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必修1 第三章 函数的应用 3.1 .1 函数的根与方程的零点1. 课本先描述了几个一元二次方程与对应二次函数的图像：分别是（一元二次方程：只有一个未知数，未知数最高次不超过2的方程；）A. 一元二次方程与二次函数y=；B. 一元二次方程与二次函数y=；C. 一元二次方程与二次函数y=； A B C 2.A：方程，为=4，有两个根x1=3，x2=-1，看图像我们就知道实际就是二次函数y=与x轴的两交点的横坐标； B：方程，为=0只有一个根（也可理解为2个相等的根)x1=1；实际就是函数的图像与x轴只有一个交点； C：方程=0，为+2=0，无解（找不到这样的实数x使+2会等于0，因为一个数的平方式大于等于0的，那么+2肯定是2的，所以肯定找不到）；实际看图像就是对应着函数在x轴上方与x轴无交点；且函数的图像显示最小值在2以上； -Victory belongs to the most persevering. 3. 通过上面的例子我们知道了一元二次方程成立（方程有解）；那么对应的二次函数y=与x轴有交点；通过研究我们得到以下：设为判别式：A:当0时表示方程有2个不相等的实数根；二次函数y=，与x轴有2交点；B.当=0时表示方程有2个相同的实数根；二次函数y=，与x轴有1个交点；且这个交点为顶点，要么是最大值（a0开口向上时），要么是最小值（a0开口向下）；C.:当0时表示方程没有实数根；二次函数y=，与x轴无交点；（自己可以用1.的例子算一下的值判断一下）重点知识4. A.如果函数y=f（x）=0有解，也就是函数图像与x轴有交点，如果此时交点为（m，0），那么我们就把（m，0）叫做函数的零点；（理解：其实就是某一个x=m（m为常数），能够使得f（x）的解析式为0）；B.得到以下结论：方程f（x）=0有实数根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点；C.怎么判断零点的范围：二次函数的判断可以用判别式法非二次函数我们可以得到以下结论：如果函数y=f（x）在区间a，b上的图像时连续不断地曲线，并且有f（a）f（b）0，那么，函数y=f（x）在区间(a，b）内有零点，即存在c（a，b），使得f（c）=0，x=c也是f（x）=0的根；例如：二次函数y=，我们可以得到这个函数的图像 -Action speak louder than words 通过计算知道f（-2）f(1)=5（-3）0，所以(-2，1)区间存在数c使得f（x）=0，即就是x=-1时；同理还可以计算f（1）f（4）也可以计算为小于0；学后练习（1） 函数零点与图像关系的理解： 函数y=；当x=1时候y=1-2+1=0所以（1,0）就是此函数的零点；我们再画图如下可以看到就是函数图像与x轴的交点（1,0）处；此函数的，证明有2个相等的实根，图像与x轴只有1个交点；函数只有一个零点；（2） （2014北京）已知函数f（x）=-，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（） ；A（0，1） B（1，2） C（2，4） D（4，+）解：我们可以用判断零点的定理来做，那么我们就得让这个区间的2端的函数值得乘积f（x1）f（x2）0；通过计算：f（2）=3-=2；f（4）=-=-0；所以f（2）f（4）0，答案为C（3） （2014贵州模拟）已知函数f（x）=x-1，函数零点的个数是：解：求函数的零点个数就是函数f（x）=0时，看函数与x轴交点的个数，那么我们可以得到 f（x）=x-1=0 f（x）=x-1=0，化简为=x-1；我们把两边都看成一个函数，就是：左边为常用对数函数=右边为一次函数（x-1），当2个函数的值相等时这2个函数在图像上面有交点他们的差值为0就是f（x）=0；所以这2个函数有几个交点f(x）就有几个零点。画图，可以看到明显有2个交点所以f（x）零点数为2。重点知识5. 用二分法求方程的近似解：课本通过：f（x）= 在区间（2,3）有零点（f(2)= e=2.71（常数函数）所以f（2）=0；所以在（2,3）上有零点），然后我们取区间（2,3）的中点2.5，我们用计算器求得f（2.5）-0.081，所以f（2.5）f（3）0，所以进步确定零点在（2.5,3）中间；再取区间（2.5,3）中点2.75，用计算器求得f（2.75）0.512因为f（2.5）f（2.75）0，所以零点在区间（2.5,2.75）内从区间（2,3）（2.5,3）（2.5,2.75）区间一步步减小了，当我们无限取 区间的中间值得时候，可以确定这个零点的近似值； 二分法：对于在区间a，b上连续不断且f（a）f（b）1)、对数函数y=（a1)、幂函数y=x（n0）都是增函数；但是它们的增长速度不同，指数函数的增长是越来越大的，远大于幂函数的增长速度；对数函数增长确越来越慢；（看课本的图像可以比较出来）；所以总会存在一个相同的x，使得ax；主讲例题3.2函数模型及其应用例题1：一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图下；（1）求图下阴影部分的面积大小，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路前的读书为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读书s(km)与时间t（h）的函数解析式，并作出相应的图像； -A friend is never known till a man has need. 解答：（1）阴影部分的面积可以求得：S=150+180+190+175+165=360km；我们知道每段时间的汽车的速度不同，而速度与时间的乘积就是路程的大小，所以他们每段的和就是汽车在这5h时间内行驶的路程；（2） 我们可以根据上面的图写出每段时间内，汽车行驶的路程与时间的关系式得到：t0,1）h内，S=50t+2004；t1，2)h内，S=80（t-1）+501+2004=80（t-1）+2054；t2，3)h内，S=90（t-2）+501+801+2004=90（t-2）+2134；t3，4)h内，S=75（t-3）+2224；t4，5)h内，S=65（t-4）+2299；（3） 然后我们可以描绘出这个分段函数的图像：（分成一段一段描绘，注意每一段的定义域，就行啦）备注：我们例题一讲到了分段函数，就是在不同的定义域内函数有不同的解析式，那么就有不同的图像，这就是分段函数得分段求的道理； -输了， 并不意味着你比别人差；输了，也不意味着你永远不会成功。即使生活有一千个理由让你哭泣，你也要拿出一万个理由笑对人生！做最好的自己，管别人呢？ 例题2（基础题）（2014赣州二模）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（2014）为多少？解析：这样把函数分2段来写，不同的区间对应不同的解析式叫做分段函数，分段函数的解法就是分段来求，要求的x在那个定义里我们就带到那个解析式里面求得函数的值；答案：当x0时，f(x)=f(x-1) ，由于20140，所以f(2014)=f(2014-1）=f（2013）；f（2013）=f（2013-1）=f(2012);同理一直到f(2014)=f（2013）=f（2012）.=f(1);而10，有f(1)=f(1-1)=f(0);所以f（2014）=f（0）；而f（0）=log=log=4，所以f（2014）=4；例题3（中等题）（2013成都一模）某工厂在政府的帮扶下，准备转型生产一种特殊机器，生产需要投入固定成本500万元，生产与销售均以百台计数，且每生产100台，还需增加可变成本1000万元若市场对该产品的年需求量为500台，每生产m百台的实际销售收入近似满足函数R（m）=5000m-500m（0m5，mN*）；（I）试写出第一年的销售利润y（万元）关于年产量x单位：百台，x5，xN*）的函数关系式；（说明：销售利润=实际销售收人一成本）（II）因技术等原因，第一年的年生产量不能超过300台，若第一年人员的年支出费用u（x）（万元）与年产量x（百台）的关系满足u（x）=500x+500（x3，xN*），问年产量x为多少百台时，工厂所得纯利润最大？ 解析：首先看懂题目是：已知什么？要求什么？（I）要求销售利润 y关于年常量x的关系式；我们知道销售利润=实际销售收入-成本； 此题的成本还有增加成本，所以成本=固定成本+增加成本；（II）工厂的纯利润收入=工厂销售利润-工人人员的支出费用；得到函数的解析式后我们利用解析式求纯利润的最大值；答案：（I）：设第一年的销售利润为y，年常量为x（单位百台）；实际销售收入近似为5000x-500x，成本=500（固定成本）+1000x（每百台多1000万，为增加成本），所以y=5000x-500x-（500+1000x）；化简得：y=-500+4000x-500 （x5，xN*）（II）工厂的纯利润收入=工厂销售利润-工人人员的支出费用；销售利润y=-500+4000x-500；人员的年支出费用u（x）=500x+500（x3，xN*）设工厂的纯利润收入h(X),所以h(X)=-500+4000x-500-u（x）=-500+3500x-1000 =500(x)+5125（x3，xN*）；（关于二次函数-500+3500x-1000的配方：-500+3500x-1000=-500（-7x）-1000=-500（-2*x*+）+500-1000=500(x)+12549-1000=500(x)+5125）由于h(X)=500(x)+5125（x3，xN*）的x是属于N*（正整数的）那么x=3时取得最大值，h（3）=5000；所以利润的最大值是5000万元； -所谓优雅，并不是训练出来的气质，而是人生的一种阅历。一个人的美丽不在于她的外表，而在于她身上的气息。那种经历往事后，坚强而安谧的气息。淡然并不是伪装就可以装出来的，而是一种沉淀。所谓的成功，就是破译了从卑微到伟大的密码。 例题4（中等题）（2012西区一模）某市居民自来水收费标准如 下：每户每月用水不超过4吨时，每吨收费1.8元，当用水超过4 吨时，超过部分每吨收费3元某月甲乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户用水量分别为5x，4x（吨）（1）求y关于x的函数关系；（2）当甲、乙两户共交水费为30.9元时，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费解析：（1）要求y关于x的关系而根据题意知此关系必定是要分情况考虑的，也即是分段函数：分0x，x1和x1三种情况加以讨论，分别给出水费关于x的函数，最后综合即得y关于x的函数关系式； （2） 根据函数的单调性，分3个区间下解关于x的方程，即可求出x值，由此即可解出甲、乙两户该月的用水量和水费；答案：（1）x0，当5x=4时（意思是甲用水4吨）此时x=；当4x=4（乙用水4吨时），x=1；当0x时，此时甲乙都没用水超过4吨，所以y=（5x+4x）1.8=16.2x；当x1时，此时甲超过了4吨，乙没有超过，所以y=4*1.8+（5x-4）*3+4x*1.8=22.2x-4.8；当x1时，此时甲乙都超过了4吨，所以y=81.8+（5x-4）+（4x-4）3=27x-9.6；综上所述： 为函数的解析式；（2）由于y=f（x）在各段区间上均单调增函数，当x0，时，yf（）30.9；不能达到30.9元，无这样的x当x（，1时，yf（1）30.9；不能达到30.9元，无这样的x当x（1，+）时，令27x-9.6=30.9，得x=1.5所以甲户用水量为5x=7.5吨，付费S1=41.8+3.53=17.70元，乙户用水量为4x=6吨，付费S2=41.8+33=13.2元 答：当甲、乙两户共交水费为30.9元时，甲、乙两户该月的用水量分别为7.5吨和6吨，水费分别17.7元和13.2元 我的话：好了到此为止函数的应用基本结束了，根据例题去理解做题的步骤：首先看清楚题目的意思，如果题目对不同条件有不同要求， 那么就是分段函数，如果没有分，就看清楚题目意思，根据意思去列方程，求最小值、最大值的时候一定要结合实际问题与函数定义域去求，对自己列出的方程式要有明确的理由，以此做；还有一种根据书上：从题目意思、列方程、描点、画大概图像、得到结果的过程一定要根据题目意思去列方程，如上面例题好好理解，结果一定要自己算； 到此第一章涉及内容基本结束：下一节复习题详解 -Life isnt about waiting for the storm to pass, its about learning to dance in the rain。
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