不等式7-3简单的线性规划问题.ppt

重点难点重点 二元一次不等式表示的平面区域 难点 目标函数的确定及线性规划的实际应用 知识归纳1 二元一次不等式Ax By C 0 或Ax By C0 则包含点P的半平面为不等式Ax By C 0所表示的平面区域 不包含点P的半平面为不等式Ax By C 0所表示的平面区域 注意 画不等式Ax By C 0 或Ax By C 0 所表示的平面区域时 区域包括边界直线Ax By C 0上的点 因此应将其画为实线 把等号去掉 则直线为虚线 2 线性规划的有关概念 1 把要求最大值或最小值的函数叫做目标函数 2 目标函数中的变量所满足的不等式组称为约束条件 3 如果目标函数是关于变量的一次函数 则称为线性目标函数 4 如果约束条件是关于变量的一次不等式 或等式 则称为线性约束条件 5 在线性约束条件下 求线性目标函数的最大值或最小值问题 称为线性规划问题 6 满足线性约束条件的解 x y 叫做可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 7 使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标 称为问题的最优解 3 利用图解法解决线性规划问题的一般步骤 1 作出可行域 将约束条件中的每一个不等式所表示的平面区域作出 找出其公共部分 2 作出目标函数的等值线 3 确定最优解 一 在可行域内平行移动目标函数等值线 最先通过或最后通过的顶点便是最优解对应的点 从而确定最优解 二 利用围成可行域的直线的斜率来判断 若围成可行域的直线l1 l2 ln的斜率分别为k1 k2 kn 而且目标函数的直线的斜率为k 则当ki k ki 1时 直线li与li 1相交的点经常是最优解 误区警示1 在求解应用问题时要特别注意题目中的变量的取值范围 防止将范围扩大 2 对线性目标函数z Ax By中的B的符号一定要注意 当B 0时 直线过可行域且在y轴上截距最大时 z值最大 在y轴上截距最小时 z值最小 当B 0时 直线过可行域且在y轴上截距最大时 z值最小 在y轴上截距最小时 z值最大 3 解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的 所以作图应尽可能精确 图上操作尽可能规范 求最优解时 若没有特殊要求 一般为边界交点 若实际问题要求的最优解是整数解 而我们利用图解法得到的解为非整数解 应作适当调整 其方法应以与线性目标函数直线的距离为依据 在直线附近寻求与直线距离最近的整点 但必须是在可行域内寻找 但考虑到作图毕竟还是会有误差 假若图上的最优点并不明显易辨时 应将最优解附近的整点都找出来 然后逐一检查 以 验明正身 解题技巧1 二元一次不等式表示的平面区域的判定方法 1 不过原点 也不与坐标轴重合的直线 取原点检验 将原点坐标代入 若满足不等式 则不等式表示的平面区域为原点所在的一侧 否则为另一侧 过原点的取x轴 或y轴 上一点 如 1 0 检验 结论同上 简称直线定界 特殊点定域 2 B值判断法 主要看不等号与B的符号是否同向 若同向则在直线上方 若异向则在直线下方 简记为 同上异下 这种判断方法称作B值判断法 即判定点P x0 y0 在直线l Ax By C 0 B 0 哪一侧时 令d B Ax0 By0 C 则d 0 P在直线l上方 d 0 P在l上 d 0 P在l下方 一般地说 直线不过原点时用原点判断法或B值判断法 直线过原点时用B值判断法或用 1 0 点判断 2 目标函数z Ax By C 当B 0时 z的值随直线在y轴上截距的增大而增大 当B 0时 z的值随直线在y轴上截距的增大而减小 求整数最优解时 可用格点法 也可将边界线附近的可行解代入目标函数 求值比较得出 例1 设集合A x y x y 1 x y是三角形的三边长 则A所表示的平面区域 不含边界的阴影部分 是 分析 三角形的边长为正值 且任意两边之和大于第三边由此可列出x y满足的约束条件 画出对应的平面区域 答案 A 文 2010 北京文 若点P m 3 到直线4x 3y 1 0的距离为4 且点P在不等式2x y 3表示的平面区域内 则m 分析 如果点P在二元一次不等式Ax By C 0 A2 B2 0 表示的平面区域内 则点P的坐标满足此不等式 答案 3 理 一工厂生产甲 乙两种产品 生产每吨产品的资源需求如下表 该厂有工人200人 每天只能保证160kW h的用电额度 每天用煤不得超过150t 请在直角坐标系中画出每天甲 乙两种产品允许的产量范围 解析 设每天分别生产甲 乙两种产品xt和yt 生产xt甲产品和yt乙产品的用电量是 2x 8y kW h 根据条件有 2x 8y 160 用煤量为 3x 5y t 根据条件有 3x 5y 150 用工人数 5x 2y 人 根据条件有 5x 2y 200 另外 还有x 0 y 0 综上所述 x y应满足以下不等式组 分析 z 2x y即y 2x z 当直线y 2x z在y轴上的截距最大 小 时 z取最小 大 值 解析 先画出可行域如图 显然z 2x y在点 1 3 处达到最小值 5 在 5 3 处达到最大值7 z 5 7 答案 5 7 理 2010 重庆诊断 设O为坐标原点 点M的坐标为 2 1 若点N x y 满足不等式组 则使 取得最大值的点N的个数是 A 1B 2C 3D 无数个分析 点N x y 在不等式表示的平面区域之内 U 为x y的一次表达式 则问题即是当点N在平面区域内变化时 求U取到最大值时 点N的个数 解析 如图所示 可行域为图中阴影部分 而 2x y 所以目标函数为z 2x y 作出直线l 2x y 0 显然它与直线2x y 12 0平行 平移直线l到直线2x y 12 0的位置时目标函数取得最大值 故2x y 12 0上每一点都能使目标函数取得最大值 故选D 答案 D 答案 A点评 求解线性目标函数在约束条件下的最值问题的步骤 作图 画出约束条件 不等式组 所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l 平移 将直线l平移 以确定最优解所对应的点的位置 求值 解有关的方程组求出最优解的坐标 再代入目标函数 求出目标函数的最值 注意 最优解有时是惟一的 有时不是唯一的 甚至是无穷多的 解析 作出区域D 联系指数函数y ax的图象 能够看出 当图象经过区域的边界点 2 9 时 a可以取到最大值3 而显然只要a大于1 图象必然经过区域内的点 答案 A 例3 某地一公司计划明年在省 市两个电视台做总时间不超过300分钟的广告 广告总费用不超过90000元 省 市电视台的广告收费标准分别为500元 分钟和200元 分钟 根据经验 省 市两个电视台为该公司所做的每分钟广告 能给公司带来的收益分别为3000元和2000元 问该公司如何分配在省 市两个电视台的广告时间 才能使公司的收益最大 最大收益是多少元 点M的坐标为 100 200 zmax 3000 x 2000y 700000 元 即公司在省电视台和市电视台做广告的时间分别为100分钟和200分钟时 总收益最大 最大收益为700000元 点评 1 线性规划实际应用问题的类型 给定一定数量的人力 物力资源 问怎样安排运用这些资源能使完成的任务量最大 收到的效益最大 给定一项任务 问怎样统筹安排能使完成这项任务的人力 物力资源量最小 2 线性规划实际问题的求解步骤 认真分析实际问题的背景 收集有关数据 有时将数据用表格列出 将影响该问题的各项主要因素作为决策量 设未知量 根据问题的特点 写出约束条件和目标函数 按求解线性规划问题的一般步骤求出最优解或其它要求的解 根据求解结果 对实际问题作出解释 答案 500 理 某公司有60万元资金 计划投资甲 乙两个项目 按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍 且对每个项目的投资不能低于5万元 对项目甲每投资1万元可获得0 4万元的利润 对项目乙每投资1万元可获得0 6万元的利润 该公司正确规划投资后 在这两个项目上共可获得的最大利润为 A 36万元B 31 2万元C 30 4万元D 24万元 答案 B 答案 B 解析 首先绘制不等式组表示的平面区域如图所示 当直线4x 2y z过直线y 1与直线x y 3 0的交点 2 1 时 目标函数z 4x 2y取得最大值10 答案 C 解析 由约束条件作出可行域如图 当直线z 2x y经过点D 1 1 时z取最大值 zmax 3 答案 D 答案 D 答案 B 答案 C 答案 A 点评 要注意表达式的几何意义的理解应用 请再做下题 答案 13 解析 作出可行域如图 x2 y2表示可行域内的点到原点距离的平方 显然点B 2 3 使x2 y2取最大值13 答案 C 解析 可行域为如图阴影区域 平移直线l0 3x 2y 0 当直线l0经过点A 0 2 时 z取得最大值zmax 0 2 2 4 故选C 答案 C 答案 A 解析 由图可知 当z 3x 5y经过点A 4 0 时 z取最大值 最大值为12 故选A 答案 B 解析 区域D如图 由于S f t 表示区域D被夹在直线x 1与x t之间的部分的面积 故随着t的增大 S增大 增大速度由快到慢 再由慢到快 故选B 5 某公司租赁甲 乙两种设备生产A B两类产品 甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件 乙种设备每天能生产A类产品6件与B类产品20件 已知设备甲每天的租赁费为200元 设备乙每天的租赁费为300元 现该公司至少要生产A类产品50件 B类产品140件 所需租赁费最少为多少元