数学分析讲解PPT数列极限.ppt

Chap2极限与连续 古希腊Archimede 穷竭法 中国魏晋时代刘徽 割圆术 Newton 雏形 Cauchy Bolzano Weierstrass等 发展完善 Chap2 1 数列极限 一 数列 定义1函数f N R称为数列 记为 xn 即 xn f n n N 或x1 x2 xn xn称为数列第n项 其表达式称为数列的通项 几何意义 数列对应着数轴上一个点列 可看作一动点在数轴上依次取 例1讨论数列的单调性和有界性 n重根号 二 数列极限定义 定义2设有数列 xn 若存在常数A 使得 0 N N 当n N时 xn A 则称 xn 的极限为A 或称 xn 收敛于A 记为 若A不存在 则称数列 xn 无极限 或称为发散 不收敛 是用来刻划xn与A的接近程度 首先 具有任意性 说明xn与A的接近程度可以任意小 其次 具有相对固定性 一旦给出 就固定这个 再去找N N的存在性说明无论 怎么小 第N项后的所有xn都满足 xn A 故不满足这种接近程度的xn仅仅有限项 通常N具有依赖性 即N N 但不具有唯一性 几何意义 注给定 来找N似乎是解不等式 由于N虽然依赖于 但不唯一 因此只需要找一个N使得n N成为的充分条件即可 这就是所谓的 适当放大法 适当放大法 例7设数列 xn 对常数A和0 q 1满足条件 证明 例8设 三 收敛数列的性质 定理1 唯一性 若数列 xn 存在极限 则其极限值必唯一 即 定理2 有界性 收敛数列必有界 即如果 xn 收敛 则 M 0 使得 n N有 推论1无界数列必发散 推论2若数列 定理3 不等式性 若 即使将 xn yn 换为 xn yn 结论也不能改为 A B 推论4若 推论3 保号性 若 若将 A 0 换为 A 0 则结论改为 定理4 夹逼性 设数列 xn yn zn 满足条件 例10 设 求f x 的表达式 四 数列极限的运算 定义3若 则称数列为无穷小 量 有限个无穷小量之和仍为无穷小 无穷小乘有界量仍为无穷小 有限个无穷小之积仍为无穷小 例11证明 xn 为无穷小的充要条件是 xn 为无穷小 定理4 极限与无穷小关系 数列 xn 收敛 A R及无穷小量 n使xn A n 定理5若 一个公式 例12求极限 思考 定义4对数列 若则称数列为无穷大 量 记为 无穷小 无穷大和无界的关系 A 无穷小 B 无穷大 C 有界的 但不是无穷小 D 无界的 但不是无穷大 Stolz定理设 yn 严格增加 且 若 则有 A可为 在存在的前提下有公式 例如xn 1 n yn n 则 但 A 时 结论未必成立 如xn 1 n 1n yn n 则 但无极限 推论1若 则有 推论2若an 0 且 则有 推论3若an 0 且 则有 例14求极限 Ex 求极限 五 数列收敛准则 1单调有界定理设数列 xn 单调增加 则当 xn 有上界时 xn 收敛 当 xn 上无界时 xn 为正无穷大 且均成立 若 xn 为单调数列 则 xn 收敛 xn 有界 想一想数列 xn 单调减少时的情形 n重根号 例15设 例17证明数列 e 2 7182818284 是自然对数的底 lnx logex 是无理数 证明存在并求之 且 xn 单调增加收敛于e yn 单调下降收敛于e 例18设 证明 cn 收敛 实际上 我们还有 定义5数列 xn 中依次取出下标为n1 n2 nk 的项组成的新数列 称为 xn 的一个子列 记为 子列是k的函数 而不是n的函数 且 奇子列 2归并性定理 可用于判定数列发散 即若能找到 xn 的一个发散子列或两个极限不同的子列 就可断定 xn 发散 命题 例19说明数列 1 n 发散 例20证明无界数列必有一子列为无穷大 定理6设 xn 为单调数列 A 则 例21设 证明 当p 1时 an 收敛 当p 1时 an 为正无穷大 3Cauchy收敛准则数列 xn 收敛的充要条件是 基本列 Cauchy列 满足上述必要性条件的数列 等价形式 否定形式 数列 xn 发散当且仅当 问题 数列 xn 为基本列与 p N有等价吗 例22设 证明 xn 发散 注此例中 对 p N有 例23设 证明 xn 收敛 思考题如何求极限值