生能吃到的鱼的条数可取4,5,6,7，最坏的情况是只能吃到4条鱼：前3天各吃掉1条小鱼，其余3条小鱼被大鱼吃掉，第4天吃掉大鱼，其概率为P(4)，(6分)P(5)，由(1)知P(6)，P(7).(8分)所以的分布列为4567P(10分)故E()5.(12分)5(2014北京)(每小题满分13分)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记为表中10个命中次数的平均数从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数比较E(X)与的大小(只需写出结论)思路(1)利用古典概型求概率；(2)利用互斥事件和独立事件概率计算公式求概率；(3)直接利用数学期望公式求解解析(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(3分)(2)记事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”则CAB，A，B独立(5分)根据投篮统计数据，P(A)，P(B).P(C)P(A)P(B).(8分)所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为.(9分)(3)E(X).(13分)6(本小题满分12分)我国的高铁技术发展迅速，铁道部门计划在A，B两城市之间开通高速列车，假设列车在试运行期间，每天在8：009：00,9：0010：00两个时间段内各发一趟由A城开往B城的列车(两车发车情况互不影响)，A城发车时间及概率如下表所示：发车时间8：108：308：509：109：309：50概率若甲、乙两位旅客打算从A城到B城，他们到达A城火车站的时间分别是周六8：00和周日8：20.(只考虑候车时间，不考虑其他因素)(1)求甲、乙两人候车时间相等的概率；(2)设乙候车所需时间为随机变量，求的分布列和数学期望E()解析(1)由题意得，甲、乙两人的候车时间分别是10分钟，30分钟，50分钟的概率为P甲(10)，P甲(30)，P甲(50)；P乙(10)，P乙(30)，P乙(50).(4分)所以甲、乙两人候车时间相等的概率P.(6分)(2)的所有可能取值为10,30,50,70,90，(单位：分钟)所以的分布列为1030507090P数学期望E()1030507090.(12分)7(本小题满分12分)考古工作人员在某遗址经过全面勘探、调查和试掘，判定该遗址有A，B，C，D，E，F六件珍贵物件，且这六件珍贵物件呈如图所示的位置在地底埋藏着，考古工作人员需挖掘出上面的某个物件后才能挖掘其相应位置下面的物件(1)若要求先挖掘物件A，B，C，E，求物件E第3次被挖掘到的概率；(2)设物件E第X次被挖掘到，求随机变量X的分布列与数学期望解析(1)由题意，可将上述问题转化为：挖掘4个物件A，B，C，E进行了4个步骤，且挖掘B步骤一定在挖掘E步骤前，物件E可在第2步、第3步或第4步被挖掘到方法一分类列举(不考虑D，F)：若E在第2步被挖掘到，则B必在第1步被挖掘到，故有A2种情况；(1分)若E在第3步被挖掘到，则B在E前选1步被挖掘到，故有CA4种情况；(3分)若E在第4步被挖掘到，则有A6种情况(4分)故物件E第3次被挖掘到的概率P.(5分)方法二排组计数(考虑了D，F)：因为B必在E前，即B，E步骤顺序一定，故总的可能情况有CAA24种(2分)若E在第3步被挖掘到，则B在E前选1步被挖掘到，故有CAA8种情况，(4分)故物件E第3次被挖掘到的概率P.(5分)(2)由题意，可将上述问题转化为：挖掘6个物件A，B，C，D，E，F进行了6个步骤，且要求A在D前，B在E前，C在F前则物件E可在第2步、第3步、第4步、第5步、第6步被挖掘到，即X的所有可能取值为2,3,4,5,6.P(X2)，P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).随机变量X的分布列为X23456P(10分)所以E(X)23456.(12分)8(2014成都二次诊断)(本小题满分12分)节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品现用A，B两种不同型号的节能灯做试验，各随机抽取部分产品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示：以上述试验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率(1)现从大量的A，B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，求恰有两件是优质品的概率；(2)已知A型节能灯的生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实行“三包”通过多年统计发现，A型节能灯每件产品的利润y(单位：元)与其使用时间t(单位：千小时)的关系如下表：使用时间t(单位：千小时)t44t3.841.所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”(12分)探究知识：分层抽样、频率分布直方图、独立性检验能力：根据频率分布直方图求概率、分层抽样计算女生的人数以及根据K2进行独立性检验，考查运算求解能力、分析解决问题的能力、数据处理能力以及逻辑思维运算能力试题难度：中等10(2014山东六校联考)(本小题满分12分)为改善城市雾霾天气造成的空气污染，社会各界掀起净化、美化环境的热潮某单位计划在办公楼前种植A，B，C，D四棵风景树，受本地地理环境的影响，A，B两棵树种成活的概率均为，另外两棵树种的成活率都为a(0a1)(1)若出现A，B有且只有一棵成活的概率与C，D都成活的概率相等，求a的值；(2)当a时，记为最终成活的树的数量，求的分布列和数学期望E()思路本题以社会热点问题为命题背景，考查概率的计算、随机变量的分布列和数学期望E()的计算(1)根据A，B有且只有一棵成活的概率与C，D都成活的概率相等列出等式即可求出a的值；(2)考查离散型随机变量的期望值，求解离散型随机变量的问题，首先根据题意分别求出随机变量的可能取值对应的概率，列出的分布列，再根据期望公式计算E()的值解析(1)由题意，得2(1)a2，解得a.(4分)(2)依题意，随机变量的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P(0)C(1)2C(1)2，P(1)C(1)C(1)2C(1)2C(1)，P(2)C()2C(1)2C(1)C(1)C(1)2C()2，P(3)C()2C(1)C(1)C()2，P(4)C()2C()2.(9分)所以的分布列为01234PE()01234.(12分)11(2014南昌二模)(本小题满分12分)某公司生产产品A，产品质量按测试指标分为：指标大于或等于90为一等品，大于或等于80小于90为二等品，小于80为三等品，生产一件一等品可盈利50元，生产一件二等品可盈利30元，生产一件三等品亏损10元现随机抽查熟练工人甲和新工人乙生产的这种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标70,75)75,80)80,85)85,90)90,95)95,100)甲3720402010乙515353573现将根据上表统计得到甲、乙两人生产产品A为一等品、二等品、三等品的频率分别估计为他们生产产品A为一等品、二等品、三等品的概率(1)计算新工人乙生产三件产品A给工厂带来盈利大于或等于100元的概率；(2)记甲、乙两人分别生产一件产品A给工厂带来的盈利和为X，求随机变量X的概率分布和数学期望解析甲生产一件产品A为一等品、二等品、三等品的概率分别为，(3分)乙生产一件产品A为一等品、二等品、三等品的概率分别为，.(6分)(1)记“新工人乙生产三件产品A给工厂带来盈利大于或等于100元”为事件D，则D包含的情况有：三件都是一等品；两件是一等品，一件是二等品或一件是一等品，两件是二等品故P(D)()33()23()2.(8分)(2)随机变量X的所有可能取值为100,80,60,40,20，20.P(X100)，P(X80)，P(X60)，P(X40)，P(X20)，P(X20).所以随机变量X的概率分布为X1008060402020P(10分)E(X)56.(12分)12(本小题满分12分)甲、乙、丙三人参加某次招聘会、假设甲能被聘用的概率是，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是，乙、丙两人同时能被聘用的概率是，且三人各自能否被聘用相互独立(1)求乙、丙两人各自能被聘用的概率；(2)设表示甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求的分布列与数学期望解析(1)记甲、乙、丙各自能被聘用的事件分别为A1，A2，A3，由已知A1，A2，A3相互独立，且满足(3分)解得P(A2)，P(A3).所以乙、丙两人各自能被聘用的概率分别为，.(6分)(2)的所有可能取值为1,3.因为P(3)P(A1A2A3)P( )P(A1)P(A2)P(A3)1P(A1)1P(A2)1P(A3)，(8分)13P所以P(1)1P(3)1.所以的分布列为所以E()13.(12分)