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数学实验报告实验序号:1 日期:2010年6月18 日星期五班级07303姓名王 杨学号0730352实验名称无穷级数与函数逼近问题背景描述： 无穷级数在函数性质研究与工程近似计算中有着重要的理论和应用价值。函数逼近就是用一系列简单函数无限接近给定的函数，它又分为局部和整体逼近。在传统的课堂教学中，这两种概念很难讲清楚。实验目的： 用Mathematica显示无穷数项级数前项部分和的变化趋势，理解无穷级数的概念。学习Mathematica关于函数展开成幂级数的命令及方法。研究幂级数的收敛域。观察Fourier级数对周期函数的逼近情况。实验原理与数学模型： 1、无穷数项级数前项部分和称为该级数的部分和，若存在，称该级数收敛且极限值为该级数的和。2、在收敛域内幂级数收敛于一个和函数，但反之，任给函数是否可以看成某个幂级数的和函数，即函数幂级数的展开问题。3、Fourier级数经常用于谐波分析，在物理和电工学中有重要应用。实验所用软件及版本： Mathematica 4.1主要内容(要点)：1、 级数的部分和的变化趋势；2、 将函数展开成泰勒级数；3、 幂级数收敛域；4、 Fourier级数逼近函数的演示。实验过程记录(含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录)：1、 级数部分和的变化趋势在实验一中，我们通过图形能够清楚地显示极限的变化趋势，而级数的和就是部分和序列的极限，下面我们采用散点图来观察级数部分和序列的变化趋势。例1 观察级数的部分和序列的变化趋势，并求和。解：（1）可以用以下两种方法，从图形来观察级数的敛散性。（a）利用“Table”命令生成部分和数列的数据点集后作点图，输入语句如下：sn_:=Sum(-1)(k-1)/(2k-1),k,1,n;data=Tablesn,n,1,400 ;ListPlotdata 图1 图2运行后见图1。从图中可以看到级数收敛，级数和大约为0.786。（b）将级数的所有部分和用竖直线段画出，得到类似条形码的图形，通过这种图形来看出级数的收敛性。输入命令如下：sn=0;n=1;h=;m=3;While1/n10(-m),sn=sn+(-1)(n-1)/(2n-1);h=Appendh,GraphicsRGBColorAbsSinn,0,1/n,Linesn,0,sn,1;n+;Showh,PlotRange-0.2,1.3,Axes-True 运行后见图2。从图中可以看出，级数的和在0.785与0.786之间，并且可以通过改变m的值来提高观察到的和的精度。（2）求和。对于这个级数，可以通过基本输入模板利用求和符号来直接求和，只要输入命令Sum(-1)(n-1)/(2n-1),n,1,Infinity，运行后得到级数和的精确值：。但并不是所有的级数都能如此求和，但可以利用下面的命令来求得和的近似值： NSum(-1)(n-1)/(2n-1),n,Infinity运行后得结果均为：0.785398。为了得到更高的精度，还可以用“N”命令来求函数“Sum”所得的值。大家可以比较一下下面两条命令输出结果的差异：NSum(-1)(n-1)/(2n-1),n,Infinity,30NNSum(-1)(n-1)/(2n-1),n,Infinity,302、 函数的幂级数展开 如果函数在邻域内具有任意阶导数，则函数可以展开为处的幂级数 ，称之为泰勒级数。特别地，当时，称为麦克劳林级数。例2 将函数展开为的幂级数，并利用图形考察幂级数的部分和逼近函数的情况。解：根据幂级数的展开公式，若能展开成的幂级数，其展示为，因此首先定义函数，再计算点的阶导数，最后构成和式。不妨设，输入命令如下：m=-1;fx_:=(1+x)m;x0=0;gn_,x0_:=Dfx,x,n/.x-x0;sn_,x_:=Sumgk,x0/k!*(x-x0)k,k,0,n;命令中的函数sn_,x_表示的是函数在处的n阶泰勒级数。下面我们通过以下命令观察幂级数的部分和逼近函数的情况：t=Tablesn,x,n,20;p1=PlotEvaluatet,x,-1/2,1/2;p2=Plot(1+x)m,x,-1/2,1/2,PlotStyle-RGBColor0,0,1;Showp1,p2运行结果如图3。从图中可以看到，当n越大时，幂级数越逼近函数。 图33、傅里叶级数设是以2T为周期的周期函数，在任一周期内，除在有限个第一类间断点外都连续，并且只有有限个极值点，则可以展开为傅里叶级数：，其中，且傅里叶级数在任一点处收敛于。下面通过例子来研究傅里叶级数的生成以及级数部分和逼近函数的情况。例3 画图观察周期为、振幅为1的方波函数展成的傅里叶级数的部分和逼近的情况。解：根据傅里叶系数公式可得：，故输入以下命令，从输出的图形（图4）观察傅里叶级数的部分和逼近的情况：fx_:=Which-2Pi=x-Pi,1,-Pi=x0,-1,0=xPi,1,Pi=xRGBColor0,0,1,DisplayFunction-Identity;m=18;Fori=1,iIdentity;Showg1,g2,DisplayFunction-$DisplayFunction 图4从图表可以看出，n越大逼近函数的效果越好，还可以注意到傅里叶级数的逼近是整体性的。例4 将函数展开成周期为3的傅里叶级数。解：在下面的Mathematica程序中，先定义了一个产生傅里叶级数的前k项部分和的函数，在后面的“For”循环中连续调用该函数，输出了的傅里叶级数的前项部分和函数，并画出了图形及同一坐标下与其傅里叶级数前7项和函数的图形（如图5）。fourierf_,T_,k_:=Modulea,b,i,t,s,g1,g2,a0=Integratef,x,-T,T/T;s=a0/2;Fori=1,iIdentity;f=x4+1;T=3;n=8;g=Plotf,x,-T,T,PlotStyle-RGBColor0,0,1;Forj=1,j$DisplayFunction 图5实验结果报告与实验总结： 通过本次实验加深了函数项级数内容的理解，为今后进一步学习专业课打下了基础。思考与深入：1、 观察级数的部分和序列的变化趋势，并求和2、 改变例2中m及的数值来求函数的幂级数及观察其幂级数的逼近函数的情况。观察函数展成的傅里叶级数的部分和逼近的情况。教师评语：