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18.1变量与函数 第1课时 (一)本课目标 1.初步学会从图形(或图象),表格中获取有用信息。 2.了解常量、变量、函数的意义,了解函数的三种表示方法. 3.能够列出简单问题的函数解析式. (二)教学流程 1.情境导入 观察情境图并思考:情境图中哪些物体是运动变化的?怎样刻画这些物体运动变化的规律? 2.课前热身 (1)怎样刻画路程、速度和时间之间的规律? (2)怎样刻画圆的面积与它的半径之间的规律? (3)银行里怎样展示存款期限与相应的存款利率之间的规律的? 3.合作探究 (1)整体感知 如何利用数学知识定量刻画事物的运动变化规律呢?数学家们经过很长时间的探索和研究,发现引入了函数的知识来表示这个动态过程.从本节课开始我们将学习这一部分知识. (2)四边互动 互动1 师:利用幻灯片1演示问题1.如图17-1-1是所示某地一天内的气温变化图。温度T() 时间t(时) 看图回答: (1)这一天的6时、10时和14时的气温分别为多少? (2)这一天中,最高气温是多少?最低气温是多少? (3)这一天中,什么时段气温在逐渐上升?什么时段气温在逐渐降低? 师:在这个变化过程中,任选时刻t的一个确定值,温度T有几个值和这个时刻相对应?归纳:在该图形(或图象)中,任取一个时刻t的一个确定值,温度T都有唯一的一个值和该时刻t相对应. 互动2 银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率,下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率.存期x三月 六月一年 二年三年五年 年利率y(%)1.71001.89001.98002.25002.5200 2.7900 观察上表,说一说随着存期x的增长,相应的年利率y是如何变化的. :观察上述表格,在上述变化过程中,任取存期x的一个确定的值,年利率y有几个值和它对应?归纳总结:从表格中可以看出,任取一个存期x的一个确定值,年利率y都有唯一的一个值和该存期x相对应. 互动3如图17-1-2所示的收音机刻度盘的波长和频率分别是用米和千赫兹为单位表刻的.下表是一些对应的数值.波长L(米) 30050060010001500频率f(千赫兹)1000600500300200 观察表格,你发现L与f之间存在怎样的规律?波长L越长,频率f将怎样变化? 观察表格,在上述变化过程中,任取波长L的一个确定值,频率f有几个值和它对应?互动4如果用r表示圆的半径,S表示圆的面积,则S与r满足的关系是:S=_.利用这个关系式填写下表:半径r(厘米)11.522.63.2面积S(厘米2) 从表格中你发现:圆的半径越大,它的面积就_.在上述变化过程中,任取圆的半径r的一个确定值,其面积S有几个值和它相对应? 互动5在问题1、2、3、4中,分别涉及几个可以取不同值的量(变量)?把它们一一说出来. 同学们能够把问题1、2、3、4中反映变化过程的共同规律用自己的语言概括归纳出来吗? 在某个变化过程中,可以取不同的值叫做变量,保持不变的量叫做常量. 在某个变化过程中,有两个变量x和y,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值和它相对应,我们就说x是自变量,y是因变量,或称y是x的函数. 互动6根据问题1、2、3、4,说说函数有哪些表示方法?明确 师生共同归纳:函数通常有三种表示方法. (1)解析法,例如问题3中的f=,问题4中的S=. (2)列表法,例如问题2、3中的表格. (3)图象法,例如问题1中的气温曲线. 互动7小明为了表示爷爷吃过晚饭后,出门散步、报亭看报、回家的过程,绘制了爷爷离家的路程S(米)与外出的时间(分)之间的关系图(如图17-1-3所示),请根据这个关系图回答下列问题. (1)这个关系图反映了哪几个变量之间的关系? (2)任取变量t的一个值,变量S有几个值与它对应,变量S是t的函数吗? (3)报亭离爷爷家多远?爷爷在报亭看了多长时间的报? (4)爷爷出门、返回的平均速度分别是多少? 4.达标反馈 课堂自侧 (1)指出下列变化关系中,哪些y是x的函数?哪些不是?说出你的理由. xy=2;(是) x2+y2=10;(否) x+y=5;(是) y=3x+1;(否) y=x2-4x+5;(是) (2)写出下列问题中的函数关系式,并指出其中的常量与变量. 等腰三角形的顶角度数y与底角度数x的关系式; 时速为110千米的火车行驶的路程y(千米)与行驶的时间x(小时)之间的关系式; 底边长为10的三角形的面积y与高x之间的关系式; 某种弹簧原长20厘米,每挂重物1千克,伸长0.2厘米,挂上重物后的长度y(厘米)与所挂上的重物x(千克)之间的关系式; 某种饮水机盛满20升水,打开阀门每分钟可流出0.2升水,饮水机中剩余水量y(升)与放水时间x(分)之间的关系式. 答案:y=180-2x y=110x y=5x y=20+0.2x y=20-0.2x (三)延伸拓展 1.链接生活“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事:领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉.当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则如图17-1-4所示的图象中与故事情节相吻合的是 () 2.实践探索 实践活动 取长为40厘米的铝丝一根,弯折成矩形,通过测量,找出使面积最大时,矩形相邻两边的长度. 巩固练习 课本第26页练习第2题、第3题;第28页习题17.1第1题和第29页第4题.18.1 变量与函数(第2课时) (一)本课目标 1.学会求函数自变量的取值范围,了解实际情境中对函数自变量取值的限制.毛 2.理解函数自变量与函数值的对应关系,会求指定条件下的函数值. 3.会求具体问题中的函数关系式. (二)教学流程 1.复习导入 (1)为了刻画事物变化规律,数学上常用 函数 表示; (2)函数的表示方法主要有 列表法、图象法、解析法; (3)在220伏特的照明电路中,经过电灯的电流强度I(安培)与电灯的电阻R(欧姆)之间的函数关系式可以表示为I=. 2.课前热身 思考:(1)如果分式的分母中含有字母,那么这个字母的取值有什么限制? (2)如果二次根式的被开方式中含有字母,那么这个字母的取值有什么限制? (3)当x=时,代数式的值是多少? 3.合作探究 (1)整体感知 上节课我们学习了常量、变量、函数的意义及函数的三种主要表示方法，本节课我们将着重探讨如何确定函数自变量的取值范围以及已知函数自变量的一个固定值如何求函数的对应值的方法. (2)四边互动 填写如图18-1-2所示的加法表,然后把所有填有10的格子涂黑,看看你能发现什么? 18-1-2 如果把这些涂黑的格子横向的加数用x来表示,纵向的加数用y来表示,试写出y与x之间的函数关系式. 归纳可知:如果把方格纸中的方格边长不断缩小,将发现这些涂黑的方格逐渐变成点,这些点位于同一条直线上;y与x之间的函数关系可以表示为y=10-x. 互动2 试写出等腰三角形顶角的底数y与底角度数x之间的函数关系式. 归纳得:根据三角形的内角和公式及等腰三角形的特征“等腰三角形同底上的两个底角相等”可知:y=180-2x. 互动3 如图18-1-3所示,等腰直角ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10厘米,AC与MN在同一条直线上,开始时A点与M点重合,让ABC向右运动,最后A点与N点重合.试写出重叠部分面积y(厘米2)与MA的长度x(厘米)之间的函数关系式. 重叠部分的AMD是什么三角形?边AM与DM之间存在怎样的大小关系? 归纳得:由于ABC是等腰直角三角形,得出BAC=ADM=45,所以AM=DM=x,因为SADM=AMDM,所以y=x2. 互动4 在上述“试一试”中出现的各个函数的自变量的取值范围有限制吗?如果有,分别写出它的取值范围. 明确 从“试一试”问题(1)中可以看出:横向和纵向的加数都是正整数,因此:,解得0x10(x为整数);在问题(2)中,由于等腰三角形的底角大于0并且小于直角,因此有0x0,b0时,直线经过 第一、二、三 象限;当k0,b0时,直线经过 第一、三、四 象限;当k0时,直线经过 第一、二、四 象限;当k0,b0时，一次函数的图象经过哪些象限？当k0时，y的值随x的增大而增大，图像经过一、三象限；当k0时，y的值随x的增大而减小，图像经过二、四象限。这两种情况都与b的符号无关吗?例1、若函数y=( 2m1)x+m+3是一次函数，且y随x的增大而增大，求m的值。分析：根据一次函数定义及图象性质，本题要满足两个条件：x的系数为正数，x的指数为1。解三、练一练1一次函数y = 3x的图象经过_象限，y随x的增大而_；2若一次函数y = kx+b的图象经过一、二、三象限，则k_，b_；3一次函数y=mx+n的图像如图所示，则下列结论正确的是( )(A)m0，n0 (B)m0(C)m0，n0 (D)m0，n0时，y的值随x的增大而增大，图象经过一、三象限； 当k0,直线与y轴交于正半轴；当b0时，直线与y轴交于负半轴；当b=0时，直线与y轴交于坐标原点. 2k0,b0时，直线经过一、二、三象限；k0,b0时，直线经过一、三、四象限； k0,b0时，直线经过一、二、四象限；k0,b0时，直线经过二、三、四象限. 五、检测反馈 1.已知函数,当m为何值时，这个函数是一次函数.并且图象经过第二、三、四象限？ 2.已知关于x的一次函数y(-2m1)x2m2m-3. (1)若一次函数为正比例函数，且图象经过第一、第三象限，求m的值； (2)若一次函数的图象经过点(1，-2),求m的值. 3.已知函数. (1)当m取何值时，y随x的增大而增大? (2)当m取何值时，y随x的增大而减小? 4.已知点(-1,a)和都在直线上，试比较a和b的大小.你能想出几种判断的方法？ 5.某个一次函数的图象位置大致如下图所示，试分别确定k、b的符号，并说出函数的性质. 确定一次函数的表达式一、教学目标 知识与技能目标 1了解两个条件确定一次函数。 2能根据所给信息（图像、表格、实际问题等）确定一次函数的表达式。 3能利用所学知识解决实际问题。 过程与方法目标 经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，培养学生对数学对象进行思考的习惯，逐步培养学生的探索能力。 情感与态度目标 1经历从不同信息中获取次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，培养学生思维的全面性。 2经历对实际问题的解决过程，培养学生学数学，用数学的意识。 教学重点： 能根据两个条件确定一个一次函数。 教学难点： 从各种问题情境中寻找条件，确定一次函数的表达式。二、教学流程 一、复习引入 前面我们已经学习了一次函数，那么什么是一次函数，一次函数的图像是什么，一次函数又有什么性质呢？ 表达式形如 y=kxb（k=0）的函数称为一次函数； 一次函数 y=kxb的图像是一条直线； 一次函数y=kxb，当k0时y随x的增大而增大，图像经过一、三象限； 当k0时y随x的增大而减小，图像经过二、四象限。 二、新课讲解 想一想： 确定一次函数的表达式需要几个条件？确定正比例函数的表达式呢？例1、某物体沿着一个斜坡下滑，它的速度v（米/秒）与其下滑时间t（秒）的关系如图所示(1)写出v与t之间的关系；(2)下滑3秒时物体的速度是多少？分析：题目所给信息是函数的图象，首先从图象是一条经过原点的射线判断出该函数应是正比例了函数；其次在函数图象上任取一点(原点除外)，如(2，5)点，代入表达式，就可计算出k值。解：(1)设v = kt(k0)，由图象可得，点(2，5)满足函数关系式，将其代入可得：5 = 2k，解得k = 2.5v = 2.5t(2)当t = 3时，v = 2.53 = 7.5(米/秒)在这个例子中，我们先将表达式中的未知系数用字母表示出来，再根据条件求出这个未知系数，这种方法称为待定系数法。确定正比例函数的表达式需要哪几个条件？确定一次函数的表达式呢？ 学生思考，并总结出答案。例2、写出满足下表的一个一次函数的解析式x102y7.576练一练： 1、若一次函数y =x+n的图象经过点A(3，2)，则n = _；2、一条直线与x轴的交点为(3，0)，与y轴的交点为(0，7)，那么这条直线对应的函数表达式是_，这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积S = _3、已知三点(3，5)，(t，9)，(4，9)在同一直线上，则t = _例3、已知y2与x成正比例，当x = 3时，y = 1，求y与x之间的函数关系式练一练：已知y是x2的一次函数，当x = 1时，y = 6；当x = 2时，y = 9，试求x，y的函数表达式。答案：三、课堂小结 本节课我们学习了怎样确定一次函数的解析式，在确定一次函数的解析式时可使用待定系数法，即先设出解析式ykxb，再根据题目条件找到满足条件的两对(x，y)的值，(可根据图像、表格或具体问题得出)代人解析式，从而求出k，b的值。课外练习：练习课本47页1、2 1 反比例函数（1）知识技能目标1.理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式；2.利用正比例函数和反比例函数的概念求解简单的函数式过程性目标1.经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力； 2.探求反比例函数的求法，发展学生的数学应用能力教学过程一、创设情境两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果两个数的积一定，这两个数的关系叫做反比例关系二、探究归纳问题1 小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米的镇外去赶集，回来时让小华乘公共汽车，用的时间少了假设两人经过的路程一样，而且自行车和汽车的速度在行驶过程中都不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系时间路程速度，所以从这个关系式中发现:1.路程一定时，时间t就是速度v的反比例函数即速度增大了，时间变小；速度减小了，时间增大2.自变量v的取值是v0问题2：学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场设它的一边长为x(米)，求另一边的长y(米)与x的函数关系式分析 根据矩形面积可知 xy24，即 从这个关系中发现：1.当矩形的面积一定时，矩形的一边是另一边的反比例函数即矩形的一边长增大了，则另一边减小；若一边减小了，则另一边增大；2.自变量的取值是x0上述两个函数都具有的形式，一般地，形如(k是常数，k0)的函数叫做反比例函数(proportional function) 说明 1.反比例函数与正比例函数定义相比较，本质上，正比例ykx，即，k是常数，且k0；反比例函数，则xyk，k是常数，且k0可利用定义判断两个量x和y满足哪一种比例关系2.反比例函数的解析式又可以写成：( k是常数，k0)3.要求出反比例函数的解析式，只要求出k即可三、实践应用例1 下列函数关系中，哪些是反比例函数？(1)已知平行四边形的面积是12cm2，它的一边是acm，这边上的高是hcm，则a与h的函数关系； (2)压强p一定时，压力F与受力面积s的关系；(3)功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系(4)某乡粮食总产量为m吨，那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系式分析 确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合(k是常数，k0)所以此题必须先写出函数解析式，后解答例2 当m为何值时，函数是反比例函数，并求出其函数解析式分析 由反比例函数的定义易求出m的值例3 将下列各题中y与x的函数关系与出来(1)，z与x成正比例；(2)y与z成反比例，z与3x成反比例；(3)y与2z成反比例，z与成正比例；例4 已知y与x2成反比例，并且当x3时，y2求x1.5时y的值例5 已知yy1y2， y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且x2与x3时，y的值都等于19求y与x间的函数关系式四、交流反思本堂课，我们讨论了具有什么样的函数是反比例函数，一般地，形如(k是常数，k0)的函数叫做反比例函数(proportional function) 要求反比例函数的解析式，可通过待定系数法求出k值，即可确定五、检测反馈1.分别写出下列问题中两个变量间的函数关系式，指出哪些是正比例函数，哪些是反比例函数，哪些既不是正比例函数也不是反比例函数？(1)小红一分钟可以制作2朵花，x分钟可以制作y朵花；(2)体积为100cm3的长方体，高为hcm时，底面积为Scm2；(3)用一根长50cm的铁丝弯成一个矩形，一边长为xcm时，面积为ycm2；(4)小李接到对长为100米的管道进行检修的任务，设每天能完成10米，x天后剩下的未检修的管道长为y米2.已知y与x2成反比例，当x4时，y3，求当x5时，y的值3.已知yy1y2， y1与成正比例，y2与x2成反比例当x1时，y12；当x4时，y7(1)求y与x的函数关系式和x的取范围；(2)当x时，求y的值4.已知一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是ycm，宽是5cm，高是xcm(1)写出用高表示长的函数式；(2)写出自变量x的取值范围；(3)当x3cm时，求y的值5.试用描点作图法画出问题1中函数的图象反比例函数（2）知识技能目标1.理解反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画出反比例函数的图象,说出它的性质； 2.利用反比例函数的图象解决有关问题过程性目标1.经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会说出它的性质； 2.探索反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解数学问题教学过程一、创设情境上节的练习中，我们画出了问题1中函数的图象，发现它并不是直线那么它是怎么样的曲线呢？本节课，我们就来讨论一般的反比例函数（k是常数，k0）的图象，探究它有什么性质二、探究归纳1.画出函数的图象分析 画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x 0解 1列表：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值：2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出在京各点点(6,1)、(3,2)、(2,3)等3.连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支这两个分支合起来，就是反比例函数的图象上述图象，通常称为双曲线(hyperbola)提问 这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？学生试一试：画出反比例函数的图象（学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤）学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题 1.这个函数的图象在哪两个象限？和函数的图象有什么不同？2.反比例函数(k0)的图象在哪两个象限内？由什么确定？3.联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样变化？有什么规律？反比例函数有下列性质：(1)当k0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；(2)当k0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加注 1双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点；2双曲线的两个分支关于原点成中心对称以上两点性质在上堂课的问题1和问题2中反映了怎样的实际意义？在问题1中反映了汽车比自行车的速度快，小华乘汽车比骑自行车到镇上的时间少在问题2中反映了在面积一定的情况下,饲养场的一边越长,另一边越小三、实践应用例1 若反比例函数的图象在第二、四象限，求m的值分析 由反比例函数的定义可知： ,又由于图象在二、四象限，所以m10，由这两个条件可解出m的值解 由题意，得 解得例2 已知反比例函数(k0)，当x0时，y随x的增大而增大，求一次函数ykxk的图象经过的象限分析 由于反比例函数(k0)，当x0时，y随x的增大而增大，因此k0，而一次函数ykxk中，k0，可知，图象过二、四象限，又k0，所以直线与y轴的交点在x轴的上方解 因为反比例函数(k0)，当x0时，y随x的增大而增大，所以k0，所以一次函数ykxk的图象经过一、二、四象限例3 已知反比例函数的图象过点(1,2)(1)求这个函数的解析式，并画出图象；(2)若点A(5,m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？分析 (1) 反比例函数的图象过点(1,2)，即当x1时，y2由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；(2)由点A在反比例函数的图象上，易求出m的值，再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上解 (1)设：反比例函数的解析式为：(k0)而反比例函数的图象过点(1,2)，即当x1时，y2 所以，k2即反比例函数的解析式为：(2)点A(5,m)在反比例函数图象上，所以，例4 已知函数为反比例函数(1)求m的值；(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何变化？(3)当3x时，求此函数的最大值和最小值解例5 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米(1)写出用高表示长的函数关系式；(2)写出自变量x的取值范围；(3)画出函数的图象解四、交流反思本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola) 2.反比例函数有如下性质：(1)当k0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；
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