常微分方程3.1可降阶的高阶微分方程.ppt

1 第三章二阶及高阶微分方程 3 1可降阶的高阶方程 3 3线性齐次常系数方程 3 4线性非齐次常系数方程的待定系数法 3 5高阶微分方程的应用 3 2线性微分方程的基本理论 2 前一章介绍了一些一阶微分方程的解法 在实际的应用中 还会遇到高阶的微分方程 在这一章 我们讨论二阶及二阶以上的微分方程 即高阶微分方程的求解方法和理论 3 3 1可降阶的高阶方程 n阶微分方程的一般形式是 一 可降阶的高阶方程 3 1 2 4 对上式进行k次积分 可求出方程 3 1 2 的解 求解方法 若能求得其通解为 令 就可把 3 1 2 化为关于 即 3 1 2 5 例求解方程 解 将方程积分三次 通解 6 它是一个一阶方程 通解是 则方程可化为 即 解 令 例 求解方程 积分四次 得原方程的通解为 7 例解方程 解 令 代入原方程 8 2 不显含自变量t的方程 求解方法 方程的一般形式为 3 1 3 9 由数学归纳法知 可用 3 1 3 即有新方程 它比原来的方程降低了一阶 10 解 代入原方程 例 可分离变量方程 11 所以 例求解方程 于是原方程化为 作为新未知变量 取 代入原变量得 故原方程的解为 12 3 全微分方程和积分因子 若方程 的左端是某个n 1阶微分表达式 对t的全导数 即 称 3 1 4 为全微分方程 显然有 3 1 4 3 1 5 13 若求得 3 1 5 的全部解 则它也一定是 3 1 4 的解 但乘以一个合适的因子 因子 3 1 4 3 1 5 14 例求解方程 解 原方程可以写成 即 积分后得通解为 故有 15 例求解方程 解 方程两边乘以因子 方程化为 故有 解得 故原方程的解为 16 微分方程 满足条件 的特解是 或 解 可分离变量方程 即 练习 17 求微分方程 的积分曲线 使该 积分曲线过点 且在该点的切线斜率为2 解 方程 代入方程 得 所求积分曲线为 练习 18 思考题 解 积分方程 过曲线y f x 上点 x f x 处的切线方程为 19 积分方程 两边对x求导 即 代入上式 得 可分离变量方程 20 可分离变量方程 分离变量并积分 得 再积分 得 即为所求 21 4 可降阶的高阶方程的应用举例 例 追线问题 22 图3 1 根据条件有 3 1 7 3 1 6 3 1 8 把 3 1 6 代入 3 1 8 并记 得 23 由 3 1 9 和 3 1 10 得到M的追线方程 3 1 10 3 1 11 3 1 9 即 24 例 悬链线问题 有一绳索悬挂在A和B两点 不一定是在同一水平线 如图3 2所示 设绳索是均匀的 柔软的 仅受绳本身的重量作用 它弯曲如图中的形状 试确定该绳索在平衡状态时的形状 25 A B C O 图3 2 考虑绳索在最低点C与点 之间的一段 这一段在下面三个力的作用下平衡 26 得 27 3 1 1 28 或 3 1 1 29 目前的跳远世界记录是Mikepowell在1991 年创造的 成绩是8 95m 但我们最感兴趣的是 BobBeamon在1968年于墨西哥城奥运会上创造的 当时世界记录 成绩是8 90m 这个成绩超过以前 记录55cm 有人认为部分原因是由于墨西哥城空气 的稀薄造成的 墨西哥城的海拔是2600m 稀薄的 空气对跳远者意味着有较小的空气阻力 试建立微 分方程模型来论述这种解释是否合理 例BobBeamon的跳远记录 30 解 例 设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A 1 0 处的乙舰发射制导导弹 如果乙舰以最大的速度v0 v0是常数 沿平行于y轴的 目标的跟踪问题 导弹头始终对准乙舰 直线行驶 导弹的速度是5v0 又问乙舰行驶多远时 它将被导弹击中 设导弹的轨迹曲线为 并设经过时间t 导弹位于点P x y 乙舰位于点Q 1 v0t 由于导弹头始终对准乙舰 直线PQ就是导弹的轨迹曲线弧OP在点P处的切线 求导弹运行的曲线方程 31 即 弧OP的长度为 AQ 的5倍 即 1 2 由 1 式与 2 消去v0t就得 积分方程 3 32 积分方程 3 将 3 式两端对x求导并整理 得 方程 4 转化为 令 初值条件 4 可分离变量方程 分离变量 不显含未知函数的二阶微分方程初值问题 33 两边积分 根据初始条件 即 得 得 将 5 式有理化 得 5 6 5 6 得 34 根据初始条件 得 于是有 这就是导弹运行的曲线方程 又问乙舰行驶多远时 它将被导弹击中 得 当乙舰航行到点 时被导弹击中 35 作业 P1131 1 6 2 1 2 3 3 2 4