叶宏本科概率1-全概习题课白底.ppt

概率统计 主讲教师叶宏山东大学数学院 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用 综合运用 加法公式P A B P A P B A B互斥 乘法公式P AB P A P B A P A 0 1 4全概率公式和贝叶斯公式 一 全概率公式 例1有三个箱子 分别编号为1 2 3 1号箱装有1个红球4个白球 2号箱装有2红3白球 3号箱装有3红球 某人从三箱中任取一箱 从中任意摸出一球 求取得红球的概率 解 记Ai 球取自i号箱 B 取得红球 即B A1B A2B A3B 且A1B A2B A3B两两互斥 B发生总是伴随着A1 A2 A3之一同时发生 P B P A1B P A2B P A3B 运用加法公式得 将此例中所用的方法推广到一般的情形 就得到在概率计算中常用的全概率公式 对每一项运用乘法公式 代入数据计算得 P B 8 15 设S为随机试验的样本空间 A1 A2 An是两两互斥的事件 且有P Ai 0 i 1 2 n 全概率公式 称满足上述条件的A1 A2 An为完备事件组 则对任一事件B 有 证明 加法公式 乘法公式 某一事件B的发生有各种可能的原因 i 1 2 n 如果B是由原因Ai所引起 则B发生的概率是 每一原因都可能导致B发生 故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和 即全概率公式 P BAi P Ai P B Ai 全概率公式 我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式的关键 数学模型 完备事件组 B表示产品为次品 分别表示产品由甲 乙 丙车间生产 完备事件组 全概率公式 例3甲 乙 丙三人同时对飞机进行射击 三人击中的概率分别为0 4 0 5 0 7 飞机被一人击中而击落的概率为0 2 被两人击中而击落的概率为0 6 若三人都击中 飞机必定被击落 求飞机被击落的概率 设B 飞机被击落 Ai 飞机被i人击中 i 1 2 3 由全概率公式P B P A1 P B A1 P A2 P B A2 P A3 P B A3 为求P Ai 设Hi 飞机被第i人击中 i 1 2 3 P A1 0 36 P A2 0 41 P A3 0 14 P B P A1 P B A1 P A2 P B A2 P A3 P B A3 0 458 0 36 0 2 0 41 0 6 0 14 1 即飞机被击落的概率为0 458 加法公式 独立性 该球取自哪号箱的可能性最大 实际中还有下面一类问题 已知结果求原因 这一类问题在实际中更为常见 它所求的是条件概率 是已知某结果发生条件下 求各原因发生可能性大小 某人从任一箱中任意摸出一球 发现是红球 求该球是取自1号箱的概率 或者问 有三个箱子 分别编号为1 2 3 1号箱装有1个红球4个白球 2号箱装有2红球3白球 3号箱装有3红球 某人从三箱中任取一箱 从中任意摸出一球 发现是红球 求该球是取自1号箱的概率 1 1红4白 记Ai 球取自i号箱 i 1 2 3 B 取得红球 求P A1 B 运用全概率公式计算P B 将这里得到的公式一般化 就得到 贝叶斯公式 条件概率公式 二 贝叶斯公式 该公式于1763年由贝叶斯 Bayes 给出 它是在观察到事件B已发生的条件下 寻找导致B发生的每个原因的概率 设A1 A2 An是完备事件组 则对任一事件B 有 贝叶斯公式在实际中有很多应用 它可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因 后验概率 在B已经发生的前提下 再对导致B发生的原因的可能性大小重新加以修正 P Ai 先验概率它是由以往的经验得到的 是事件B的原因 该产品由乙车间生产的可能性最大 贝叶斯公式 例4用甲胎蛋白检测法 AFP 诊断肝病 已知确实患肝病者被诊断为肝病的概率为0 95 未患肝病者被误诊为肝病的概率为0 02 假设人群中肝病的发病率为0 0004 现在有一个人被诊断为患有肝病 求此人确实为肝病患者的概率 设A 肝病患者 B 被诊断为患有肝病 由贝叶斯公式 这一讲我们介绍了 全概率公式 贝叶斯公式 它们是加法公式和乘法公式的综合运用 同学们可通过进一步的练习去掌握它们 值得一提的是 后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法 叫作 贝叶斯统计 可见贝叶斯公式的影响 概率统计第一章习题课 习题一 与第二问互为逆事件 9 某种植物有三种基因型 AA Aa aa 每一基因的数量分别为200 600 50 随机抽取一个体 问 1 其基因型为AA的概率是多少 2 其基因型为AA或aa的概率是多少 11 100件产品中有10件次品 用不放回的方式取产品 每次1件 连取三次 求第三次才取得次品的概率 解令Ai为第i次取到正品 13 灌装注射液需要四道工序 各道工序的废品率分别为0 5 0 2 0 1 0 8 假设各道工序是否合格是独立的 求经四道工序全部合格的概率 记Ai 第i道工序合格 i 1 2 3 4 利用独立性 14 为了提高抗菌素的产量和质量 需要对菌种进行培养 如果某菌种的优良变异率p为0 03 试问从一大批菌株中 采取多少只来培养 才能以95 的把握从中至少可以选到一只优良菌株 设需采取n只来培养 Ai表示出现i只优良菌株 独立性 教材例题类似 18 甲 乙两射手击中目标的概率分别为0 8与0 9 如果同时独立地射击一次 求下列概率 1 两人都命中 2 恰有一人命中 3 至少一人命中 4 两人都不中 独立性 19 某集成电路能用2000小时的概率为0 92 能用3000小时的概率为0 85 求已用了2000小时的集成电路能用到3000小时的概率 解令A 集成电路能用到2000小时B 集成电路能用到3000小时 所求概率为 20 日光灯使用寿命在3000小时以上的概率为0 8 求3只日光灯在使用3000小时后 1 都没有坏的概率 2 坏了一个的概率 3 最多只有一只损坏的概率 3重伯努利试验 21 某单位有12台电脑 各台电脑是否被使用是独立的 每台电脑被使用的概率为0 7 问在同一时刻有9台或更多电脑被使用的概率是多少 在同一时刻观察12台电脑 它们工作与否是相互独立的 故可视为12重伯努里试验 22 一个人的血型为O A B AB型的概率分别为0 46 0 40 0 11和0 03 现任选五人 求下列事件的概率 1 恰有两人为O型 2 三人为O型 两人为A型 3 没有一人为AB型 23 口袋中a只黑球 b只白球 随机地一只一只摸 摸后不放回 求第k次摸得黑球的概率 解法1 把球编号 按摸的次序把球排成一列 样本点总数就是a b个球的全排列数 a b 所考察的事件相当于在第k位放黑球 共有a种放法 每种放法又对应其它a b 1个球的 a b 1 种放法 故该事件包含的样本点数为a a b 1 解法2 只考虑前k个位置 解 抽签理论 乘法公式 全概率公式 独立性 3重伯努利试验 从5双不同的鞋子中任取4只 这4只鞋子中 至少有两只配成一双 事件A 的概率是多少 下面的算法错在哪里 错在同样的 4只配成两双 算了两次 从5双中取1双 从剩下的8只中取2只 思考题 正确的答案是 请思考 还有其它解法吗 思考题 一个元件 或系统 能正常工作的概率称为元件 或系统 的可靠性 系统由元件组成 常见的元件连接方式 串联 并联 独立性应用 设两系统都是由4个元件组成 每个元件正常工作的概率为p 每个元件是否正常工作相互独立 两系统的连接方式如下图所示 比较两系统的可靠性 S1 S2 注利用导数可证 当时 恒有 系统二更可靠