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广东省梅州市五华县2013届高三上学期第一次质检数学（理）试题本试卷满分150分，考试时间150分，考试用时120分钟注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。参考公式： 锥体的体积公式： （其中S是锥体的底面积，h是锥体的高）球的表面积，体积公式： （R是半径）一、选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。1已知集合，集合则为（ ）A1，2，4B2，3，4C0，2，4D0，2，3，42复数（ ）ABCD3如右图，是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）ABCD4“”是“函数有零点”的（ ）A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件5若曲线在点（0，1）处的切线方程是，则（ ）Aa=1，b=1Ba=1，b=1Ca=1，b=1Da=1，b=16已知向量则是（ ）A最小正周期为的偶函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的奇函数7有5名班委进行分工，其中A不适合做班长，B只适合做学习委员，则不同的分工方案种数为（ ）A18B24C60D488对于任意x，x表示不超过x的最大整数，如1，1=12，1=3，定义R上的函数若，则A中所有元素的和为（ ）A55B58C63D65二、填空题：（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）9计算 。10如图所示的流程图中，输出的结果是 。11在等差数列中，有，则此数列的前13项之和为 。12展开式中，常数项是 。13设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为 。（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的， 只计前一题的得分。14（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，已知曲线为参数）与曲线为参数，）有一个公共点在X轴上，则a=。15（几何证明选讲选做题）如图，PAB、PCD为0的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于 。三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16（本小题满分12分）已知函数的最大值是1，其图像经过点。（1）求的解析式；（2）已知求的值17（本小题满分13分）第30届夏季奥运会将于2012年7月27日在伦敦举行，当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者。将这20名志愿者的身高编成如上茎叶图（单位：cm）：若身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定义“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”。（）如果用公层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽了5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望。18（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，ACAD，PA=AD=2，AC=1。（）证明PCAD；（）求二面角APCD的正弦值19（本小题满分14分）设正项等比数列的首项前n项和为，且（）求的通项；（）求的前n项。20（本小题满分14分）已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右项点D（2，0），设点。（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；（3）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求ABC面积的最大值。21（本小题满分14分）已知函数（）求函数的单调区间；（若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围；（）求证：参考答案一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1 C 2 A 3 D 4C 5D 6A 7A 8 B3【解析】有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积。故选D8 【解析】，所以A中所有元素的和为58二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分30分）9、8 10、120 11、52 12、60 13、4 14、 15、6 13、【解析】做出不等式对应的可行域如图，由得，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，而此时最小为。14、 【解析】曲线：直角坐标方程为，与轴交点为；曲线 ：直角坐标方程为，其与轴交点为，由，曲线与曲线有一个公共点在X轴上，知15、【解析】由得又三、解答题：16、解：（1）依题意知 A=1分 ， 又 ；分 即 分 因此 分 （2） ， 且 ，分 分17、解：（）根据茎叶图，有“高个子”8人，“非高个子”12人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是， 所以选中的“高个子”有人，“非高个子”有人3分用事件表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件表示“没有一名“高个子”被选中”，则 因此，至少有一人是“高个子”的概率是6分（）依题意，所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数X的取值分别为， 因此，X的分布列如下：X11分所以X的数学期望 13分18、解： 方法一:（1）以为正半轴方向，建立空间直角左边系1分则3分6分（2），设平面的法向量则 取10分是平面的法向量11分得：二面角的正弦值为13分方法二:（1）证明,由平面,可得,2分又由,故平面,5分又平面,所以 6分（2）解:如图,作于点,连接,由,可得平面因此,从而为二面角的平面角 9分在中,由此得,10分由（1）知,故在中,12分因此,所以二面角的正弦值为13分19、解：（）由 得 分即可得分因为，所以 解得，分因而 分（）因为是首项、公比的等比数列，故分则数列的前n项和 9分11分前两式相减，得 12分 即 分20、解：（1）由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1 分 又椭圆的焦点在x轴上, 椭圆的标准方程为分（2）设线段PA的中点为M（x,y） ,点P的坐标是（x0,y0）,由x=得x0=2x1y=y0=2y分由,点P在椭圆上,得, 分线段PA中点M的轨迹方程是分（3）当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此ABC的面积SABC=1 分当直线BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx,代入,解得B（,）,C（,）,分则,又点A到直线BC的距离d=,分ABC的面积SABC=分于是SABC=由1,得SABC,其中,当k=时,等号成立SABC的最大值是 分21、解：（），故其定义域为 1分 2分令0,得；令0,得 3分故函数的单调递增区间为单调递减区间为 4分（） 令，又，令解得 6分当x在内变化时，变化如下表x）+0-由表知，当时函数有最大值，且最大值为所以， 9分（）由（）知11分 13分即 14分
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