中考总复习一：实数.doc

中考总复习一：实数 一、考试目标：了解有理数、无理数、实数的概念；会比较实数的大小，知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数；理解相反数和绝对值的概念及意义。进一步，对上述知识理解程度的评价既可以用纯粹数学语言、符号的方式呈现试题，也可以建立在应用知识解决问题的基础之上，即将考查的知识、方法融于不同的情境之中，通过解决问题而考查学生对相应知识、方法的理解情况。了解乘方与开方的概念，并理解这两种运算之间的关系。了解平方根、算术平方根、立方根、二次根式的概念，了解整数指数幂的意义和基本性质。二、具体目标：1.有理数(1)理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。(2)借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）。(3)理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）。(4)理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。(5)能运用有理数的运算解决简单的问题。(6)能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断。2.实数(1)了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。(2)了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。(3)了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一对应。(4)能用有理数估计一个无理数的大致范围。(5)了解近似数与有效数字的概念。在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值。(6)了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）。三、知识梳理：1实数的分类 有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如（m，n是整数n0）”的数叫有理数无理数：无限不循环小数叫无理数实数：有理数和无理数统称为实数2实数的相关概念(1)相反数1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数0的相反数是0.2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.(2)绝对值1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0可用式子表示为： 2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数用式子表示：若a是实数，则|a|0(3)倒数1)实数的倒数是；0没有倒数；2)乘积是1的两个数互为倒数a、b互为倒数.(4)平方根1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根a（a0）的平方根记作2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根a（a0）的平方根记作(5)立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根仍是零(6) 二次根式：1)式子叫做二次根式是一个非负数.2)3)最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.4)二次根式的运算： 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 3实数与数轴 规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数4实数大小的比较(1)对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大。(2)正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小。(3)对于实数a、b， 若a-b0ab； a-b=0a=b； a-b0ab，bc，则ac.(5)无理数的比较大小： 利用平方转化为有理数：如果ab0， a2b2ab； 或利用倒数转化：如比较与.5实数的运算(1)加同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数满足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)(2)减减去一个数等于加上这个数的相反数(3)乘几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负几个数相乘，有一个因数为0，积就为0乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac(4)除除以一个数，等于乘上这个数的倒数两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除0除以任何一个不等于0的数都得0(5)乘方与开方1)an所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方3)零指数与负指数(6)实数的运算顺序加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算这三级运算的顺序是三、二、一如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算6有效数字和科学记数法一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到哪一位一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字把一个数用a10n的形式记数的方法叫科学记数法（其中n是整数）四、典型例题剖析：理解实数的有关概念例1.（1）a的相反数是-，则a的倒数是_（2）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示: 则化简=_（3）（泉州市）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩，用科学记数法表示为约_【分析】（1）注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个数要改变分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于0，互为倒数的两个数乘积等于1来计算.（2）此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝对值内的数的性质符号.由图知：（3）考查科学记数法概念.答案：（1）5 （2）-a-b （3）1.02107亩.【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解掌握实数的分类例2.下列实数、sin60、3.14159、-、中无理数有（ ）个A1 B2 C3 D4答案：C. 无理数有sin60、.【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断快速准确地进行实数运算例3.计算：计算：【考点】实数的混合运算【分析】该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂，正整数指数幂只要准确把握各自的意义，就能正确的进行运算，其结果为1【易错点】忘记负整数指数（0指数）幂的意义，而使例4. 比较下列每组数的大小：1）和 2）、 3）与 4）a与（a0）【分析】1）有理数比较大小：两个负数，绝对值大的反而小。因此比较和的大小，将其通分，转化成同分母分数比较大小， ， ， 所以2）无理数比较大小，往往通过平方转化以后进行比较， 因为 所以；3）但有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较，如 ， 而与可以很容易进行比较得到 ， 所以；4）这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有倒数，1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况。 当a-1或Oa1时，a； 当-1a1时，a；我们还可以利用函数图象来解决这个问题，把的值看成是关于a的反比例函数，把a的值看成是关于a的正比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很直观的比较出它们的大小。例5. 已知：x ，y是实数，若axy-3x=y，则实数a的值是_。【分析】此题考查的是非负数的性质。 即 两个非负数相加和为0，则这两个非负数必定同时是0 ，(y-3)2=0， x=， y=3 又axy-3x=y， a=.能力提升例6计算：【分析】近年来，为了突出考察学生创造思维的水平，中考命题时不仅考查运算的熟练，准确，更注重考查算理的运用和灵活处理运算问题的能力，使运算更加合理简便的能力、我们从复习数开始，就要加强含字母的式子变形技能的训练及能力的提高。解：设n=2001，则原式= （把n2+3n看作一个整体） = =n2+3n+1=n(n+3)+1 =20012004+1=4010005.例7.细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题 （1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+ S22+ S32+ S102的值。【分析】近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目，这些问题素材的选择、文字的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础知识，基本技能，更重点考察了创新意识和能力，还考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力。（1）由题意可知，图形满足勾股定理， （2）因为OA1=，OA2=，OA3=， 所以OA10=（3）S12+ S22+ S32+ S102 = =【基础训练】11下列语句：无理数的相反数是无理数；一个数的绝对值一定是非负数；有理数比无理数小；无限小数不一定是无理数，其中正确的是（ ）A B C D2（长沙市）已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ） Aab Bab0 Da+b03（芜湖市）三峡工程是世界防洪效益最为显著的水利工程，它能有效控制长江上游洪水，增强长江中下游抗洪能力，据相关报道三峡水库的防洪库容22150000000m3，用科学计数法可记作（ ）A221.5108m3 B22.15109m3C2.2151010m3 D2215107m349的相反数的倒数是（ ）A-9 B C9 D-5（武汉市）如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60时，其影长AC约为（ ） （取1.732，结果保留3个有效数字）A5.00米 B8.66米 C17.3米 D5.77米6（常德市）下列计算正确的是（ ）A B C24=4 D7（南通市）一个篮球需要m元，买一个排球需要n元，则买3个篮球和5个排球共需要_元8图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，第四行有8个，你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有_个苹果【能力提升】9计算：； 10若a、b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，求a2-b2+（cd）-1（1-2m+m2）的值11数a，b在数轴上的位置如图所示: 化简.12（临安市）已知： 若符合前面式子的规律，则a+b=_13（江阴市）将正偶数按下表排列：第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 2 第2行 4 6 第3行 810 12 第4行 14 16 18 20 根据上面的规律，则2006所在行、列分别是_应用与探究14（辽宁省）在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示）， 设计如图（1）所示的几何图形（1）请你利用这个几何图形求的值为_（2）请你利用图（2）再设计一个能求的值的几何图形【答案】1C 2A 3C 4D 5D 6D73m+5n 8.29（512） 9 101或 11-b. 12109 （提示：规律，所以a=99，b=10，a+b=109）13第45行第13列 14（1）（2）