“反比例函数的图象和性质”(第一课时)教学设计与反思.doc

“反比例函数的图象和性质”（第一课时）教学设计与反思天津市中小学教育教学研究室刘金英天津市新华中学李庆摘要：基于对“反比例函数的图象和性质”概念的理解、对“反比例函数的图象和性质”内容地位和作用的认识，进行教学设计，从数学学科学习的特点和学生的认知规律出发，通过一系列“问题”的设置，层层递进，顺次展开，力求“还原”数学知识生成的过程。课后反思，主要就“数形结合”的处理、本课的实际教学效果，对教学设计提出两点改进建议。关键词：反比例函数的图象和性质；教学设计；教学反思“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”初中第六次课题研讨会，于2010年4月89日，在江苏省南通市第一初级中学召开。天津市新华中学的李庆老师在本次活动中，采用“借班上课”的方式，以“反比例函数的图象和性质”为课题上了一节研究课。该课题的教学设计，是天津市课题研究小组基于对“反比例函数的图象和性质”概念的理解、对“反比例函数的图象和性质”内容地位和作用的认识，考虑数学学科学习的特点，遵循学生的认知规律，根据人教社课题组提供的教学设计框架，在多次集体研讨、试教交流、修正设计方案的基础上共同完成的。教学设计一、内容和内容解析本节课内容属于全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中的“数与代数”领域，是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，进一步研究反比例函数的图象，并通过图象的研究和分析，来确定反比例函数的性质。反比例函数是最基本的初等函数之一，是后续学习各类函数的基础。反比例函数的核心内容是反比例函数的概念、图象和性质。反比例函数的图象和性质的核心，是图象“特征”、函数“特性”以及它们之间的相互转化关系，这也正是反比例函数的本质属性所在。反比例函数的图象和性质，蕴含着丰富的数学思想。首先，反比例函数图象和性质，本身就是“数”与“形”的统一体。通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质，体现了数形结合的思想方法。这在学习数轴、平面直角坐标系时，学生已经接触过，结合本课内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解，发挥从“数”和“形”两个方面共同分析解决问题的优势。其次，从本节课知识的形成过程来看，由“解析式（确定自变量取值范围）”到“作图（列表、描点、连线）”，再到“性质（观察图象探究性质）”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，这种函数解析式及性质与函数图象之间的联系，突出体现了两者间的转化对分析解决问题的特殊作用，是转化思想的具体应用。再次，将函数中变量、之间的对应关系，通过图象的形状、变化趋势，借助平面直角坐标系和点的坐标，直观地予以呈现，这又充分体现了变化与对应的数学思想。对于反比例函数图象及性质的研究与学习，尽管还处于函数学习的初级阶段，但它所体现的函数学习的一般规律和方法，是继一次函数学习之后的再一次强化。教材中呈现的“函数概念函数的图象和性质函数的实际应用”的结构，是学习初等函数的有效方法。再次，用描点法画反比例函数的图象时，先由函数解析式考虑自变量的取值范围，分析、的对应变化关系，然后构思函数图象的大致位置、轮廓、趋势，进而列表、描点、连线作出函数图象，反映了作函数图象的一般规律。另外，利用图象“特征”确定函数“特性”，也是初中阶段研究函数性质的常用方法。此外，反比例函数图象和性质的学习，是继一次函数后，知识与方法上的一次拓展，理解与认识上的一次升华，也是思维上的一次飞跃。图象由“一条”到“两支”，形态由“直”到“曲”，由“连续”到“间断”，由与坐标轴“相交”到“渐近”，无不反映出对函数概念本质属性认识的进一步深化。因此，学好本节课内容，将为今后的函数学习奠定坚实的基础。教学重点：反比例函数的图象和性质，以及本课内容所蕴含的思想方法。二、目标和目标解析教学目标（1）会画反比例函数图象，理解反比例函数的图象和性质。（2）感悟“数形结合”、“变化与对应”和“转化”的数学思想，并能应用数形结合和转化思想，根据反比例函数的图象探究其性质。（3）培养学生的观察、分析、探究、归纳及概括能力。目标解析（1）本节教学内容的脉络是：先使用描点法画出反比例函数的图象，然后依据图象分析、探究、归纳得到函数的性质。因此，准确画出反比例函数的图象，是探究反比例函数性质的前提。此时，虽然学生已经学过用描点法画函数图象，但是由于反比例函数图象的特殊性，会画反比例函数的图象，仍是学习中的目标之一。通过列表、描点、画出反比例函数的图象，进而观察、分析、探究、归纳、概括，得到反比例函数的性质，可以进一步加深对函数三种表示方法（列表法、解析式法和图象法）的理解。（2）数学思想的教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用发展期、巩固深化期四个阶段，而不能复制与灌输。在探究反比例函数性质时，让学生领悟到数形结合思想、转化思想、变化与对应思想的存在，并能运用这些数学思想观察、分析反比例函数的图象，探究、归纳、概括反比例函数的性质。（3）在探究反比例函数性质的过程中，让学生经历观察、分析、探究、归纳、概括的认知过程，培养学生良好的思维品质，提高学生的思维能力。三、教学问题诊断分析对于用描点法画函数的图象，学生已经学过，但因当时处于函数学习的初始阶段，重点只是让学生掌握用描点法画函数图象的“三步曲（列表、描点、连线）”，所以，学生对每步要求的理解并不深刻。因此，在画反比例函数图象时，常遇到如下的问题：（1）“列表”时确定自变量的取值缺乏代表性及忽略等现象；（2）“连线”时，由于一次函数图象是一条直线，容易使学生产生知识上的负迁移，把双曲线画成折线；（3）对双曲线与轴、轴“越来越靠近”但不相交的趋势不易理解。教学时，应注意进行有针对性的引导，注意从解析式的分析入手，让学生先进行“数”（，,）、“式”（解析式中、的反比例关系）的分析，进而过渡到对“形”（图象）的认识。在学习一次函数的时候，学生已经历过观察、分析图象的特征，抽象、概括函数性质的过程，对研究函数性质所用的探究方法也有一定的了解，因此，通过类比，结合反比例函数的图象探究性质，从使用的方法上不会存在障碍，但由于反比例函数图象相对于一次函数图象，其形态丰富、结构复杂，具有自身的特殊性，故对性质的深入理解和掌握，对性质探究中的数学思想的体会和运用，还存在一定的困难。教学中，应注重强调说明由“数”到“形”、由“形”到“数”的转化关系，以“数”与“形”的转化为途径，展开探究活动。教学难点：准确画出反比例函数的图象，理解反比例函数的性质，并能灵活应用。四、教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以几何画板为平台，绘制反比例函数图象，同时辅之以“点跟踪”等手段，通过动态的演示，观察相关数值的变化，研究图象的变化趋势，抽象概括当自变量变化时，对应的函数值的变化规律，进而探究反比例函数的性质。五、教学过程设计（一）创设情境，引入新知问题1我们已经学习了正比例函数的哪些内容？是如何研究的？以正比例函数为例。师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充，并将答案填写在黑板的表格中，强调是从形状、位置、变化趋势三个方面去研究。【设计意图】通过复习正比例函数的图象和性质，以及研究函数的一般方法，为学习反比例函数的图象和性质做好铺垫。（二）观察探究，形成新知问题2反比例函数的图象是什么样的？以画出反比例函数的图象为例，教师引导学生经历列表、描点、连线的过程。（1）列表（如表1）：表1-6-5-4-3-2-1123456列表时，关注学生是否注意到自变量的取值应使函数有意义（即），同时，所取的点既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或是太小，以便于描点和全面反映图象的特征；（2）描点：一般情况下，所选的点越多图象越精确；（3）连线：引导学生用平滑的曲线，按照自变量从小到大的顺序连接各点，注意图象末端的延伸和延伸的趋势，得到反比例函数的图象。师生活动：教师引导学生列表、描点、作图；展示学生作品；教师板书示范，并通过课件演示反比例函数图象的生成过程，给出双曲线的名称，并渗透它的形态特征.【设计意图】图象是直观地描述和研究函数的重要工具，通过经历用描点法画出反比例函数图象的基本步骤，可以使学生对反比例函数先有一个初步的感性认识。问题3请观察反比例函数的图象，有哪些特征？师生活动：教师引导学生观察，类比正比例函数，归纳说出反比例函数图象的形状、位置、变化趋势及其函数的增减性。【设计意图】通过类比正比例函数，引导学生观察图象的形状、位置、变化趋势，感受“形”的特征，感受自变量与函数值之间变化与对应的关系，使学生对反比例函数的图象和性质形成初步的印象。问题4是不是所有的反比例函数的图象都具有这样的特征呢？以讨论反比例函数为例。在教师引导下，学生借鉴画反比例函数的图象的经验，自主画出反比例函数的图象，教师巡视指导。作图完成后，学生展示作品，并说出该函数图象的特征，教师适时点评。【设计意图】通过再次画出反比例函数的图象，使学生巩固前面已获得的作图经验，提高学生利用描点法画出函数图象的能力。同时，在总结说出反比例函数的图象特征的过程中，使学生增强对图象的观察、感知、分析、概括的能力，以及经历通过画出函数图象，并利用图形研究函数性质的过程。问题5反比例函数与的图象有什么共同特征？有什么不同点？是由什么决定的？师生活动：教师启发学生对比、思考，组织学生讨论，引导学生关注反比例系数“”的作用。【设计意图】学生通过观察比较，总结这两个反比例函数图象的特征，在活动中，让学生自己去观察、发现、总结，实现学生主动参与，探究新知的目的。问题6当取不同的值，上述结论是否适用于所有的反比例函数？教师演示课件，赋予不同的值，观察所得到的不同的反比例函数图象的特征，引导学生归纳“变化中的规律性”。然后，从解析式的角度，引导学生分析上述结论的合理性。【设计意图】通过计算机动态演示，验证猜想，使学生经历从特殊到一般的过程，加强对反比例函数图象“特征”和函数“特性”以及它们之间的相互转化关系的认识。问题7总结反比例函数（）图象的特征和性质。教师帮助学生梳理、归纳，填写表2：表2函数图象形状图象位置图象变化趋势函数增减性【设计意图】通过归纳，培养学生抽象概括能力。（三）巩固提高，应用新知课堂练习 1。下列图象中，可以是反比例函数的图象的是（ ）。2。如图1，已知反比例函数的图象如图所示，则 0，且在图象的每一支上，值随的增大而 。3. 已知反比例函数的图象过点（2，1），则它的图象在 象限，且 0。4. 若反比例函数（）的图象上有两点(，)，(，)，且，则的值是（ ）。（A）正数（B）负数（C）非正数（D）非负数【设计意图】通过一系列的练习，可以实现知识向能力的转化。（四）归纳反思，深化新知问题8通过本节课的学习，你有哪些收获？学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课主要的学习内容，并揭示蕴涵的数学思想方法。【设计意图】教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对反比例函数的图象和性质有一个较为整体、全面认识，同时，使学生养成良好的学习习惯。布置作业1.基础达标：教材中练习的第1、2题，习题17.1的第3题。2.反思提升：将反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）进行对比，可以从以3个方面考虑：（1）两种函数的解析式有何相同与不同？两种函数的图象的特征有何区别？（2）在常数相同的情况下，当自变量变化时，两种函数的函数值的变化趋势有什么区别？（3）两种函数中的取值范围有何不同？常数的符号改变对两种函数图象所处象限的影响如何？六、目标检测设计1。反比例函数的图象在（ ）。（A）第一、二象限（B）第一、三象限（C）第二、三象限（D）第二、四象限2。在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）。3。写出一个反比例函数，使得该反比例函数的图象在第一、三象限，该函数可以是 ；若点在该函数的图象上，则点的坐标可以是 。（分别写出一个即可）4。若双曲线，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 。5。已知反比例函数，（1）填写表3中相应的的值：表3-6-5-4-3-2-1123456（2）根据表中的数据，描点画出函数的图象。6。某住宅小区要种植一个面积是1000 m2的矩形草坪，设草坪的长为（单位：m），宽为（单位：m）。（1）与之间有怎样的函数关系；（2）画出该函数的图象；（3）若限定草坪的宽大于10 m且不超过20 m，求草坪的长的范围。注：天津市课题研究小组：李果民，刘金英，何志平，顾洪敏，刘士勇，李庆，袁爽，张淑媛，张宗玲，王振红，刘静波.教学反思一、关于数形结合的处理在“反比例函数的图象和性质”这一课的教学过程中，“数”与“形”的转化，是贯穿始终的一条主线。主要反映在以下三个方面。第一，反比例函数的图象和性质，是“数”与“形”的统一体，由“解析式”到“作图”，再到“性质”，都充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，是数形结合思想的具体应用。本课的教学设计与实施中，通过“描点法”作图、观察几个具体的反比例函数的图象、课件演示展示“由动点生成函数图象”，很好地反映了“数”、“形”之间的这种内在的联系。第二，在“列表取值为何不能取零”、“反比例函数的图象为何与坐标轴不会相交”、“特殊的反比例函数性质能否推广到一般”这几个问题中，如果单纯依靠观察图象，是无法得出具有“说服力”的结论的，这就需要“回归”解析式，再引导学生进行分析。即我们可以借助直观图形，帮助我们思考相关的问题，但仅有图形的直观是不够的，必须考虑“已经”形式化的“数”的本质“特征”，使“数”、“形”之间达到统一。于是，在教学中，我们同样关注了对“解析式”的分析。第三，在总结得出反比例函数的图象和性质之后，我们为学生提供了一组题目，目的也是为学生提供一个体会“数形结合”、应用“数形结合”分析问题的平台，使学生经历利用“图形直观”来认识、解决与函数有关问题的过程。二、关于教学效果的反思在实际授课过程中，教学环节的展开是自然、顺畅的，如“观察探究，形成新知”环节，学生能够在教师的引导下，说出一次函数的图象特征及性质，并通过类比一次函数的研究方法，完成列表、描点、画出反比例函数图象的过程，也可以通过观察所画出的反比例函数的图象，得出其图象的“特征”和函数的“性质”。然而，由于学生刚刚接触反比例函数的图象，图象的外在形式（双曲线）与一次函数的图象（直线）之间存在较大的差异，学生还缺乏对反比例函数图象“整体形象”的把握。一方面，当反比例系数的绝对值较大时，部分学生画出的图形，不能完整地反映其图象“渐近”的特征；另一方面，在应用反比例函数（增或减）的性质，比较反比例函数的两个函数值的大小时，学生还不能有意识地从“自变量的正负”来考虑问题，这致使学生在课后“目标检测”时，对部分问题的解决出现偏差。此外，展开本节课学习的一个重要的方法，就是“类比”。在教学过程中，教师极力引导学生要“类比一次函数学习的方法”，最大限度地调动学生“合情推理”的因素，以确保学习知识的“正迁移”效应。事实上，这样也会带来另一些负面的影响，学生往往对属于一次函数和反比例函数“共性”的结论印象比较深刻，而对于新的反比例函数“个性”的结论，在理解上反而会受到一些干扰。三、关于教学设计的改进基于上述思考，以及研究课后课题组成员的研讨，我们认为在教学设计中，还存在两处需要改进的地方。（一）应强调“回归”解析式的必要性在本课题的教学中，我们通过“画出”图形，使反比例函数解析式表示的函数关系直观化，更易于学生通过观察，得出函数图象的“特征”及函数的“性质”，但由于这样得出的结论，对“图形”的依赖性过强，甚至形成了“解析式图象性质”的思维定势，而忽视了数学形式化的意义，也有悖于“图形直观”在研究函数问题中的辅助性作用，也就是说，我们不能将对函数的认识，完全等价于对其图形的认识，应该把“图形”与“解析式”结合起来，以利于更好地探究两个变量之间“变化中的规律性”。因此，本教学设计应在注重分析“反比例函数图象的位置特征”，及引导学生观察“反比例函数的增减变化趋势”的同时，更加强调对反比例函数解析式的剖析，如对于反比例函数（），当时，、的正负符号相同，以（，）为坐标的点位于第一或第三象限，且随的增大而减小；当时，、的正负符号相反，以（，）为坐标的点位于第二或第四象限，且随的增大而增大。同时，从解析式本身来看，显然，图象一定不经过坐标原点，也永远不会与轴、轴有交点。这种从“数”的方面的再强调，无疑会使学生对反比例函数图象和性质的认识更加科学精确。（二）应关注“类比”中的“差异性”反比例函数图象和性质的学习，可以类比一次函数的研究方法进行，从而体现了函数学习的一般规律和方法。本教学设计尊重人教版课标教材的编写意图，其中所呈现的通过“描点”画图，到“观察”图象，到分析图象“特征”，再到确定函数中变量、之间的“变化规律”，从而得出函数的“特性”，这一探究的过程和方法，是学习初等函数时不可或缺的。事实上，初中学段后续研究的二次函数，高中学段研究的指数函数、对数函数、幂函数等，都可以采用与之类似的研究“模式”。无疑，“类比”是一种重要的方法，对于学生理解反比例函数、建立完善的认知结构具有重要的意义。但是，我们在运用“类比”的方法研究反比例函数的过程中，还应注意“趋同求异”，关注反比例函数与一次函数之间的“差异性”，如图形的“曲”与“直”、“间断”与“连续”等，这样的认识，在本课教学时，应加以强调，并传达给学生。“17.1.2反比例函数的图象和性质”教学设计江苏省南通市第一初级中学许磊摘要：“17.1.2反比例函数的图象和性质”是在学生已学完一次函数，并初步认识、感知反比例函数概念之后，对反比例函数的图象和性质的进一步掌握基于从函数的角度使学生深刻体会数学与实际生活的联系，感受数学的奇妙，从而加深学生对函数本质意义和研究方法的认识，在探索过程中不断体验数形结合的思想，了解数学模型的应用价值的理念本教学设计，通过引导学生类比一次函数，自主发现反比例函数的图象和性质，并借助多媒体加以验证，在教学过程中通过自主探究、小组研讨、学生设计问题等环节充分激发学生的学习兴趣关键词：类比；数形结合；自主探究；自主设计问题一、内容和内容解析内容人教版课标教材八年级下册“17.1.2反比例函数的图象和性质”。内容解析函数是刻画变量之间关系的数学模型，本节课是学生已学完一次函数，并初步认识、感知反比例函数概念之后，对反比例函数的图象和性质的进一步掌握教学中，应从函数的角度使学生深刻体会数学与实际生活的联系，感受数学的奇妙，从而加深学生对函数本质意义和研究方法的认识，在探索过程中不断体验数形结合的思想，了解数学模型的应用价值教学重点对反比例函数性质的探究和掌握二、目标和目标解析目标能描点画出反比例函数的图象；能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（为常数，0）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析并解决一些简单的实际问题目标解析（1）能描点画出反比例函数的图象。（2）能根据图象数形结合,引导学生发现反比例函数的性质，培养观察、归纳、概括的能力。（3）能利用反比例函数性质分析并解决一些基本问题，抓住函数的变化规律是由决定这一性质。（4）使学生在学习一次函数的性质之后，进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步学会数形结合的思想方法。（5）在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，使学生在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟三、教学问题诊断分析学生已经学习了一次函数，基本熟练掌握了一次函数的概念、图象、性质与应用，同时前一课也初步认识、感知了反比例函数的概念但是反比例函数自身的特殊性以及学生学习一次函数所产生的“惯性”，会导致学生在画图、探究反比例函数的性质等方面出现负迁移等问题学生在描点作反比例函数的图象时，可能会出现以下问题：（1）取点时，都取正值，导致只画出一支曲线；（2）由于所取的点较少，导致图象失真；（3）连线时习惯用线段，导致出现“硬转弯”的折线图；（4）习惯性的过原点或与两坐标轴相交；基于以上可能出现的问题，教学时将采取正面引领（展示学生所画的正确图象，回顾作图步骤），反面剖析（展示学生所画的错误图象，分析错误原因），实践操作（学生再画函数图象时，不仅能正确作出函数的图象，而且能在作图中体验、探索函数的性质）3个步骤加以解决在学生探究反比例函数性质时，对于函数的增减性会出现不加“在每个象限内”这个限定条件的错误教学时将采取举例说明的方法，让学生自主发现问题、解决问题，从而加深对反比例函数增减性的体验和理解四、教学支持条件分析为了高效实现教学目标，可以借助计算机进行辅助教学在学生观察图象、探究反比例函数的性质时，可以借助几何画板将较多反比例函数图象呈现给学生，既节约时间，又有利于学生进行观察、总结在“设计问题”环节的教学，如有学生提出与面积有关的问题，可以通过几何画板演示点在不同反比例函数图象上的移动，引导学生发现代数与几何之间的内在联系和统一，将课堂延伸到课后，并为下一课的教学做好铺垫五、教学过程设计问题1：上一节课我们已经学习了反比例函数的定义，那么什么叫做反比例函数？（形如（）的函数叫做反比例函数）（教师板书：反比例函数（）。）今天我们就来探究反比例函数的图象和它的性质【设计意图】通过类比正比例函数的学习，提出本节课所要研究的问题及其研究方法，并引导学生的研究思路问题2：请大家尝试着画一画反比例函数的图象（教师展示学生作品，并让学生交流作图步骤和注意点）【设计意图】学习正确的作图过程，在填表过程中感受随变化的规律，为基于图象探究函数性质打下基础问题3：（教师首先展示学生所画正确的函数图象）很好！这名同学画出来的函数图象非常优美下面要展示的几幅图同样是来自同学的作品，能不能反思一下它们的问题在哪里？这样我们下次就能画出更美的曲线（展示几幅学生所画有错误的函数图象）【设计意图】重视反例教学，充分开发和利用“错误”资源，感受反比例函数的性质问题4：很好！下面请大家按照正确的步骤和方法再画一下函数的图象（1）列表（如表1）。表1-6-5-4-3-2-1123456（2）描点。（3）连线(教师展示学生所画图象。)【设计意图】加深学生对作反比例函数图象的认识，达到“能描点画出反比例函数的图象”的教学目标；并在列表、画图过程中进一步感知反比例函数的性质，如通过列表发现决定了图象所在的象限等问题5：观察反比例函数的图象是两条曲线（给出函数图象名称：双曲线）教师借助于计算机，画出了更多反比例函数的图象，仔细观察，类比正比例函数的性质，引导学生总结反比例函数的性质（开展小组协作、讨论。）（教师板书：当k0,在每个象限内，随的增大而减小; 当k y2 y3 （B） y2 y1 y3（C） y3 y1 y2 （D） y3 y2 y1【设计意图】加深学生对反比例函数增减性的理解，培养学生结合图象研究函数的习惯问题11：如图1，A、B是双曲线的一个分支上的两点，且点在点的右侧，则的取值范围是 图1【设计意图】加深对反比例函数增减性和“在每个象限内”的理解，培养学生结合图象研究函数的习惯问题12：已知反比例函数，你能运用今天所学的知识，设计一个关于的问题么？例如，函数图象位于第二、四象限，求的取值范围解：因为双曲线在第二、四象限，所以。所以。【设计意图】让学生基于本节课所学的知识设计问题，对学生提出了更高的要求，使学生获取知识和技能的同时，激发学习数学的兴趣，并使智力得到发展，能力得到培养 问题13：学生总结作业：教材P46页习题17.1 3第8题、第9题【设计意图】让学生通过自我总结，更加系统、全面地认识本节课的知识，并把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用，也进一步升华了这节课所要表达的本质思想。六、目标检测设计1.选择题（1）反比例函数的图象位于（ ）。（A）第一、二象限 （B）第一、三象限 （C）第二、三象限 （D）第二、四象限（2）已知函数的图象经过点（2，3），下列说法正确的是（ ）。（A）y随x的增大而增大 （B）函数的图象只在第一象限（C）当x0时，必有y0 （D）点（2，3）不在此函数图象上（3）若反比例函数的图象在其每个象限内,y随x的增大而减小,则k的值可以是（）。（A）-1 （B）3 （C）0 （D）-3（4）矩形面积为4，它的长与宽之间的函数关系用图象大致可表示为（ ）。（5）已知，则函数和的图象大致是（）。（6）函数的图象上有两点，若00时，图象在第_象限， y随x 的增大而_。（9）已知2，4，m是三角形的三边长，那么双曲线的两支在第_象限内。（10）双曲线的两个分支分别位于第 象限3.解答题（11）反比例函数的图象如图2所示，是该图象上的两点比较与的大小；求的取值范围 图2（12）已知一次函数与反比例函数的图象交于点求这两个函数的函数关系式。在给定的直角坐标系（如图3）中，画出这两个函数的大致图象。当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？当为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？答案：（1）D；（2）C；（3）B；（4）B；（5）D；（6）A；（7） ，；（8）一，减小；（9）一、三；（10）二、四；（11） ，；（12），当时，一次函数的值大于反比例函数的值，当时，一次函数的值小于反比例函数的值.【设计意图】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，基本题为主，也有少量综合问题，可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验对反比例函数图象生成的教学反思北京东城教师研修中心雷晓莉摘要：从具体的课例出发，再现了课堂中反比例函数图象“原生态”的生成过程，并对其进行深入的分析和反思，基于“反比例函数的图象为什么是平滑的曲线”，“反比例函数的图象为什么分布在一、三或二、四象限”，“反比例函数的图象与正比例函数图象之间迁移关系”三个问题，提出了相应的教学改进措施.关键词：反比例函数的图象2010年4月810日，“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计的理论与实践”课题组在江苏南通召开了初中第六次研讨会，会上呈现了四节课，其中有两节课是“反比例函数图象和性质”. 这两节课设计的框架基本相同，分为以下4个环节。环节1：类比正比例函数的学习，提出本节课的学习任务“研究反比例函数图象和性质”。环节2：让学生从特例的图象探究反比例函数的图象。环节3：由图象直观归纳、概括反比例函数的性质。环节4：反比例函数图象和性质的简单应用.这两节课的不同之处主要在于一些细节的处理上.具体实施时，一位教师师上了45分钟，而另一位教师上了1小时.听完课后，笔者有许多疑惑，于是认真研究了反比例函数图象生成的教学，反复观看这两位教师的教学录像，追踪了学生的思维过程，同时也调查了九年级学生对反比例函数图象和性质的理解.反思我们的教学，提出自己浅显的见解，供各位同行和教师参考. 一、反比例函数图象生成的教学情景 情景A问题1：我们已经学过正比例函数的哪些内容？是如何研究的？以正比例函数y=6x为例，请同学们从形状、位置、变化趋势三个方面填写表1。表1函数图象形状图象位置图象变化趋势函数增减性y=6xy=-6x问题2：反比例函数的图象会是什么形状呢？利用描点法画出反比例函数y =的图象来看一看.（1）列表（如表2）。表2x-6-5-4-3-2-1123456（2）描点。（3）连线（引导学生用平滑的曲线连接）.教师一边让学生画，一边自己在黑板上画。教师先描点画出图1，然后用平滑的曲线分别连接这些点，得到图2.分析图2，比较第一象限与第三象限的图象，指出反比例函数的图象在第三象限虽然也是用平滑的曲线连接的，但是不对，没有陈述具体理由. 图1 图2随后，教师利用计算机，自变量每隔0.01取一个点，画出反比例函数y =的图象.情景B问题1：我们已经学过正比例函数，掌握了正比例函数的哪些内容？问题2：我们上一节课已经学过反比例函数，它的定义是什么？自变量的取值范围是什么？问题3：怎么画反比例函数的图象？问题4：请用描点法画出反比例函数y =的图象，同时注意点在什么位置，这些点构成什么图形？展示学生用描点法画的作品（如图36）。 图3 图4 图5 图6教师和学生共同分析得出以下结论：（1）图3取点不合理，对自变量只取了正值；（2）图4不应用折线段连接，而应用平滑的曲线连接；（3）图5的趋势不对，因为根据分式的性质，分式值要为0，只能分子为0，而分母不能为0，但该分式的分子是个确定的值6；（4）图6是比较好的图象，对这几个方面考虑得比较全面.然后，教师借助计算机，画出反比例函数，的图象.二、反比例函数图象生成的教学反思1对反比例函数图象为什么是平滑的曲线的思考反比例函数的图象是双曲线，它是用平滑的曲线把一些特殊的点连接起来的，这是反比例函数的图象教学中的难点.但从两节课的课堂生成来看，两位教师都解释说：“反比例函数的图象不能用折线段连起来，只能用平滑的曲线连接。”至于为什么不能这样，并没有给出解释.换句话，也就是说，这两节课对难点的突破有所欠缺. 对于反比例函数图象为什么是平滑的曲线这一教学难点，教学时可以让学生从反比例函数具体的一段图象入手，经历从用较少的点连接到用较多的点连接的过程，让学生慢慢体会、领悟反比例函数的图象是如何由折线变成平滑曲线这一过程的，具体可以从以下几个环节突破.（1）让学生描12个点，画的图象（如表1）；（2）让学生在范围内描5个点，细画的图象的一段（如表3）；表3x14/33/25/32（3）教师利用计算机在范围内描10个点，细画的图象的一段；（4）教师利用计算机在范围内描50个点，细画的图象的一段；（5）教师利用计算机在范围内描100个点，细画的图象的一段；（6）教师利用计算机描1000个点画的图象；在这个过程中，由具体一段函数图象变化的研究，让学生体验随着点的个数的不同，反比例函数的图象是如何由折线变化成曲线的。并说明：平时我们画反比例函数的图象，当然是希望取较少的点就能画出精确的图象，于是可以借助特殊点，利用在研究过程中积累的经验，把它们用平滑的曲线连起来.2对反比例函数的图象为什么分布在一、三或二、四象限的思考针对这个问题，笔者调查了一些学生，学生回答各不相同：生1：在一、三象限，随的增大而减少；在二、四象限，随的增大而增大. 生2：图象在一、三象限，；图象在二、四象限，。生3：从图象上看的.这些回答都是“答非所问”，原因是很多学生根本就没有思考过这个问题，或者可以说，大多数学生都是从描点的角度去思考反比例函数的图象由来的，或是从画出的几个反比例函数图象中归纳总结的，而很少从解析式的角度研究反比例函数的图象.反思这两节研究课，两位教师都是从描点出发，画出图象，再从图象研究性质，而缺少让学生从图象研究性质后再从解析式的角度研究函数图象的性质这一环节，失去了对学生思维能力培养的机会，也缺少了对函数图象“既要从数到形，又要从形到数”两方面的研究.3对反比例函数图象与正比例函数图象之间迁移关系的思考从正比例函数研究的内容、研究的方法类比迁移到反比例函数，这是正迁移，这种迁移能让学生逐步掌握研究函数的一般方法，这对学生的后续学习是很有帮助的.但是在研究反比例函数的图象时，正比例函数的图象的形式对反比例函数的图象造成了负迁移，因为学生画一次函数的图象，只要用两个点就确定了，虽然反比例函数图象是由多个点连接而成的，但学生对一次函数的图象是一条直线这一印象非常深刻，必然会把“一次函数的图象是一条直线”迁移到反比例函数的图象上来，而导致了很多错误的画法产生这种负迁移并不一定就是坏事，只要教师及时引导，找到产生错误的原因，便能加深学生对知识的正确理解和认识.我们知道所有的新知识的学习都涉及迁移先前的知识可能帮助或妨碍学生对新信息的理解，因此，教师不仅要善于通过分析、比较、抽象、归纳等总结概括，而且要分析研究在内容、方法之间存在着联系和区别，以便帮助学生全面、准确、深刻地了解所学知识内容的本质特征及各知识之间的内在联系，促进新旧知识间的积极迁移 总之，反比例函数的图象是学生第一次接触的曲线形式的函数图象，学生对它的学习会有很多的疑问，如果教师能在反比例函数的教学上多下工夫，对学生后续研究二次函数以及高中要学习的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等都将有重要的影响.