建筑力学14-组合变形.ppt

第十一章杆件在组合变形下的强度计算 1 掌握用叠加法计算组合变形 2 熟悉斜弯曲时横截面上的内力 应力和强度计算 3 熟悉拉伸 压缩 与弯曲组合变形的强度计算 4 偏心压缩杆件的强度计算 5 掌握截面核心的概念 11 1组合变形的概念 在实际工程中 构件的受力情况是复杂的 构件受力后的变形往往不仅是某一种单一的基本变形 而是由两种或两种以上的基本变形组合而成的复杂变形 称为组合变形 例如 图11 1 a 所示的屋架檩条 图11 1 b 所示的空心墩 图11 1 c 所示的厂房支柱 也将产生压缩与弯曲的组合变形 11 1 1组合变形的概念 图11 1 解决组合变形强度问题 分析和计算的基本步骤是 首先将构件的组合变形分解为基本变形 然后计算构件在每一种基本变形情况下的应力 最后将同一点的应力叠加起来 便可得到构件在组合变形情况下的应力 试验证明 只要构件的变形很小 且材料服从虎克定律 由上述方法计算的结果与实际情况基本上是符合的 11 1 2组合变形的解题方法 11 2斜弯曲 对于横截面具有对称轴的梁 当横向力作用在梁的纵向对称面内时 梁变形后的轴线仍位于外力所在的平面内 这种变形称为平面弯曲 如果外力的作用平面虽然通过梁轴线 但是不与梁的纵向对称面重合时 梁变形后的轴线就不再位于外力所在的平面内 这种弯曲称为斜弯曲 如图11 2 a 所示的矩形截面悬臂梁 集中力P作用在梁的自由端 其作用线通过截面形心 并与竖向形心主轴y的夹角为 将力P沿截面两个形心主轴y z方向分解为两个分力 得Py Pcos Pz Psin 分力Py和Pz将分别使梁在xOy和xOz两个主平面内发生平面弯曲 11 2 1外力的分解 图11 2 在距自由端为x的横截面上 两个分力Py和Pz所引起的弯矩值分别为Mz Py x Pcos x Mcos My Pz x Psin x Msin 该截面上任一点K y z 由Mz和My所引起的正应力分别为 Mz y Iz yMcos Iz My z Iy zMsin Iy 11 2 2内力和应力的计算 根据叠加原理 K点的正应力为 Mz y Iz My z Iy M ycos Iz zsin Iy 式中Iz和Iy分别是横截面对形心主轴z和y的惯性矩 正应力 和 的正负号 可通过平面弯曲的变形情况直接判断 如图11 2 b 所示 拉应力取正号 压应力取负号 图11 2 因为中性轴上各点的正应力都等于零 设在中性轴上任一点处的坐标为y0和z0 将 0代入式 12 1 有 M y0cos Iz z0sin Iy 0则y0cos Iz z0sin Iy 0上式称为斜弯曲时中性轴方程式 11 2 3中性轴的位置 从中可得到中性轴有如下特点 1 中性轴是一条通过形心的斜直线 2 力P穿过一 三象限时 中性轴穿过二 四象限 反之位置互换 3 中性轴与z轴的夹角 图11 2 c 的正切为tan y0 z0 Iz Iytan 从上式可知 中性轴的位置与外力的数值有关 只决定于荷载P与y轴的夹角 及截面的形状和尺寸 图11 2 进行强度计算 首先要确定危险截面和危险点的位置 危险点在危险截面上离中性轴最远的点处 对于工程上常用具有棱角的截面 危险点一定在棱角上 图11 2 a 所示的悬臂梁 固定端截面的弯矩值最大 为危险截面 该截面上的B C两点为危险点 B点产生最大拉应力 C点产生最大压应力 若材料的抗拉和抗压强度相等 则斜弯曲的强度条件为 max Mzmax Wz Mymax Wy 11 2 4强度条件 对于不同的截面形状 Wz Wy的比值可按下述范围选取 矩形截面 Wz Wy h b 1 2 2 工字形截面 Wz Wy 8 10 槽形截面 Wz Wy 6 8 例11 1 跨度l 4m的吊车梁 用32a号工字钢制成 材料为A3钢 许用应力 160MPa 作用在梁上的集中力P 30kN 其作用线与横截面铅垂对称轴的夹角 15 如图11 3所示 试校核吊车梁的强度 解 1 荷载分解将荷载P沿梁横截面的y z轴分解Py Pcos 30cos15 kN 29kNPz Psin 30sin15 kN 7 76kN 2 内力计算吊车荷载P位于梁的跨中时 吊车梁处于最不利的受力状态 跨中截面的弯矩值最大 为危险截面 图11 3 该截面上由Py在xOy平面内产生的最大弯矩为Mzmax Pyl 4 29 4 4kN m 29kN m该截面上由Pz在xOz平面内产生的最大弯矩为Mymax Pzl 4 7 76 4 4kN m 7 76kN m 3 强度校核由型钢表查得32a号工字钢的抗弯截面系数Wy和Wz分别为Wy 70 8cm3 70 8 103mm3Wz 692 2cm3 692 2 103mm3 例11 2 图11 4所示矩形截面木檩条 两端简支在屋架上 跨度l 4m 承受由屋面传来的竖向均布荷载q 2kN m 屋面的倾角 20 材料的许用应力 10MPa 试选择该檩条的截面尺寸 解 1 荷载分解荷载q与y轴间的夹角 20 将均布荷载q沿截面对称轴y z分解 得qy qcos 2cos20 kN m 1 88kN mqz qsin 2sin20 kN m 0 68kN m 图11 4 2 内力计算檩条在qy和qz单独作用下 最大弯矩均发生在跨中截面 其值分别为Mzmax qyl2 8 1 88 42 8kN m 3 76kN mMymax qzl2 8 0 68 42 8kN m 1 36kN m 3 选择截面尺寸根据式 12 4 檩条的强度条件为Mzmax Wz Mymax Wy 上式中包含有Wz和Wy两个未知数 现设Wz Wy h b 1 5 代入上式 得3 76 106 1 5Wy 1 36 106 Wy 10 Wy 387 103mm3由Wy hb2 6 1 5b3 6 387 103解得b 115 68mm为便于施工 取截面尺寸b 120mm 则h 1 5b 1 5 120mm 180mm选用120mm 180mm的矩形截面 11 3偏心压缩 拉伸 图11 5 a 所示的柱子 荷载P的作用线与柱的轴线不重合 称为偏心力 其作用线与柱轴线间的距离e称为偏心距 偏心力P通过截面一根形心主轴时 称为单向偏心受压 1 荷载简化和内力计算将偏心力P向截面形心平移 得到一个通过柱轴线的轴向压力P和一个力偶矩m Pe的力偶 如图11 5 b 所示 横截面m n上的内力为轴力N和弯矩Mz 其值为N PMz Pe 11 3 1单向偏心压缩 拉伸 图11 5 2 应力计算对于该横截面上任一点K 图11 6 由轴力N所引起的正应力为 N A由弯矩Mz所引起的正应力为 Mzy Iz根据叠加原理 K点的总应力为 N A Mzy Iz 图11 6 3 强度条件从图11 6 a 中可知 最大压应力发生在截面与偏心力P较近的边线n n线上 最大拉应力发生在截面与偏心力P较远的边线m m线上 其值分别为 min ymax P A Mz Wz max lmax P A Mz Wz截面上各点均处于单向应力状态 所以单向偏心压缩的强度条件为 min ymax P A Mz Wz y max lmax P A Mz Wz l 4 讨论下面来讨论当偏心受压柱是矩形截面时 截面边缘线上的最大正应力和偏心距e之间的关系 图12 6 a 所示的偏心受压柱 截面尺寸为b h A bh Wz bh2 6 Mz Pe 将各值代入得 max P bh Pe bh2 6 P bh 1 6e h 边缘m m上的正应力 max的正负号 由上式中 1 6e h 的符号决定 可出现三种情况 当6e h1 即e h 6时 max为拉应力 截面部分受拉 部分受压 应力分布如图11 7 c 所示 图11 7 例11 3 图11 8所示矩形截面柱 屋架传来的压力P1 100kN 吊车梁传来的压力P2 50kN P2的偏心距e 0 2m 已知截面宽b 200mm 试求 1 若h 300mm 则柱截面中的最大拉应力和最大压应力各为多少 2 欲使柱截面不产生拉应力 截面高度h应为多少 在确定的h尺寸下 柱截面中的最大压应力为多少 解 1 内力计算 将荷载向截面形心简化 柱的轴向压力为N P1 P2 100 50 kN 150kN 图11 8 截面的弯矩为Mz P2e 50 0 2kN m 10kN m 2 计算 lmax和 ymax由式 12 6 得 lmax P A Mz Wz 2 5 3 33 MPa 0 83MPa ymax P A Mz Wz 2 5 3 33 MPa 5 83MPa 3 确定h和计算 ymax欲使截面不产生拉应力 应满足 lmax 0 即 P A Mz Wz 0 150 103 200h 10 106 200h2 6 0则h 400mm取h 400mm当h 400mm时 截面的最大压应力为 ymax P A Mz Wz 1 875 1 875 MPa 3 75MPa对于工程中常见的另一类构件 除受轴向荷载外 还有横向荷载的作用 构件产生弯曲与压缩的组合变形 例11 4 图11 9 a 所示的悬臂式起重架 在横梁的中点D作用集中力P 15 5kN 横梁材料的许用应力 170MPa 试按强度条件选择横梁工字钢的型号 自重不考虑 解 1 计算横梁的外力横梁的受力图如图11 9 b 所示 为了计算方便 将拉杆BC的作用力NBC分解为Nx和Ny两个分力 由平衡方程解得Ry Ny P 2 7 75kNRx Nx Nycot 7 75 3 4 1 5kN 17 57kN 图11 9 2 计算横梁的内力横梁在Ry P和Ny的作用下产生平面弯曲 横梁中点截面D的弯矩最大 其值为Mmax Pl 4 15 5 3 4 4kN m 13 18kN m横梁在Rx和Nx作用下产生轴向压缩 各截面的轴力都相等 其值为N Rx 17 57kN 3 选择工字钢型号由式 12 7 有 ymax N A Mmax Wz 由于式中A和Wz都是未知的 无法求解 因此 可先不考虑轴力N的影响 仅按弯曲强度条件初步选择工字钢型号 再按照弯压组合变形强度条件进行校核 由 max Mmax Wz 得Wz Mmax 77 5 103mm3 77 5cm3查型钢表 选择14号工字钢 Wz 102cm3 A 21 5cm2 根据式 12 7 校核 有 ymax N A Mmax Wz 137MPa 结果表明 强度足够 横梁选用14号工字钢 若强度不够 则还需重新选择 当偏心压力P的作用线与柱轴线平行 但不通过横截面任一形心主轴时 称为双向偏心压缩 如图11 10 a 所示 偏心压力P至z轴的偏心距为ey 至y轴的偏心距为ez 11 3 2双向偏心压缩 拉伸 图11 10 1 荷载简化和内力计算将压力P向截面的形心O简化 得到一个轴向压力P和两个附加力偶矩mz my 图11 10 b 其中mz Pey my Pez可见 双向偏心压缩就是轴向压缩和两个相互垂直的平面弯曲的组合 由截面法可求得任一截面ABCD上的内力为N P Mz Pey My Pez 2 应力计算对于该截面上任一点K 图11 10 c 由轴力N所引起的正应力为 N A由弯矩Mz所引起的正应力为 Mzy Iz由弯矩My所引起的正应力为 Myz Iy根据叠加原理 K点的总应力为 N A Mzy Iz Myz Iy 3 强度条件由图11 10 c 可见 最大压应力 min发生在C点 最大拉应力 max发生在A点 其值为 min ymax P A Mz Wz My Wy max lmax P A Mz Wz My Wy危险点A C均处于单向应力状态 所以强度条件为 min ymax P A Mz Wz My Wy y max lmax P A Mz Wz My Wy l 11 4截面核心 在单向偏心压缩时曾得出结论 当压力P的偏心距小于某一值时 横截面上的正应力全部为压应力 而不出现拉应力 当偏心压力作用在截面形心周围的一个区域内时 使整个横截面上只产生压应力 这个荷载作用区域称为截面核心 11 4 1截面核心的概念 在图11 11中画出了圆形 矩形 工字形和槽形等四种截面的截面核心 其中iy2 Iy A iz2 Iz A 11 4 2几种常见截面的截面核心 图11 11