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第一节 二次函数一、二次函数的解析式:一般式：f(x)=ax2+bx+c.顶点式：f(x)=a(x-h)2+k.零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2).(a0)二、二次函数的最值:当自变量的取值范围为闭区间p,q时，其最值在f(p)、f(q)、f()三者中取得，最值情况如下表：p, qp, qa0fmin=f()= fmax=maxf(p),f(q)fmin=minf(p),f(q)fmax=maxf(p),f(q)a0fmax=f()=fmin=minf(p),f(q)例1. 当x为何值时，函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+(x-an)2取最小值。解：f(x)=(x2-2a1x+a12)+(x2-2a2x+a22)+ +(x2-2anx+an2)=nx2-2(a1+a2+an)x+(a12+a22+an2) 当x=(a1+a2+an)/n时，f(x)有最小值.例2.已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0的两个实数根，x12+x22的最大值是_.解：由韦达定理得：x1x2=k-2，x1x2=k2+3k+5.x12+x22（x1x2）2-2x1x 2=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6=-(k+5)2+19 .已知x1,x2是方程的两个实根，即方程有实数根，此时方程的判别式0，即(k-2)2-4(k2+3k+5) =-3k2-16k-160 解得：-4k.k=-5-4,，设f(k)=-(k+5)2+19则f(-4)=18,f()= 18.当k=-4时，(x12+x22)max=18.例3.已知f(x)=x2-2x+2，在xt,t+1上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式。 解：f(x)=(x-1)2+1 (1)当t+11即t1时，g(t)=f(t)=t2-2t+2 综合（1）、（2）、（3）得：例4（1）当x2+2y2=1时，求2x+3y2的最值；（2）当3x2+2y2=6x时，求x2+y2的最值。 解：（1）由x2+2y2=1得y2= (1-x2)，2x+3y2=2x+ (1-x2)= - (x-)2+ 又1-x2=2y20，x21，1x1 .当x=时，y=，（2x+3y2）max=； 当x=-1时，y=0，（2x+3y2）min=2 (2)由3x2+2y2=6x，得y2=x(2-x)，代入x2+y2=x2+x(2-x)=- (x-3)2+ 又y2=x (2-x)0，得0x2.当x=2，y=0时，（x2+y2）max=4；当x=0，y=0时，(x2+y2)min=0 三、二次函数与二次方程设f(x)=ax2+bx+c(a0)的二实根为x1,x2，(x1x2)，=b2-4ac，且、()是预先给定的两个实数。1当两根都在区间(,)内，方程系数所满足的充要条件x1x2，对应的二次函数f(x)的图象有下列两种情形当a0时的充要条件是：0，f()0，f()0 当a0时的充要条件是：0，f()0，f()0 两种情形合并后的充要条件是：0，af()0，af()02当两根中有且仅有一根在区间（，）内，方程系数所满足的充要条件x1或x2，对应的函数f(x)的图象有下列四种情形从四种情形得充要条件是：f()f()03当两根都不在区间，内方程系数所满足的充要条件（1）两根分别在区间，之外的两旁时x1x2，对应的函数f(x)的图象有下列两种情形（2）两根分别在区间，之外的同旁时x1x2或x1x2，对应函数f(x)的图象有下列四种情形当x1x2时的充要条件是0，af()0当x1x2时的充要条件是0，af()0例5如果方程（1-m2）x2+2mx-1=0的两个根一个小于零，另一个大于1，确定m的范围。解：令f(x)=(1-m2)x2+2mx-1，根据题设条件，f(x)的图形是下列两种情形之一：则（1-m2）f(0)0,(1-m2)f(1)0；即1-m20,(1-m2)(2m-m2)0解得：-1m0 例6当k为什么实数时，关于X的二次方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个实根和分别满足01和12？解：设y=f(x)=7x2-(k+13)x+k2-k-2，则因为a=70，且方程f(x)=0有两实根，所以它的图象是开口向上且与X轴相交于两点（,0）、(,0)的抛物线。由于01，12，可知在x或x时，f(x)取正值；在x时，f(x)取负值。于是，当x分列取0,1，2时，有：f(0)=k2-k-20，f(1)=k2-2k-80，f(2)=k2-3k0解这三个不等式组成的不等式组，可得-2k-1和3k4。练习:1.求所有的实数m，使得关于x的方程有且只有整数根.2.若函数在区间a，b上的最小值为2a，最大值为2b，求区间a，b。3.已知方程x2+2px+1=0有一个根大于1，有一个根小于1，则p的取值为_.四二次函数与二次不等式 一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间。解不等式与证明不等式成立，经常要用到二次函数的极值性质、单调性、图象与x轴的位置关系等。例7若a1,a2,an,b1,b2,bn都是实数，求证：（a1b1+a2b2+anbn）2(a12+a22+a2n)(b12+b22+b2n) 证明：构造二次函数 f(x)=(a1x-b1)2+(a2x-b2)2+(anx-bn)2=( a12+a22+a2n)x2-2(a1b1+a2b2+anbn)x+( b12+b22+b2n).当a12+a22+a2n0即a1,a2,an不全为零时，显然有对xR，f(x)0，故f(x)0的判别式：=4（a1b1+a2b2+anbn）2-4(a12+a22+a2n)(b12+b22+b2n)0.即（a1b1+a2b2+anbn）2(a12+a22+a2n)(b12+b22+b2n) 。当a1=a2=an=0时，结论显然成立，故命题成立。例8设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0x1x2。（1）当x(0,x1)时，证明xf(x)x1（2）设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明：x0。证明：欲证：xf(x)x ,只须证：0f(x)-xx1-x 因为方程f(x)-x=0的两根为x1,x2,f(x)=ax2+bx+c(a0)，f(x)-x=a(x-x1)(x-x2),式即: 0a(x-x1)(x-x2) x1-x a0，x(0,x1),x1-x0,a(x1-x)0 ,式两边同除以a(x1-x)0，得：0x2-x，即：xx2+x .这由已知条件：0xx1x2，即得：xx2+x， 故命题得证。（2）欲证x0，因为x0=，故只须证：x0- =-0 由韦达定理，x1+x2=， =，代入式有-=-0 ,即：x2由已知：0x1x2，命题得证。证明:.令F(x)f(x)x.，因为x1、x2是方程f(x)x0的根，得 F(x)a(xx1)(xx2)，当x(0，x1)时，由于x1x2，xx10，xx20，得(xx1)(xx2)0，又a0，得 F(x)a(xx1)(xx2)0即xf(x).而x1f(x)x1xF(x)x1xa(xx1)(xx2)(x1x)1a(xx2)因为0xx1x2所以x1x0，1a(xx2)1a0得 x1f(x)0，即 f(x)x1.依题意知x0.因为x1，x2是方程f(x)x0的根，即x1，x2是方程ax2(b1)xc0的根，所以 x1x2x0因为ax21，所以x0例9已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=bx，其中a、b、c满足abc,a+b+c=0,(a,b,cR)(1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围命题意图 本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力知识依托 解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合错解分析 由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”技巧与方法 利用方程思想巧妙转化(1)证明由消去y得ax2+2bx+c=0=4b24ac=4(ac)24ac=4(a2+ac+c2)=4(a+c2a+b+c=0,abc,a0,c0,0,即两函数的图象交于不同的两点(2)解设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=,x1x2=|A1B1|2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2abc,a+b+c=0,a0,cacc,解得(2,)的对称轴方程是(2,)时，为减函数|A1B1|2(3,12),故|A1B1|()例10已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围 命题意图 本题重点考查方程的根的分布问题知识依托 解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义错解分析用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点技巧与方法 设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制解 (1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，画出示意图，得 (2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组(这里0m1是因为对称轴x=m应在区间(0，1)内通过)例11已知对于x的所有实数值，二次函数f(x)=x24ax+2a+12(aR)的值都是非负的，求关于x的方程=|a1|+2的根的取值范围解由条件知0,即(4a）24(2a+12)0,a2(1)当a1时，原方程化为x=a2+a+6,a2+a+6=(a)2+a=时，xmin=,a=时，xmax=x(2)当1a2时，x=a2+3a+2=(a+)2当a=1时，xmin=6,当a=2时，xmax=12,6x12综上所述,x12例12 设a，b为实常数，k取任意实数时，函数y(k2k1)x22(ak)2x(k23akb)的图象与x轴都交于点A(1，0). 求a、b的值； 若函数与x轴的另一个交点为B，当k变化时，求|AB|的最大值.分析：由A在曲线上，得k的多项式对k恒成立，即可求的a，b值.解：由已知条件，点A(1，0)在函数图象上，故(k2k1)2(ak)2(k23akb)0整理得：(1a)k(b12a2)0 对kR，上式恒成立， 1a0且b12a20从而a1，b1，y(k2k1)x22(k1)2x(k23k1)设B(，0)，则|AB|1|，(k2k1)x2-2(k1)2x(k23k1)0的两个根为1、，由韦达定理，1整理得：(1)k2(3)k(1)0，1时，得2k0 k01时， kR， 0，即(3)24(1)20得：1且1，综合得：1， 21 |AB|1|0，2即|AB|的最大值为2.例13 实数a、b、c满足a2bc8a70 b2c2bc6a60 求a的取值范围.分析：如何将含有三个变量的两个方程组成的方程组问题，转化为只含有a的不等式，是解决本题的关键，仔细分析观察方程组的特点，发现可以利用a来表示bc及bc，从而用韦达定理构造出a为变量的一元二次方程，由0建立a的不等式.解：由得：bca28a7 由得：(bc)2a22a1 即bc(a1) 由得b，c为方程x2(a1)x(a28a7)0的两个实数根，由于b，cR，所以0，即：(a1)24(a28a7)0即：a210a90，得：1a9
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