高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.4 指数函数课件(理).ppt

第四节指数函数 知识梳理 1 根式 1 根式的概念 若 则x叫做a的n次方根 其中n 1且n N 式子叫做根式 这里n叫做根指数 a叫做被开方数 xn a a的n次方根的表示 xn a x 当n为奇数且n N 时 当n为偶数且n N 时 2 根式的性质 n a n N a a 0 a a 0 a n为奇数 n为偶数 a 2 有理数指数幂 1 幂的有关概念 正分数指数幂 a 0 m n N 且n 1 负分数指数幂 a 0 m n N 且n 1 0的正分数指数幂等于 0的负分数指数幂 0 无意义 2 有理数指数幂的运算性质 aras a 0 r s Q ar s a 0 r s Q ab r a 0 b 0 r Q ar s ars arbr 3 指数函数的图象及性质 上方 0 1 R 0 减 增 y 1 y 1 0 y 1 0 y 1 y 1 特别提醒 1 指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ax a 0 且a 1 的图象 应抓住三个关键点 1 a 0 1 2 指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数 1 y ax 2 y bx 3 y cx 4 y dx的图象 底数a b c d与1之间的大小关系为c d 1 a b 由此我们可得到以下规律 在y轴右 左 侧图象越高 低 其底数越大 小题快练 链接教材练一练1 必修1P56例6改编 若函数f x ax a 0 且a 1 的图象经过点A 则f 1 解析 依题意可知a2 解得a 所以f x x 所以f 1 1 答案 2 必修1P60B组T1改编 若函数y a2 1 x在R上为增函数 则实数a的取值范围是 解析 由y a2 1 x在 上为增函数 得a2 1 1 解得a 或a或a 感悟考题试一试3 2016 泉州模拟 函数f x ax 1 a 0 a 1 的图象恒过点A 下列函数中图象不经过点A的是 A y B y x 2 C y 2x 1D y log2 2x 解析 选A 由f x ax 1 a 0 a 1 的图象恒过点 1 1 又0 知 1 1 不在y 的图象上 4 2016 唐山模拟 函数y ax a 0 且a 1 的图象可能是 解析 选D 方法一 当a 1时 y ax 为增函数 且在y轴上的截距为00 且a 1 的图象必过点 1 0 所以选D 5 2016 黄山模拟 计算 解析 原式 2 3 6 答案 6 考向一指数幂的化简与求值 典例1 1 化简 x 0 y 0 2 计算 0 002 10 2 1 0 解题导引 1 将根式化为分数指数幂 然后利用幂的运算性质进行计算 2 将负分数指数幂化为正分数指数幂 然后利用幂的运算性质进行计算 规范解答 1 答案 1 2 原式 规律方法 指数幂的运算规律 1 有括号的先算括号里的 无括号的先算指数运算 2 先乘除后加减 负指数幂化成正指数幂的倒数 3 底数是负数 先确定符号 底数是小数 先化成分数 底数是带分数的 先化成假分数 4 若是根式 应化为分数指数幂 尽可能用幂的形式表示 运用指数幂的运算性质来解答 易错提醒 运算结果不能同时含有根号和分数指数 也不能既有分母又含有负指数 形式力求统一 变式训练 化简下列各式 其中各字母均为正数 1 2 解析 1 原式 2 原式 加固训练 1 若a 2 1 b 2 1 则 a 1 2 b 1 2的值是 A 1B C D 解析 选D a 2 1 2 b 2 1 2 所以 a 1 2 b 1 2 3 2 3 2 2 化简的值为 解析 由题意可知a 0 故原式 答案 3 化简 解析 原式 考向二指数函数的图象及应用 典例2 1 2016 秦皇岛模拟 函数f x 21 x的大致图象为 2 2016 汕头模拟 若直线y 2a与函数y ax 1 a 0 a 1 的图象有两个公共点 则实数a的取值范围为 解题导引 1 将函数化为f x 2 x的形式 根据函数的性质及过定点 并结合选项判断 2 分01两种情况 分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象 数形结合求解 规范解答 1 选A 函数f x 21 x 2 x 单调递减且过点 0 2 选项A中的图象符合要求 一题多解 解答本题 你知道几种解法 解答本题 还有以下解法 选A 采用平移法 因为函数f x 21 x 2 x 1 所以先画出函数y 2 x的图象 再将y 2 x图象的所有点的横坐标向右平移1个单位 只有选项A符合 2 分底数01两种情况 分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象 如图 从图中可以看出 只有当0 a 1 且0 2a 1 即0 a 时 两函数才有两个交点 所以实数a的取值范围为答案 母题变式 1 本例题 1 中的函数改为f x a1 x 2 则此函数经过的定点是什么 解析 因为指数函数恒过 0 1 故1 x 0 即x 1 f 1 3 故f x 恒过定点 1 3 2 本例题 1 中 若改为函数y 21 x m的图象不经过第一象限 则m的取值范围如何 解析 y 函数y 的图象如图所示 则要使其图象不经过第一象限 则m 2 规律方法 指数函数图象的画法及应用 1 与指数函数有关的函数图象的研究 往往利用相应指数函数的图象 通过平移 对称 翻折变换得到其图象 2 一些指数方程 不等式问题的求解 往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解 变式训练 1 若函数y ax b的图象如图所示 则函数y b 1的图象为 解析 选C 由图可知0 a 1 2 b 1 又函数y b 1的图象是由y 向左平移a个单位 向下平移 b 1 个单位而得到的 结合四个选项可知C正确 2 方程2x 2 x解的个数是 个 解析 方程的解可看作函数y 2x和y 2 x的图象交点的横坐标 分别作出这两个函数图象 如图 由图象得只有一个交点 因此该方程只有一个解 答案 1 加固训练 1 函数f x ax b的图象如图 其中a b为常数 则下列结论正确的是 A a 1 b1 b 0C 00D 0 a 1 b 0 解析 选D 由f x ax b的图象可以观察出 函数f x ax b在定义域上单调递减 所以0 a 1 函数f x ax b的图象是在f x ax的基础上向左平移得到的 所以b 0 2 已知实数a b满足等式2014a 2015b 下列五个关系式 0 b a a b 0 0 a b b a 0 a b 其中不可能成立的关系式有 A 1个B 2个C 3个D 4个 解析 选B 设2014a 2015b t 如图所示 由函数图象 可得 1 若t 1 则有a b 0 2 若t 1 则有a b 0 3 若0 t 1 则有a b 0 故 可能成立 而 不可能成立 3 2016 福建五校联考 定义运算a b 则函数f x 1 2x的图象是 解析 选A 因为当x 0时 2x 1 当x 0时 2x 1 则f x 1 2x 可知A正确 4 若曲线 y 2x 1与直线y b没有公共点 则b的取值范围为 解析 画出曲线 y 2x 1与直线y b的图象如图所示 由图象可得 y 2x 1与直线y b没有公共点 则b应满足的条件是b 1 1 答案 1 1 考向三指数函数的性质及应用 考情快递 考题例析 命题方向1 比较指数幂的大小 典例3 2016 福州模拟 下列各式比较大小正确的是 A 1 72 5 1 73B 0 6 1 0 62C 0 8 0 1 1 250 2D 1 70 3 0 93 1 解题导引 根据选项 构造指数函数 利用指数函数的性质进行判断 规范解答 选B A中 因为函数y 1 7x在R上是增函数 2 50 62 C中 因为0 8 1 1 25 所以问题转化为比较1 250 1与1 250 2的大小 因为y 1 25x在R上是增函数 0 11 00 93 1 命题方向2 指数函数性质的综合应用 典例4 2016 石家庄模拟 已知函数f x a 0且a 1 1 求f x 的定义域和值域 2 讨论f x 的奇偶性 3 讨论f x 的单调性 解题导引 1 将ax用y表示 利用ax 0求值域 2 根据函数的奇偶性的定义判断 3 分01两种情况 对函数f x 的单调性进行讨论 规范解答 1 f x 的定义域是R 令y 得ax 因为ax 0 所以 0 解得 1 y 1 所以f x 的值域为 y 1 y 1 2 因为f x f x 且定义域关于原点对称 所以f x 是奇函数 3 f x 设x1 x2是R上任意两个实数 且x1 x2 则f x1 f x2 因为x11时 0 从而 1 0 1 0 0 从而 1 0 1 0 0 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 f x 为R上的减函数 技法感悟 指数函数的性质及应用问题解题策略 1 比较大小问题 常利用指数函数的单调性及中间值 0或1 法 2 指数函数的综合问题 要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质 如奇偶性 周期性 相结合 同时要特别注意底数不确定时 对底数的分类讨论 题组通关 1 2015 山东高考 设a 0 60 6 b 0 61 5 c 1 50 6 则a b c的大小关系是 A a b cB a c bC b a cD b c a 解析 选C 函数y 0 6x单调递减 所以b 0 61 51 所以b a c 2 2016 宁化模拟 函数y 2x 1 在区间 k 1 k 1 上不单调 则k的取值范围是 A 1 B 1 C 1 1 D 0 2 解析 选C 由于函数y 2x 1 在 0 上递减 在 0 上递增 而函数在区间 k 1 k 1 上不单调 所以有0 k 1 k 1 则k 1 0 k 1 解得 1 k 1 3 2016 成都模拟 已知函数f x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x 1 2 x 则不等式f x 的解集是 A 1 B 1 C 1 D 1 解析 选A 当x 0时 f x 1 2 x 0 又f x 是R上的奇函数 所以f x x 0 的解集关于原点对称 由1 2 x 得2 x1 则f x 的解集是 1 4 2016 太原模拟 已知函数f x 设a b 0 若f a f b 则b f a 的取值范围是 解析 画出函数图象如图所示 由图象可知要使a b 0 f a f b 同时成立 则 b 1 b f a b f b b b 1 b2 b 所以 b f a 2 答案 加固训练 1 2016 郑州模拟 设函数f x 若f a 1 则实数a的取值范围是 A 3 B 1 C 3 1 D 3 1 解析 选C 当a 3 此时 3 a 0 当a 0时 不等式f a 1可化为 1 所以0 a 1 故a的取值范围是 3 1 2 2016 兰州模拟 当x 1 时 不等式 m2 m 4x 2x 0恒成立 则实数m的取值范围是 A 2 1 B 4 3 C 1 2 D 3 4 解析 选C 原不等式变形为m2 m x 因为函数y x在 1 上是减函数 所以当x 1 时 m2 m 恒成立等价于m2 m 2 解得 1 m 2