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辽宁名校2011届高三数学单元测试空间向量与立体几何注意事项：1本试题分为第卷和第卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。2答第卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。考试结束，试题和答题卡一并收回。3第卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。 第卷（选择题，共60分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。1水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（ ） A 0 B 7 C快 D乐 2用小立方体搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示。这样的几何体需要的小立方块最少与最多分别是 （ ）主视图俯视图A 10与15 B9与17 C10与16 D9与16 3设m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面，给出下列命题：若m，n，则mn；若则；若m，n，则mn;若，, m则m其中正确命题的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 4一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ） A 8+ B 4+ C8+4 D 5已知向量，使成立的x与使成立的x分别为（ ）A B-6 C-6, D6,- 6在空间中，有如下命题：互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；若平面平面，则平面内任意一条直线m平面；若平面与平面的交线为m，平面内的直线n直线m，则直线n平面其中不正确命题的个数为（ ） A 3 B 2 C 1 D 07若A，B，C，则ABC的形状是（ ）A不等边锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等边三角形8点P在正方形ABCD所在平面外，PD平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（ ）A30 B45 C60 D909如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 （ ）A48 B18 C24 D3610二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB已知AB =4,AC=6，BD = 8，CD=2，则该二面角的大小为（ ） A1500 B450 C600 D120011在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱AA1底面ABC,点D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为，则sin的值是（ ）A B C D 12某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”;黑“电子狗”爬行的路线是AA1A1D1，黄“电子狗”爬行的路线是ABBB1，它们都遵循如下规则：所爬行的第i2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）设黑“电子狗”爬完2006段，黄“电子狗”爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是（ ）A 0 B1 C D第卷（非选择题，共90分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。13已知力=(1,2,3)，(-2,3,-1)，(3,-4,5)，若，共同作用于同一物体上，使物体从M1(0，-2，1)移到M2(3，1，2)，则合力作的功为 14两个相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放入棱长为 1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有 个15 已知球的半径为1，三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心到平面的距离为 ,16下列命题：若与共线, 与共线，则与共线；向量、共面，则它们所在直线也共面；若与共线，则存在唯一的实数，使=；若A、B、C三点不共线，0是平面ABC外一点,则点M一定在平面ABC上，且在ABC内部，上述命题中的真命题是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分)。17（12分）（09浙江理20）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点， （I）设是的中点，证明：平面； （II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离18在直三棱柱中，且异面直线与 所成的角等于，设 （1）求的值； ABCA1B1C1（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小19 (12分)下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图 （1）若F为PD的中点，求证：AF面PCD; （2）证明BD面PEC; （3）求面PEC与面PDC所成的二面角（锐角）的余弦值20已知为空间的一个基底，且， ， （1）判断四点是否共面； （2）能否以作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量21（本小题满分12分） 数学课上，张老师用六根长度均为a的塑料棒搭成了一个正三棱锥（如图所示），然后他将其中的两根换成长度分别为在和的塑料棒、又搭成了一个三棱锥，陈成同学边听课边动手操作，也将其中的两根换掉，但没有成功，不能搭成三棱锥，如果两人都将BD换成了长为的塑料棒 （1）试问张老师换掉的另一根塑料棒是什么，而陈成同学换掉的另一根塑料棒又是什么？请你用学到的数学知识解释陈成同学失败的原因； （2）试证：平面ABD平面CBD； （3）求新三棱锥的外接球的表面积22(14分) 如图，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点、分别是棱的中点设点分别是点，在平面内的正投影 （1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积； （2）证明：直线平面； G1E122题图（3）求异面直线所成角的正弦值参考答案一、选择题1B;解析:将展开图还原成正方体2C;解析:由主视图可知，它自下而上共有3列，第一列3块，第二列2块，第三列1块。由俯视图可知，它自左而右共有3列，第二列各3块，第三列1块，从空中俯视的块数只要最低层有一块即可因此，综合两图可知这个几何体的形状不能确定并且最少时为第一列中有一个三层，其余为一层，第三列一层，共10块。如图2-1，最多要16块如图2-2图2-1图2-23 C;解析:正确4 A;解析:该几何体顶部是一个半径为1的球，底部是一个边长为2的正方体5A;解析：若，则；若，则答案选A6B;解析:正确的为、不正确7A;解析:，得为锐角；，得为锐角；，得为锐角；所以为锐角三角形8 C;解析:将图形补成一个正方体如图，则PA与BD所成角等于BC与BD所成角即DBC在等边三角形DBC中，DBC=60，即PA与BD所成角为609D;解析:正方体一条棱对应着2个“正交找面对”，12条梭共对应着24个“正交线面对”，正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个10 C;解析: 由条件，知+268cos ，cos ,即1200，所以二面角的大小为600，故选C11D;解析：如图，建立坐标系，易求点D(,1)，平面AA1C1C的一个法向量是=(1,0,0)，所以cos=,即sin=12B;解析：本题考查空间想象能力、异面直线的定义等相关知识由题意，黑“电子狗”爬行路线为AA1A1D1D1C1C1CCBBA，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，同理，黄“电子狗”也是过6段后又回到起点所以黑“电子狗”爬完2006段后实质是到达第二段的终点D1,黄“电子狗”爬完2007段后到达第三段的终点C1此时的距离为|C1D1|=113解析：合力=(2,1,7), 对物体作的功即为=(2,1,7)(3,3,1)=23+13+71=1614无穷多 解析：本通主要考查学生能否迅速构出一些常见的几何模型，并不是以计算为主（解法一）：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个（解法二）：通过计算，显然两个正四校锥的高均为,考查放入正方体后，面ABCD所在的截面，显然其面积是不固定的，取值范围是：,1)，所以该儿何体的体积取值范围是: ,15;解析：球心与三点构成正三棱锥 ，如图所示，已知，由此可得面，由，得16解析：如果=,则与不一定共线,所以错误;因为向量可以任意平移,可知错; 中的这一条件缺少,于是错可以证明中A、B、C、M四点共面等式两边同加，则=0,即,则与、共面，又M是三个有向线段的公共点，故A、B、C、M四点共面故是真命题三、解答题：17证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，www. 则，co 3分由题意得，因， 因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面com 6分 （II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，com 8分在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为www. 12分18解法一：（1），就是异面直线与所成的角，即，（2分）连接，又，则ABCA1B1C1FE为等边三角形，4分由，；6分 （2）取的中点，连接，过作于，连接，,平面 又，所以平面，即，所以就是平面与平面所成的锐二面角的平面角。8分在中，,，10分因此平面与平面所成的锐二面角的大小为。12分说明：取的中点，连接，同样给分（也给12分）解法二：（1）建立如图坐标系，于是，（）， 3分由于异面直线与所成的角，A1BCB1C1xyz所以与的夹角为即6分 （2）设向量且平面于是且，即且，又，所以，不妨设8分同理得，使平面，（10分）设与的夹角为，所以依，12分平面，平面，因此平面与平面所成的锐二面角的大小为。14分说明：或者取的中点，连接，于是显然平面19 解: (1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形,PA面ABCD,PAEB，PA=2EB=4PA=AD,F为PD的中点，PDAF，又CDDA,CDPA,PADA=A，CD面ADP,CDAF又CDDP=D,AF面PCD 4分 （2）取PC的中点M,AC与BD的交点为N，连结MN，MN=PA，MNPA，MN=EB,MNEB，故四边形BEMN为平行四边形，EMBN，又EM面PEC,BD面PEC 7分 （3）分别以BC,BA,BE为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则C( 4,0,0)，D(4 ,4 ,0)，E(0,0,2)，A(0,4 ,0)，P(0,4,4)， F为PD的中点，F(2,4,2)AF面PCD，为面PCD的一个法向量，=(2,0,2)，设平面PEC的法向量为=(x,y ,z)，则, ,令x=1, 10分与的夹角为面PEC与面PDC所成的二面角（锐角）的余弦值为 12分20解：（1）假设四点共面，则存在实数使，且，即4分比较对应的系数，得一关于的方程组解得与矛盾，故四点不共面；6分 （2）若向量，共面，则存在实数使，同（1）可证，这不可能，因此可以作为空间的一个基底，令，由，联立得到方程组，从中解得10分所以12分21（1）张老师换掉的另一根塑料棒是CD（或AD、BC、BA），而陈成同学换掉的另一根塑料棒是AC3分根据题意作出如图所示的图形，其中图(1)表示陈 成同学想搭成的三棱锥,取AC中点E，连结BE、DE，因AB2+CB2=AC2=2a2，所以BE是直角 ABC斜边上的中线，得BE=，同理， DE=，从而由BE+DE=BD,不能构成三角形， 所以图(1)错误 5分 （2）如图(2)，不妨设张老师换掉的另一根塑料捧是CD，取BD中点F，连结AF、CF，因ABD是等腰三角形，所以AFBD，又BCD是直角三角形所以CFBFDF又AB=ACAD，所以ABFACF，从而AFCF，又CF与BD确定平面BCD，所以AF 平面BCD又AF平面ABD，所以平面ABD平面CBD 9分 （3）由（2）可知：三俊锥的外接球的球心必在直线AF 上，设球半径为R，因BF=，AB=a，AF=，由,zyxE1G122题图所以新三棱锥的外接球的表面积S=12分22解：（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为 ，3分又面，6分 （2）以为坐标原点，、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，则，即，又，平面10分 （3），则，设异面直线所成角为，则14分
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