高考数学一轮总复习 第五章 数列、推理与证明 第6讲 直接证明与间接证明课件(理).ppt

第6讲直接证明与间接证明 1 直接证明 1 综合法 定义 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫做综合法 中P表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 Q表示要证明的结论 2 分析法 定义 从要证明的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定义 定理 公理等 为止 这种证明方法叫做分析法 2 间接证明 反证法 假设原命题不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫做反证法 最合理的是 A 反证法B 分析法C 综合法 D 前面三种方法都不合适 B 2 用反证法证明命题 三角形三个内角中至少有一个不 大于60 时 应假设 B A 三个内角都不大于60 B 三个内角都大于60 C 三个内角中至多有一个大于60 D 三个内角中至多有两个大于60 A 分析法 B 综合法 C 反证法 D 分析法与综合法并用 B 3 若a b c是不全相等的实数 求证 a2 b2 c2 ab bc ac 其证明过程如下 a b c R a2 b2 2ab b2 c2 2bc a2 c2 2Ac 又a b c不全相等 2 a2 b2 c2 2 ab bc ac a2 b2 c2 ab bc ac 此证法是 A 分析法 B 综合法 A C 间接证法 D 分析法与综合法并用 考点1综合法例1 已知a b c为正实数 a b c 1 求证 互动探究 考点2分析法 2 已知a b 0 求证 2a3 b3 2ab2 a2b 证明 要证2a3 b3 2ab2 a2b成立 只需证2a3 b3 2ab2 a2b 0 即2a a2 b2 b a2 b2 0 即 a b a b 2a b 0 a b 0 a b 0 a b 0 2a b 0 从而 a b a b 2a b 0成立 2a3 b3 2ab2 a2b 互动探究 考点3反证法 例3 2014年广东广州一模 已知数列 an 的前n项和为Sn 且a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n n N 1 求数列 an 的通项公式 2 若p q r是三个互不相等的正整数 且p q r成等差数列 试判断ap 1 aq 1 ar 1是否成等比数列 并说明理由 解 1 a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n n N 当n 1时 有a1 1 1 S1 2 解得a1 2 由a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n 得a1 2a2 3a3 nan n 1 an 1 nSn 1 2 n 1 两式相减 得 n 1 an 1 nSn 1 n 1 Sn 2 以下提供两种方法 方法一 由 式 得 n 1 Sn 1 Sn nSn 1 n 1 Sn 2 即Sn 1 2Sn 2 Sn 1 2 2 Sn 2 S1 2 a1 2 4 0 数列 Sn 2 是以4为首项 2为公比的等比数列 Sn 2 4 2n 1 即Sn 4 2n 1 2 2n 1 2 当n 2时 an Sn Sn 1 2n 1 2 2n 2 2n 又a1 2也满足上式 an 2n 方法二 由 式 得 n 1 an 1 nSn 1 n 1 Sn 2 n Sn 1 Sn Sn 2 得an 1 Sn 2 当n 2时 an Sn 1 2 得an 1 2an 由a1 2a2 S2 4 得a2 4 a2 2a1 an 1 2an n N 数列 an 是以a1 2为首项 2为公比的等比数列 an 2n 2 ap 1 aq 1 ar 1不成等比数列 理由如下 p q r成等差数列 p r 2q 规律方法 反证法主要适用于以下两种情形 要证的条件和结论之间的联系不明显 直接由条件推出结论的线索不够清晰 如果从正面出发 需要分成多种情形进行分类讨论 而从反面证明 只要研究一种或很少几种情形 互动探究 3 设 an 是公比为q的等比数列 Sn是它的前n项和 1 求证 数列 Sn 不是等比数列 2 数列 Sn 是等差数列吗 并说明理由 2 解 当q 1时 Sn 显然是等差数列 当q 1时 Sn 不是等差数列 假设当q 1时 S1 S2 S3成等差数列 则2S2 S1 S3 即2a1 1 q a1 a1 1 q q2 a1 0 2 1 q 2 q q2 即q q2 q 1 q 0 这与q 0相矛盾 综上所述 当q 1时 Sn 是等差数列 当q 1时 Sn 不是等差数列 1 综合法的特点是 以 已知 看 可知 逐步推向 未知 其逐步推理 实际上是寻找它的必要条件 分析法的特点是 从 未知 看 需知 逐步靠拢 已知 逐步寻找结论成立的充分条件 2 分析法和综合法各有优缺点 分析法思考起来比较自然 容易寻找到解题的思路和方法 缺点是思路逆行 叙述较繁 综合法从条件推出结论 较简捷地解决问题 但不便于思考 实际证题时常常两法兼用 先用分析法探索证明途径 然后再用综合法叙述出来 3 利用反证法证明数学问题时 要假设结论错误 并用假设的命题进行推理 没有用假设命题推理而推出矛盾结果 其推理过程是错误的 在使用反证法证明数学命题时 反设必须恰当 如 都是 的否定是 不都是 至少一个 的否定是 不存在 等