安徽省2019年中考数学一轮复习第二部分热点专题突破专题3题中无圆用圆解题课件.ppt

专题三题中无圆 用圆解题 解答一道数学题 往往有好多种方法 其中有简单明了的 也有转弯抹角的 如果我们能将所学的数学知识融会贯通 就能在短时间里打开思路 找到较为简洁的方法 这一点在时间宝贵的考试中尤为重要 比如一道数学题 试题表面没有涉及圆的知识 但如果我们能想到用圆的知识解答 往往就会柳暗花明 事半功倍 这就是我们说的 用圆求解 另辟蹊径 有关这类试题 2016年和2018年安徽数学中考体现最为集中 如2016年的第10题 第14题 第23题 2018年的第14题 第23题等 类型1 类型2 类型3 利用直角三角形外接圆解题典例1 2016 安徽第10题 如图 Rt ABC中 AB BC AB 6 BC 4 P是 ABC内部的一个动点 且满足 PAB PBC 则线段CP长的最小值为 类型1 类型2 类型3 解析 由 PAB PBC 易得 APB 90 即P点在 ABP的外接圆上 ABP外接圆的圆心O为AB的中点 如图 连接OC OC与 ABP的外接圆在 ABC内部交于点P 这时线段CP长最小 在Rt OBC中 OB 3 BC 4 由勾股定理得OC 5 又 OP 3 CP 2 答案 B 类型1 类型2 类型3 名师点拨 本题给我们的启发是 已知条件中有直角三角形 我们可以想到以这个直角三角形的斜边为直径画出它的外接圆 这个外接圆就成了 辅助线 然后就可以用圆的有关知识解题 这样可以起到事半功倍之奇效 这个方法还可在解答其他几何问题中推而广之 类型1 类型2 类型3 命题拓展考向作一般三角形的外接圆解题1 如图 在 ABC中 AD平分 BAC 交BC于点D 求证 类型1 类型2 类型3 名师点拨 本题也可用相似三角形知识解答 见本书 相似三角形 一节 这里不再赘述 类型1 类型2 类型3 利用四边形外接圆解题典例2 2018 安徽第23题节选 如图 Rt ABC中 ACB 90 点D为边AC上一点 DE AB于点E 点M为BD中点 CM的延长线交AB于点F 1 求证 CM EM 2 若 BAC 50 求 EMF的大小 解析 1 利用四边形BCDE外接圆证明CM EM 2 根据圆周角定理求得 CME 80 从而求出 EMF 答案 1 易得 BED和 BCD均为直角三角形 则这两个三角形有公共的外接圆 即四边形BCDE有一个外接圆 且直径为BD M为圆心 CM EM 2 BAC 50 ACB 90 ABC 40 由 1 得 ABC为圆周角 CME为圆心角 且 ABC与 CME对同弧 CME 80 即 EMF 100 类型1 类型2 类型3 名师点拨 本题在本书 专题二用 数 解 形 的典例3中已经用另一种方法解答 两个方法比较后发现 此题不用圆的知识也可以解答 但想到了圆的知识 就可以另辟蹊径 通过本节课的学习希望同学们能形成 题中无圆 可用圆求解 的意识 类型1 类型2 类型3 命题拓展考向一利用圆的对称性解题2 如图 在四边形ABCD中 ABC ADC 90 M N分别为AC BD的中点 求证 MN垂直平分BD 答案 ABC ADC 90 易得Rt ABC和Rt ADC有同一个外接圆 如图 M为圆心 N为BD的中点 由垂径定理得MN垂直平分BD 类型1 类型2 类型3 考向二利用有公共斜边的两个直角三角形外接圆解题3 如图 在 ABC中 AD BE是两条高 M N分别是AB DE的中点 给出如下结论 MN垂直平分DE ANB 90 其中正确结论的序号是 把所有正确结论的序号都填在横线上 类型1 类型2 类型3 名师点拨 考向二中的问题就是将考向一中的一个直角三角形沿斜边折叠 折叠后这两个直角三角形仍有同一个外接圆 我们仍可以用圆的知识答题 类型1 类型2 类型3 利用圆的定义解题典例3 2016 安徽第23题节选 如图1 点A B分别在射线OM ON上 且 MON为钝角 现以线段OA OB为斜边向 MON的外侧作等腰直角三角形 分别是 OAP OBQ C D E分别是OA OB AB的中点 1 求证 PCE EDQ 2 如图2 延长PC QD交于点R 若 MON 150 求证 ABR为等边三角形 类型1 类型2 类型3 解析 1 利用三角形中位线性质和等腰直角三角形的定义和性质可证结论 2 根据圆周角定理得出 ARB 60 即可证明 ABR为等边三角形 答案 1 由三角形中位线定理易得CE OD CE OD DE OC DE OC 即四边形OCED为平行四边形 OCE ODE PCE QDE PC OC QD OD PC DE CE DQ PCE EDQ 2 由题可知RC垂直平分OA RD垂直平分OB 即RA RO RB 易得A O B三点都在以R为圆心 RA为半径的圆上 MON 150 为圆周角 ARB为圆心角 易得 ARB 60 ABR为等边三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 如图 在 ABC中 A 30 BC 4 点O到A B C三点的距离都为R 则R的长为 解析 易得O为 ABC外接圆的圆心 延长CO交 ABC外接圆于点D 连接DB 则 DBC为直角三角形 D A 30 R 4 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 如图 ABC中 AB BC CA 8 P是BC上一点 BP 5 沿着过P点的一条折痕PD折叠点B至B 连接AB 则线段AB 的最小值为 解析 如图 以P点为圆心 PB长为半径作圆 与PA交于点B 此时AB 的长度最小 过点A作AE BC于点E 在 ABE中 BE 4 AE PE 1 在Rt APE中 AP 7 PB PB 5 AB 的最小值为2 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 如图 在矩形纸片ABCD的CD边上找一点E 将 BCE沿BE折叠 点C恰好落在边AD上的点F处 设 FED 则 EBF 用 表示 解析 容易发现四边形BCEF有一个外接圆 FED 2 EBF EBF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 如图 P为等边 ABC外的一个动点 P点与A点分别在BC所在直线的不同侧 且 APB 60 AB 1 则PB PC的最大值为 解析 APB 60 动点P一定在 ABC的外接圆 O的劣弧BC上 如图 取PD PC 连接CD ABC为等边三角形 APC ABC 60 即 CDP也为等边三角形 易得 ACD BCP AD BP 即AP BP CP 当AP为 O的直径时 BP CP的值最大 PB PC的最大值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 如图 在等边 ABC中 AB 3 M是AB边上一点 MA 2 N是AC边上一动点 N不与A重合 将 AMN沿MN折叠得到 A MN A 恰巧落在等边 ABC的边上 则AN的长为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 2018 浙江舟山 如图 在矩形ABCD中 AB 4 AD 2 点E在CD上 DE 1 点F为边AB上一动点 以EF为斜边作Rt EFP 若点P在矩形ABCD的边上 且这样的直角三角形恰好有两个 则AF的值是 解析 在点F的运动过程中分别以EF为直径作圆 当点F与点A重合时 以EF为斜边的Rt EFP恰好有两个 符合题意 在点F从点A向点B运动过程中 当0 AF 1时 共有4个点P使 EFP是以EF为斜边Rt EFP 当AF 1时 有1个点P使 EFP是以EF为斜边的Rt EFP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 如图 在 ABC中 D是BC边的中点 E F两点在AB边上 FDE FED BDE与 DFE相似 求证 BE CE 解 BDE与 DFE相似 B FDE FDE FED B FED BD DE CD 点B C E在以BC为直径的圆上 BE CE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 如图 在 ABC中 ACB 90 BAC 60 AC 2 P为 ABC所在平面内一点 如果点P满足 BPC 90 设Q是AB的中点 设PQ x 试求x的取值范围 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 2018 贵州遵义 如图 正方形ABCD的对角线交于点O 点E F分别在AB BC上 AE BE 且 EOF 90 OE DA的延长线交于点M OF AB的延长线交于点N 连接MN 1 求证 OM ON 2 若正方形ABCD的边长为4 E为OM的中点 求MN的长 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 1 易证 AOM BON OM ON 2 如图 MON 90 MAN 90 点M A O N四点共圆 由 1 知OM ON OMN OAB 45 过点O作OH AD于点H 正方形ABCD的边长为4 OH 2 HA 2