北邮概率统计课件条件概率.ppt

2020 3 28 北邮概率统计课件 一 条件概率 某一非典疫情地区有一万人 某一阶段发现有100人为疑似病人 有10人为非典病人 其中5人为由疑似病人转为非典病人 求 该地区由疑似病人转为非典病人的概率 第五节条件概率 引例1 解 设事件A 非典病人 事件B 疑似病人 则此时S 1 2 10000 显然 这是没有附加条件的概率 无条件概率 千分之一 1 若求P A 2020 3 28 北邮概率统计课件 2 该地区由疑似病人转为非典病人的概率为 p 这是求附加了条件 疑似病人 后的概率 则此时不妨设S 1 2 100 由题意可得 这是附加了条件B的概率 有条件概率 此题的结论 该地区由疑似病人转为非典病人的概率为5 要比没有附加 疑似病人 时的概率大50倍 若事件B已发生 则为使A也发生 试验结果必须是既在B中又在A中的样本点 即此点必属于AB 由于现在已经知道B已发生 故B变成了新的样本空间 在10000个人中 100个疑似病人 10个非典病人5个由疑似病人转为非典病人 2020 3 28 北邮概率统计课件 引例2 10件产品中有7件正品 3件次品 7件正品中有3件一等品 4件二等品 现从这10件中任取一件 B 取到正品 记 A 取到一等品 P A B 注 本例中 计算P A 时 依据的前提条件是10件产品中一等品的比例 计算P A B 时 这个前提条件未变 只是加上 事件B已发生 这个新的条件 2020 3 28 北邮概率统计课件 提出三个问题 对于一般具有附加条件的概率问题是否也一定具有引例中的表达形式 由条件概率的概念是否可以得出两个事件乘积的概率 无条件概率P A 条件概率与乘积概率P AB 的区别是什么 2020 3 28 北邮概率统计课件 1 定义 设A B是两个事件 则称为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率 其中 条件概率符合概率定义中的三个条件 对每个事件B 有 设有是两两互不相容的 则有 非负性 规范性 可列可加性 2020 3 28 北邮概率统计课件 2 性质 在第三节中概率的性质1 性质5对条件概率都成立 其它相关的性质请见常用的有 1 用定义计算 P B 0 2020 3 28 北邮概率统计课件 2 从加入条件后改变了的情况去计算 则 P A B B发生后的缩减样本空间所含样本点总数 在缩减样本空间中A所含样本点个数 比如 2020 3 28 北邮概率统计课件 求 36种 3种 解 依题意 样本空间 15种 例1 2020 3 28 北邮概率统计课件 在样本空间S中计算P B P AB 然后依公式计算 从而 方法1 2020 3 28 北邮概率统计课件 在缩减的样本空间或中计算A或B出现的概率就可得所求的条件概率 这种方法适合简单的问题 在缩减的样本空间中看 A中有3个基本事件 其中只有 6 4 是B中包含的基本事件 故有 在缩减的样本空间中看 B中有15个基本事件 故有 方法2 2020 3 28 北邮概率统计课件 由条件概率的定义 二 乘法原理 若已知P B P A B 时 可以反求P AB 设P B 0或P A 0 则 注 乘法原理可推广到多个事件的积事件的情形 其中 P AB 0 即有 定理1 2020 3 28 北邮概率统计课件 甲 乙两厂共同生产1000个零件 其中300件是乙厂生产的 而在这300个零件中 有189个是标准件 现从这1000个零件中任取一个 问 1 这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少 2 发现它是乙厂生产的 则它是标准件的概率是多少 则 1 所求的问题P AB 甲 乙共生产1000个 189个是标准件 300个乙厂生产 B 零件是乙厂生产 A 是标准件 2 所求的问题P A B 解 若设 例2不讲 2020 3 28 北邮概率统计课件 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0 8 活到25年以上的概率为0 4 问现年20岁的这种动物 它能活到25岁以上的概率是多少 设A 能活20年以上 B 能活25年以上 依题意 P A 0 8 P B 0 4 所求为P B A 例3 解 2020 3 28 北邮概率统计课件 无条件概率P A 条件概率P A B 及P AB 的区别 归纳 2020 3 28 北邮概率统计课件 一个罐子中包含b个白球和r个红球 随机地抽取一个球 观看颜色后放回罐中 并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球 这种手续进行四次试求 第一 二次取到白球且第三 四次取到红球的概率 例4波里亚罐子模型 随机取一个球 观看颜色后放回罐中 并且再加进C个与所抽出的球具有相同颜色的球 解 设Wi 第i次取出是白球 i 1 2 3 4 Rj 第j次取出是红球 j 1 2 3 4 2020 3 28 北邮概率统计课件 用乘法公式容易求出 P W1 P W2 W1 P R3 W1W2 P R4 W1W2R3 P W1W2R3R4 于是 W1W2R3R4表示事件 连续取四个球 第一 第二个是白球 第三 四个是红球 2020 3 28 北邮概率统计课件 一场精彩的足球赛将要举行 5个球迷好不容易才搞到一张入场券 大家都想去 只好用抽签的方法来解决 5张同样的卡片 只有一张上写有 入场券 其余的什么也没写 将它们放在一起洗匀 让5个人依次抽取 例5 问 后抽的人确实比先抽的人吃亏吗 2020 3 28 北邮概率统计课件 到底谁说的对呢 请用已学的条件概率 乘法定理来计算一下 每个人抽到 入场券 的概率到底有多大 大家不必争先恐后 你们一个一个按次序来 谁抽到 入场券 的机会都一样大 先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大 2020 3 28 北邮概率统计课件 设 Ai表示 第i个人抽到入场券 i 1 2 3 4 5 显然 P A1 1 5 P 4 5 第1个人抽到入场券的概率是1 5 也就是说 则 表示 第i个人未抽到入场券 因为若第2个人抽到了入场券 则第1个人肯定没抽到 由于 所以由乘法公式 计算得 2020 3 28 北邮概率统计课件 这就是有关抽签顺序问题的正确解答 同理 第3个人要抽到 入场券 必须第1 第2个人都没有抽到 因此 4 5 3 4 1 3 1 5 继续做下去就会发现 每个人抽到 入场券 的概率都是1 5 抽签不必争先恐后 由乘法公式 2020 3 28 北邮概率统计课件 箱子中装有10瓶形状相同的名酒 其中部优名酒7瓶 国优名酒3瓶 今有三个人从箱子中随机地取出一些酒来 每人只拿2瓶 问 恰好第一个人拿到两瓶部优名酒 同时第二个人拿到部优 国优名酒各一瓶 第三个人拿到两瓶国优名酒的可能性有多大 解 设 例6 2020 3 28 北邮概率统计课件 显然 所求事件的概率为 从而 而 10瓶名酒 其中部优7瓶 国优3瓶 第一人拿到两瓶优名酒同时第二人拿到部优 国优名酒各一瓶 第三个拿到两瓶国优名酒 2020 3 28 北邮概率统计课件 例7 设某光学仪器厂制照的透镜 第一次落下时打破的概率为 若第一次落下时未打破 第二次落下破的概率为 若前两次落下未打破 第三次打破的概率为 试求 透镜落下三次未打破的概率 解 设 解法1 因为 所以有 2020 3 28 北邮概率统计课件 解法2 2020 3 28 北邮概率统计课件 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用 综合运用 乘法公式P AB P A P B A P A 0 三 全概率公式和贝叶斯公式 加法公式P A B P A P B A B互斥 2020 3 28 北邮概率统计课件 有三个箱子 分别编号为1 2 3 1号箱装有1个红球4个白球 2号箱装有2红3白球 3号箱装有3红球 某人从三箱中任取一箱 从中任意摸出一球 求 取得红球的概率 解 记Ai 球取自i号箱 i 1 2 3 B 取得红球 即 B A1B A2B A3B 且 A1B A2B A3B两两互斥 B发生总是伴随着A1 A2 A3之一同时发生 P B P A1B P A2B P A3B 运用加法公式 引例 注意到 2020 3 28 北邮概率统计课件 将此引例中所用的方法推广到一般的情形 就得到在概率计算中常用的全概率公式 对求和中的每一项运用乘法公式得 P B P A1B P A2B P A3B 代入数据计算得 P B 8 15 2020 3 28 北邮概率统计课件 注 S的一个划分一是要互斥 二是要充满整个空间 1 样本空间的划分 定义 2020 3 28 北邮概率统计课件 E的一组事件 是S的一个划分或构成了互斥事件完备组 E的另一组事件 就不是S的一各划分 或构不成一个互斥事件完备组 对 掷一颗骰子观察其点数 这一试验 其 比如 2020 3 28 北邮概率统计课件 证明 称为全概率公式 2 全概率公式 定理2 2020 3 28 北邮概率统计课件 全概率公式关键抓住寻找S的一个划分或寻找一个互斥事件完备组 这里事件是导致事件A发生的一组原因 而事件A的出现只能与中之一同时出现 注 2020 3 28 北邮概率统计课件 每一原因都可能导致B发生 故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和即为全概率公式 全概率公式一搬用于 用条件概率求非条件概率 的问题 即P A 不易求 但却很容易找到S的一个划分时用全概率公式比较方便 2020 3 28 北邮概率统计课件 设甲袋中有3个白球 5个红球 乙袋中有4个白球 6个红球 现从甲袋中任取一个球放入乙袋中 再从乙袋中任取一球 求 从乙球中取得白球的概率 设A 从乙袋中取得白球 取球只有两种情况 要么白球要么红球 所以设 例8 解 因为 2020 3 28 北邮概率统计课件 显然 构成一个互斥事件完备组 例9 2020 3 28 北邮概率统计课件 因为抽出的产品只能出自这四条流水线 故设 从而 解 取出的一件是次品 显然 四条流水线产量 率 15 20 25 40 四条流水线次品 率 0 01 0 02 0 03 0 025 2020 3 28 北邮概率统计课件 甲 乙 丙三人同时对飞机进行射击 三人击中的概率分别为0 4 0 5 0 7 飞机被一人击中而击落的概率为0 2 被两人击中而击落的概率为0 6 若三人都击中 飞机必定被击落 求 飞机被击落的概率 P B P A0 P B A0 P A1 P B A1 P A2 P B A2 P A3 P B A3 则B A0B A1B A2B A3B 设B 飞机被击落 Ai 飞机被i人击中 i 0 1 2 3 解 为求P Ai 例10 设Hi 飞机被第i人击中 i 1 2 3 由全概率公式 2020 3 28 北邮概率统计课件 可求得 P A0 0 P A1 0 36 P A2 0 41 P A3 0 14 P B P A1 P B A1 P A2 P B A2 P A3 P B A3 即飞机被击落的概率为0 458 将数据代入计算得 于是 2020 3 28 北邮概率统计课件 该球取自哪号箱的可能性最大 实际中还有下面一类问题 已知结果求原因 这一类问题在实际中更为常见 它所求的是条件概率 是已知某结果发生条件下 求各原因发生可能性大小 引例某人从任一箱中任意摸出一球 发现是红球 求该球是取自1号箱的概率 或者问 2020 3 28 北邮概率统计课件 有三个箱子 分别编号为1 2 3 1号箱装有1个红球4个白球 2号箱装有2个红球3个白球 3号箱装有3个红球 某人从三箱中任取一箱 从中任意摸出一球 发现是红球 求 该球是取自1号箱的概率 引例 2020 3 28 北邮概率统计课件 某人从任一箱中任意摸出一球 发现是红球 求该球是取自1号箱的概率 记Ai 球取自i号箱 i 1 2 3 B 取得红球 求 P A1 B 运用全概率公式计算P B 将这里得到的公式一般化 就得到 贝叶斯公式 2020 3 28 北邮概率统计课件 3 贝叶斯公式 逆概公式 设试验E的样本空间为S A为E的事件 称为贝叶斯 Bayes 公式 证明 略 贝叶斯公式与全概率公式一样都是加法公式和乘法公式的综合运用 值得一提的是 后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断的方法 称作为 贝叶斯统计 这也足可见贝叶斯公式的影响 定理3 则 2020 3 28 北邮概率统计课件 贝叶斯公式 在贝叶斯公式中 P Ai 和P Ai B 分别称为原因的先验概率和后验概率 P Ai 是在没有进一步信息 不知道事件B是否发生 的情况下 人们对诸事件发生可能性大小的认识 贝叶斯公式适用于 用条件概率求条件概率 注 2020 3 28 北邮概率统计课件 在不了解案情细节 事件B 之前 侦破人员根据过去的前科 对他们作案的可能性有一个估计 设为 比如 原来认为作案可能性较小的某甲 现在变成了重点嫌疑犯 例如 某地发生了一个案件 怀疑对象有甲 乙 丙三人 甲 乙 丙 P A1 P A2 P A3 但在知道案情细节后 这个估计就有了变化 P A1 B 知道B发生后 P A2 B P A3 B 2020 3 28 北邮概率统计课件 例11 在例9中已知任取一件产品是次品 问 此次品出自哪条的流水线的可能性大 解 出自第四条流水线可能性大 2020 3 28 北邮概率统计课件 某一地区患有癌症的人占0 005 患者对一种试验反应是阳性的概率为0 95 正常人对这种试验反应是阳性的概率为0 04 现抽查了一个人 试验反应是阳性 则表示 抽查的人不患癌症 已知 P C 0 005 P 0 995 P A C 0 95 P A 0 04 解 设C 抽查的人患有癌症 A 试验结果是阳性 此例即为求P C A 例12 问 此人是癌症患者的概率有多大 2020 3 28 北邮概率统计课件 现在来分析一下结果的意义 由贝叶斯公式 可得 P C A 0 1066 2 检出阳性是否一定患有癌症 1 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义 代入数据计算得 2020 3 28 北邮概率统计课件 如果不做试验 抽查一人 他是患者的概率 患者阳性反应的概率是0 95 若试验后得阳性反应 则根据试验得来的信息 此人是患者的概率为 这说明 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症是有意义的 从0 005增加到0 1066 将近增加约21倍 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义 P C A 0 1066 P C 0 005 分析问题1 2020 3 28 北邮概率统计课件 检出阳性是否一定患有癌症 试验结果为阳性 此人确患癌症的概率为 可见 即使一个人检验出阳性 尚可不必过早下结论此人确患有癌症 因为这种可能性只有10 66 平均来说 1000个人中大约只有107人确患癌症 此时医生常要通过再试验来确认 分析问题2 P C A 0 1066