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26.1二次函数（6） 教学目标： 1使学生掌握用描点法画出函数yax2bxc的图象。2使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。3让学生经历探索二次函数yax2bxc的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数yax2bxc的性质。重点难点：重点：用描点法画出二次函数yax2bxc的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。难点：理解二次函数yax2bxc(a0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x、(，)是教学的难点。教学过程：一、提出问题 1你能说出函数y4(x2)21图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ (函数y4(x2)21图象的开口向下，对称轴为直线x2，顶点坐标是(2，1)。 2函数y4(x2)21图象与函数y4x2的图象有什么关系? (函数y4(x2)21的图象可以看成是将函数y4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的) 3函数y4(x2)21具有哪些性质? (当x2时，函数值y随x的增大而增大，当x2时，函数值y随x的增大而减小；当x2时，函数取得最大值，最大值y1) 4不画出图象，你能直接说出函数yx2x的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 因为yx2x(x1)22，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线x1，顶点坐标为(1，2) 5你能画出函数yx2x的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?二、解决问题 由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数yx2x的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数yx2x的图象，进而观察得到这个函数的性质。 解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表；x2101234y6422246 (2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数yx2x的图象。 说明：(1)列表时，应根据对称轴是x1，以1为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。 (2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观。 让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个函数韵性质； 当x1时，函数值y随x的增大而增大；当x1时，函数值y随x的增大而减小；当x1时，函数取得最大值，最大值y2三、做一做 1请你按照上面的方法，画出函数yx24x10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质吗? 教学要点 (1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导； (2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评。 2通过配方变形，说出函数y2x28x8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少? 教学要点 (1)在学生做题时，教师巡视、指导；(2)让学生总结配方的方法；(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系? 以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。那么，对于任意一个二次函数yax2bxc(a0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗? 教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识； yax2bxca(x2x)c ax2x()2()2c ax2x()2c a(x)2 当a0时，开口向上，当a0时，开口向下。对称轴是xb/2a，顶点坐标是(，)四、课堂练习：P15练习第1、2、3题。五、小结：通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？六、作业：1填空：(1)抛物线yx22x2的顶点坐标是_；(2)抛物线y2x22x的开口_，对称轴是_；(3)抛物线y2x24x8的开口_，顶点坐标是_；(4)抛物线yx22x4的对称轴是_；(5)二次函数yax24xa的最大值是3，则a_2画出函数y2x23x的图象，说明这个函数具有哪些性质。3. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。(1)y3x22x；(2)yx22x(3)y2x28x8 (4)yx24x34求二次函数ymx22mx3(m0)的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质26.1二次函数（7） 教学目标： 1能根据实际问题列出函数关系式、 2使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围。 3通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。重点难点：根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围，既是教学的重点又是难点。教学过程：一、复习旧知 1通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 (1)y6x212x； (2)y4x28x10 y6(x1)26，抛物线的开口向上，对称轴为x1，顶点坐标是(1，6)；y4(x1)26，抛物线开口向下，对称轴为x1，顶点坐标是(1，6) 2. 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少? (函数y6x212x有最小值，最小值y6，函数y4x28x10有最大值，最大值y6)二、范例 有了前面所学的知识，现在就可以应用二次函数的知识去解决第2页提出的两个实际问题； 例1、要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大? 解：设矩形的宽AB为xm，则矩形的长BC为(202x)m，由于x0，且202xO，所以Ox1O。 围成的花圃面积y与x的函数关系式是 yx(202x) 即y2x220x 配方得y2(x5)250 所以当x5时，函数取得最大值，最大值y50。 因为x5时，满足Ox1O，这时202x10。 所以应围成宽5m，长10m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大。 例2某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?教学要点 (1)学生阅读第2页问题2分析， (2)请同学们完成本题的解答； (3)教师巡视、指导； (4)教师给出解答过程： 解：设每件商品降价x元(0x2)，该商品每天的利润为y元。 商品每天的利润y与x的函数关系式是： y(10x8)(1001OOx) 即y1OOx21OOx200 配方得y100(x)2225 因为x时，满足0x2。 所以当x时，函数取得最大值，最大值y225。 所以将这种商品的售价降低元时，能使销售利润最大。例3。用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大?最大透光面积是多少? 先思考解决以下问题： (1)若设做成的窗框的宽为xm，则长为多少m? (m) (2)根据实际情况，x有没有限制?若有跟制，请指出它的取值范围，并说明理由。 让学生讨论、交流，达成共识：根据实际情况，应有x0，且0，即解不等式组，解这个不等式组，得到不等式组的解集为Ox2，所以x的取值范围应该是0x2。 (3)你能说出面积y与x的函数关系式吗? (yx，即yx23x) 详细解答见P16。 小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式； (2)研究自变量的取值范围； (3)研究所得的函数； (4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值： (5)解决提出的实际问题。三、课堂练习：P16 练习第1、2、3题。四、小结：1通过本节课的学习，你学到了什么知识?存在哪些困惑? 2谈谈你的收获和体会。五、作业： 1.求下列函数的最大值或最小值。 (1)yx24x2 (2)yx25x (3)y5x210 (4)y2x28x2.已知一个矩形的周长是24cm。(1)写出矩形面积S与一边长a的函数关系式。(2)当a长多少时，S最大?3填空：(1)二次函数yx22x5取最小值时，自变量x的值是_；(2)已知二次函数yx26xm的最小值为1，那么m的值是_。4如图(1)所示，要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，没靠墙的篱笆长度为xm。(1)要使鸡场的面积最大，鸡场的长应为多少米?(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米?(3)比较(1)、(2)的结果，你能得到什么结论?5如图(2)，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，B30，若边长ABx(cm)。(1)写出ABCD的面积y(cm2)与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围。(2)当x取什么值时，y的值最大?并求最大值。(3)求二次函数的函数关系式26.2用函数的观点看一元二次方程（1）教学目标： 1通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。 2使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。 3进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。重点难点：重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点。难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点教学过程：一、引言 在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。二、探索问题问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为0.8m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是yx22x。(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?教学要点1让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数yx22x最大值，问题(2)就是求如图(2)B点的横坐标；2学生解答，教师巡视指导；3让一两位同学板演，教师讲评。问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?教学要点1教师分析：根据已知条件，要求ED的宽，只要求出FD的长度。在如图(3)的直角坐标系中，即只要求出D点的横坐标。因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标。2让学生完成解答，教师巡视指导。3教师分析存在的问题，书写解答过程。解：以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，所以可设它的 函数关系式为：yax2 (a0) (1)因为AB与y轴相交于C点，所以CB0.8(m)，又OC2.4m，所以点B的坐标是(0.8，2.4)。因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 2.4a0.82 所以：a因此，函数关系式是 yx2 (2)因为OF1.5m，设FDx1m(x10)，则点D坐标为(x1，1.5)。因为点D的坐标在抛物线上，将它的坐标代人(2)，得 1.5x12 x12 x1x1不符合假设，舍去，所以x1。ED2FD2x123.1621.26(m)所以涵洞ED是m，会超过1m。问题3：画出函数yx2x3/4的图象，根据图象回答下列问题。(1)图象与x轴交点的坐标是什么；(2)当x取何值时，y0?这里x的取值与方程x2x0有什么关系?(3)你能从中得到什么启发?教学要点1先让学生回顾函数yax2bxc图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数yx2x的图象。2教师巡视，与学生合作、交流。3教师讲评，并画出函数图象，如图(4)所示。4教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(，0)和(，0)。5让学生完成(2)的解答。教师巡视指导并讲评。6对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数yx2x的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2x0的解；从“数”的方面看，当二次函数yx2x的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2x0的解。更一般地，函数yax2bxc的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2bxc0的解；当二次函数yax2bxc的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2bxc0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。三、试一试 根据问题3的图象回答下列问题。 (1)当x取何值时，y0?当x取何值时，y0? (当x时，y0；当x或x时，y0) (2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题? (能用含有x的不等式采描述(1)中的问题，即x2x0的解集是什么?x2x0的解集是什么?) 想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系? 让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流，达成共识： (1)从“形”的方面看，二次函数yax2bJc在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2bxc0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标即为一元二次不等式ax2bxc0的解。 (2)从“数”的方面看，当二次函数yax2bxc的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2bxc0的解；当二次函数yax2bxc的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2bcc0的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。四、课堂练习： P23练习1、2。五、小结： 1通过本节课的学习，你有什么收获?有什么困惑? 2若二次函数yax2bxc的图象与x轴无交点，试说明，元二次方程ax2bxc0和一元二次不等式ax2bxc0、ax2bxc0的解的情况。六、作业： 1. 二次函数yx23x18的图象与x轴有两交点，求两交点间的距离。2已知函数yx2x2。 (1)先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画出图象 (2)观察图象确定：x取什么值时，y0，y0；y0。3学校建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA。O恰好在水面中心，布置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA任意平面上的抛物线如图(5)所示，建立直角坐标系(如图(6)，水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是yx2x，请回答下列问题： (1)花形柱子OA的高度； (2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外? 4如图(7)，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线yx23.5运行，然后准确落人篮框内。已知篮框的中心离地面的距离为3.05米。 (1)球在空中运行的最大高度为多少米? (2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少?26.2用函数的观点看一元二次方程（2）教学目标： 1复习巩固用函数yax2bxc的图象求方程ax2bxc0的解。 2让学生体验函数yx2和ybxc的交点的横坐标是方程x2bxc的解的探索过程，掌握用函数yx2和ybxc图象交点的方法求方程ax2bxc的解。 3提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想。重点难点：重点；用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点。难点：提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点。教学过程：一、复习巩固 1如何运用函数yax2bxc的图象求方程ax2bxc的解? 2完成以下两道题： (1)画出函数yx2x1的图象，求方程x2x10的解。(精确到0.1) (2)画出函数y2x23x2的图象，求方程2x23x20的解。 教学要点 1学生练习的同时，教师巡视指导， 2教师根据学生情况进行讲评。 解：略 函数y2x23x2的图象与x轴交点的横坐标分别是x1和x22，所以一元二次方程的解是x1和x22。二、探索问题 问题1：(P23问题4)育才中学初三(3)班学生在上节课的作业中出现了争论：求方程x2x十3的解时，几乎所有学生都是将方程化为x2x30，画出函数yx2x3的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解。唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数yx2和yx2的图象，如图(3)所示，认为它们的交点A、B的横坐标和2就是原方程的解 提问： 1. 这两种解法的结果一样吗? 2小刘解法的理由是什么?让学生讨论，交流，发表不同意见，并进行归纳。 3函数yx2和ybxc的图象一定相交于两点吗?你能否举出例子加以说明? 4，函数yx2和ybxc的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x2bxc的解吗? 5如果函数yx2和ybxc图象没有交点，一元二次方程x2bxc的解怎样?三、做一做 利用图2634(见P24页)，运用小刘方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理。 (1)x2x10(精确到0.1)； (2)2x23x20。 教学要点：要把(1)的方程转化为x2x1，画函数yx2和yx1的图象； 要把(2)的方程转化为x2x1，画函数yx2和yx1的图象；在学生练习的同时，教师巡视指导；解的情况分别与复习两道题的结果进行比较。四、综合运用 已知抛物线y12x28xk8和直线y2mx1相交于点P(3，4m)。 (1)求这两个函数的关系式； (2)当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。 解：(1)因为点P(3，4m)在直线y2mx1上，所以有4m3m1，解得m1 所以y1x1，P(3，4)。 因为点P(3，4)在抛物线y12x28xk8上，所以有 41824k8 解得 k2 所以y12x28x10 (2)依题意，得 解这个方程组，得， 所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5)。五、小结： 1如何用画函数图象的方法求方程韵解? 2你能根据方程组：的解的情况，来判定函数yx2与ybxc图象交点个数吗?请说说你的看法。六、作业： 1. 利用函数的图象求下列方程的解：(1)x2x60； (2)2x23x502利用函数的图象求下列方程的解。(1)、， (2)、 3填空。 (1)抛物线yx2x2与x轴的交点坐标是_，与y轴的交点坐标是_。 (2)抛物线y2x25x3与y轴的交点坐标是_，与x轴的交点坐标是_。 4已知抛物线y1x2xk与直线y2x1的交点的纵坐标为3。 (1)求抛物线的关系式； (2)求抛物线yx2xk与直线y2x1的另一个交点坐标 5已知抛物线yax2bxc与直线yx2相交于(m，2)，(n，3)两点，且抛物线的对称轴为直线x3，求函数的关系式。26.3实际问题与二次函数（1）教学目标： 1使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数yax2的关系式。 2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。 3让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。重点难点： 重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数yax2、yax2bxc的关系式是教学的重点。难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。教学过程：一、创设问题情境 如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。 如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为： yax2 (a0) (1) 因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB 2(cm)，又CO0.8m，所以点B的坐标为(2，0.8)。 因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 0.8a22 所以a0.2 因此，所求函数关系式是y0.2x2。 请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。二、引申拓展 问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系? 让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点，AB所在的直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系也是可行的。 问题2，若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗? 分析：按此方法建立直角坐标系，则A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0),OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有ACCB，AC2m，O点坐标为(2；08)。即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，08)三点，求这个二次函数的关系式。 二次函数的一般形式是yax2bxc，求这个二次函数的关系式，跟以前学过求一次函数的关系式一样，关键是确定o、6、c，已知三点在抛物线上，所以它的坐标必须适合所求的函数关系式；可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数。 解：设所求的二次函数关系式为yax2bxc。 因为OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有ACCB，AC2m，拱高OC0.8m，所以O点坐标为(2，0.8)，A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0)。由已知，函数的图象过(0，0)，可得c0，又由于其图象过(2，0.8)、(4，0)，可得到解这个方程组，得 所以，所求的二次函数的关系式为yx2x。 问题3：根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画图象相同? 问题4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系方式能使解决问题来得更简便?为什么? (第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便，这是因为所设函数关系式待定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图象也容易) 请同学们阅渎P18例7。 三、课堂练习： P18练习1(1)、(3)2。 四、综合运用例1如图所示，求二次函数的关系式。 分析：观察图象可知，A点坐标是(8，0)，C点坐标为(0，4)。从图中可知对称轴是直线x3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x轴上的另一交点B的坐标是(2，0)，问题转化为已知三点求函数关系式。 解：观察图象可知，A、C两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x3。因为对称轴是直线x3，所以B点坐标为(2，0)。设所求二次函数为yax2bxc，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以得到c4，又由于其图象过(8，0)、(2，0)两点，可以得到解这个方程组，得 所以，所求二次函数的关系式是yx2x4 练习： 一条抛物线yax2bxc经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。五、小结： 二次函数的关系式有几种形式，函数的关系式yax2bxc就是其中一种常见的形式。二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数a、b、c，由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数。六、作业 1P19习题 262 4(1)、(3)、5。 2选用课时作业优化设计，每一课时作业优化设计 1. 二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的关系式。 2若二次函数的图象经过A(0，0)，B(1，11)，C(1，9)三点，求这个二次函数的解析式。 3如果抛物线yax2Bxc经过点(1，12)，(0，5)和(2，3)，；求abc的值。4已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，求这个二次函数的关系式； 5二次函数yax2bxc与x轴的两交点的横坐标是，与x轴交点的纵坐标是5，求这个二次函数的关系式。26.3实际问题与二次函数（2）教学目标： 1复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。2使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。重点难点：根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式是教学的重点，也是难点。教学过程：一、复习巩固 1如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式? 2已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(1，1）。 (1)求二次函数的关系式， (2)画出二次函数的图象； (3)说出它的顶点坐标和对称轴。 答案：(1)yx2x1，(2)图略，(3)对称轴x，顶点坐标为(，)。 3二次函数yax2bxc的对称轴，顶点坐标各是什么? 对称轴是直线x，顶点坐标是(，)二、范例 例1已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。 分析：二次函数yax2bxc通过配方可得ya(xh)2k的形式称为顶点式，(h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为： ya(x8)29 由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值。 请同学们完成本例的解答。 练习：P18练习1(2)。 例2已知抛物线对称轴是直线x2，且经过(3，1)和(0，5)两点，求二次函数的关系式。 解法1：设所求二次函数的解析式是yax2bxc，因为二次函数的图象过点(0，5)，可求得c5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x2，可以得 解这个方程组，得： 所以所求的二次函数的关系式为y2x28x5。 解法二；设所求二次函数的关系式为ya(x2)2k，由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，5)两点，可以得到 解这个方程组，得： 所以，所求二次函数的关系式为y2(x2)23，即y2x28x5。 例3。已知抛物线的顶点是(2，4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。 解法1：设所求的函数关系式为ya(xh)2k，依题意，得ya(x2)24 因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，于是a(02)244，解得a2。所以，所求二次函数的关系式为y2(x2)24，即y2x28x4。 解法2：设所求二次函数的关系式为yax2bxc?依题意，得解这个方程组，得： 所以，所求二次函数关系式为y2x28x4。三、课堂练习 1. 已知二次函数当x3时，有最大值1，且当x0时，y3，求二次函数的关系式。 解法1：设所求二次函数关系式为yax2bxc，因为图象过点(0，3)，所以c3，又由于二次函数当x3时，有最大值1，可以得到： 解这个方程组，得： 所以，所求二次函数的关系式为yx2x3。 解法2：所求二次函数关系式为ya(xh)2k，依题意，得ya(x3)21 因为二次函数图象过点(0，3)，所以有 3a(03)21 解得a 所以，所求二次函数的关系为y44/9(x3)21，即yx2x3 小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。 2已知二次函数yx2pxq的图象的顶点坐标是(5，2)，求二次函数关系式。 简解：依题意，得 解得：p10,q23 所以，所求二次函数的关系式是yx210x23。四、小结1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型? 两种类型：(1)一般式：yax2bxc (2)顶点式：ya(xh)2k，其顶点是(h，k) 2如何确定二次函数的关系式? 让学生回顾、思考、交流，得出：关键是确定上述两个式子中的待定系数，通常需要三个已知条件。在具体解题时，应根据具体的已知条件，灵活选用合适的形式，运用待定系数法求解。五、作业： 1. 已知抛物线的顶点坐标为(1，3)，与y轴交点为(0，5)，求二次函数的关系式。 2函数yx2pxq的最小值是4，且当x2时，y5，求p和q。 3若抛物线yx2bxc的最高点为(1，3)，求b和c。 4已知二次函数yax2bxc的图象经过A(0，1)，B(1，0)，C(1，0)，那么此函数的关系式是_。如果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是_。 5已知二次函数yax2bxc的图象过A(0，5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x2，求这个二次函数的关系式。 6如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽4米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽4米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?第26章二次函数小结与复习（1）教学目标： 理解二次函数的概念，掌握二次函数yax2的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线yax2经过适当平移得到ya(xh)2k的图象。重点难点： 1重点：用配方法求二次函数的顶点、对称轴，根据图象概括二次函数yax2图象的性质。 2难点：二次函数图象的平移。教学过程：一、结合例题精析，强化练习，剖析知识点 1二次函数的概念，二次函数yax2 (a0)的图象性质。 例：已知函数是关于x的二次函数，求：(1)满足条件的m值；(2)m为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点这时当x为何值时，y随x的增大而增大?(3)m为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x为何值时，y随x的增大而减小? 学生活动：学生四人一组进行讨论，并回顾例题所涉及的知识点，让学生代表发言分析解题方法，以及涉及的知识点。 教师精析点评，二次函数的一般式为yax2bxc(a0)。强调a0而常数b、c可以为0，当b，c同时为0时，抛物线为yax2(a0)。此时，抛物线顶点为(0，0)，对称轴是y轴，即直线x0。 (1)使是关于x的二次函数，则m2m42，且m20，即：m2m42，m20，解得；m2或m3，m2 (2)抛物线有最低点的条件是它开口向上，即m20， (3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下，即m20。抛物线的增减性要结合图象进行分析，要求学生画出草图，渗透数形结合思想，进行观察分析。 强化练习；已知函数是二次函数，其图象开口方向向下，则m_，顶点为_，当x_0时，y随x的增大而增大，当x_0时，y随x的增大而减小。 2。用配方法求抛物线的顶点，对称轴；抛物线的画法，平移规律，例：用配方法求出抛物线y3x26x8的顶点坐标、对称轴，并画出函数图象，说明通过怎样的平移，可得到抛物线y3x2。 学生活动：小组讨论配方方法，确定抛物线画法的步骤，探索平移的规律。充分讨论后让学生代表归纳解题方法与思路。 教师归纳点评： (1)教师在学生合作讨论基础上强调配方的方法及配方的意义，指出抛物线的一般式与顶点式的互化关系： yax2bxcya(x)2 (2)强调利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。 (3)抛物线的平移抓住关键点顶点的移动，分析完例题后归纳； 投影展示： 强化练习： (1)抛物线yx2bxc的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单位，得抛物线yx22x1，求：b与c的值。 (2)通过配方，求抛物线yx24x5的开口方向、对称轴及顶点坐标，再画出图象。 3知识点串联，综合应用。 例：如图，已知直线AB经过x轴上的点A(2，0)，且与抛物线yax2相交于B、C两点，已知B点坐标为(1，1)。 (1)求直线和抛物线的解析式； (2)如果D为抛物线上一点，使得AOD与OBC的面积相等，求D点坐标。 学生活动：开展小组讨论，体验用待定系数法求函数的解析式。 教师点评：(1)直线AB过点A(2，0)，B(1，1)，代入解析式ykxb，可确定k、b，抛物线yax2过点B(1，1)，代人可确定a。 求得：直线解析式为yx2，抛物线解析式为yx2。 (2)由yx2与yx2，先求抛物线与直线的另一个交点C的坐标为(2，4)，SOBCSABCSOAB3。 SAODSOBC，且OA2 D的纵坐标为3 又 D在抛物线yx2上，x23，即x D(，3)或(，3) 强化练习：函数yax2(a0)与直线y2x3交于点A(1，b)，求： (1)a和b的值；(2)求抛物线yax2的顶点和对称轴； (3)x取何值时，二次函数yax2中的y随x的增大而增大， (4)求抛物线与直线y2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。二、课堂小结 1让学生反思本节教学过程，归纳本节课复习过的知识点及应用。 2。投影：完成下表：三、作业： 作业优化设计 一、填空。 1若二次函数y(m1)x2m22m3的图象经过原点，则m_。 2函数y3x2与直线ykx3的交点为(2，b)，则k_，b_。 3抛物线y(x1)22可以由抛物线yx2向_方向平移_个单位，再向_方向平移_个单位得到。 4用配方法把yx2x化为ya(xh)2k的形式为y_，其开口方向_，对称轴为_，顶点坐标为_。 二、选择。 1函数y(mn)x2mxn是二次函数的条件是( ) Am、n是常数，且m0Bm、n是常数，且mn C. m、n是常数，且n0D. m、n可以为任意实数 2直线ymx1与抛物线y2x28xk8相交于点(3，4)，则m、k值为( )A BC. D. 3下列图象中，当ab0时，函数yax2与yaxb的图象是( ) 三、解答题 1函数 (1)当a取什么值时，它为二次函数。 (2)当a取什么值时，它为一次函数。 2已知抛物线yx2和直线yax1 (1)求证：不论a取何值，抛物线与直线必有两个不同舶交点。 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线与直线的两个交点，P为线段AB的中点，且点P的横坐标为，试用a表示点P的纵坐标。 (3)函数A、B两点的距离d|x1x2|，试用a表示d。 (4)过点C(0，1)作直线l平行于x轴，试判断直线l与以AB为直径的圆的位置关系，并说明理由。第26章二次函数小结与复习（2）教学目标： 会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质，能较熟练地利用函数的性质解决函数与圆、三角形、四边形以及方程等知识相结合的综合题。重点难点：重点；用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。难点：会运用二次函数知识解决有关综合问题。教学过程：一、例题精析，强化练习，剖析知识点 用待定系数法确定二次函数解析式 例：根据下列条件，求出二次函数的解析式。 (1)抛物线yax2bxc经过点(0，1)，(1，3)，(1，1)三点。 (2)抛物线顶点P(1，8)，且过点A(0，6)。 (3)已知二次函数yax2bxc的图象过(3，0)，(2，3)两点，并且以x1为对称轴。 (4)已知二次函数yax2bxc的图象经过一次函数y3/2x3的图象与x轴、y轴的交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为ya(xh)2k的形式。 学生活动：学生小组讨论，题目中的四个小题应选择什么样的函数解析式?并让学生阐述解题方法。 教师归纳：二次函数解析式常用的有三种形式： (1)一般式：yax2bxc (a0) (2)顶点式：ya(xh)2k (a0) (3)两根式：ya(xx1)(xx2) (a0) 当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式yax2bxc形式。 当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式ya(xh)2k形式。 当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式ya(xx1)(xx2) 强化练习：已知二次函数的图象过点A(1，0)和B(2，1)，且与y轴交点纵坐标为m。 (1)若m为定值，求此二次函数的解析式； (2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围。二、知识点串联，综合应用 例：如图，抛物线yax2bxc过点A(1，0)，且经过直线yx3与坐标轴的两个交点B、C。 (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标， (3)若点M在第四象限内的抛物线上，且OMBC，垂足为D，求点M的坐标。 学生活动：学生先自主分析，然后小组讨论交流。教师归纳： (1)求抛物线解析式，只要求出A、B，C三点坐标即可，设yx22x3。 (2)抛物线的顶点可用配方法求出，顶点为(1，4)。 (3)由|0B|OC|3 又OMBC。 所以，OM平分BOC 设M(x，x)代入yx22x3 解得x 因为M在第四象限：M(， ) 题后反思：此题为二次函数与一次函数的交叉问题，涉及到了用待定系数法求函数解析式，用配方法求抛物线的顶点坐标；等腰三角形三线合一等性质应用，求M点坐标时应考虑M点所在象限的符号特征，抓住点M在抛物线上，从而可求M的求标。 强化练习；已知二次函数y2x2(m1)xm1。 (1)求证不论m为何值，函数图象与x轴总有交点，并指出m为何值时，只有一个交点。 (2)当m为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与x轴的另一个交点。 (3)若函数图象的顶点在第四象限，求m的取值范围。三、课堂小结 1投影：让学生完成下表：2归纳二次函数三种解析式的实际应用。 3强调二次函数与方程、圆、三角形，三角函数等知识综合的综合题解题思路。四、作业： 课后反思：本节课重点是用待定系数法求函数解析式，应注意根据不同的条件选择合适的解析式形式；要让学生熟练掌握配方法，并由此确定二次函数的顶点、对称轴，并能结合图象分析二次函数的有关性质。对于二次函数与其他知识的综合应用，关键要让学生掌握解题思路，把握题型，能利用数形结合思想进行分析，从而把握解题的突破口。课时作业优化设计 一、填空。 1. 如果一条抛物线的形状与yx22的形状相同，且顶点坐标是(4，2)，则它的解析式是_。 2开口向上的抛物线ya(x2)(x8)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若ACB90，则a_。 3已知抛物线yax2bxc的对称轴为x2，且过(3，0)，则abc_。 二、选择。 1如图(1)，二次函数yax2bxc图象如图所示，则下列结论成立的是( ) Aa0，bc0 B. a0，bc0 C. aO，bcO D. a0，bc0 2已知二次函数yax2bxc图象如图(2)所示，那么函数解析式为( )Ayx22x3 B. yx22x3 Cyx22x3 D. yx22x3 3若二次函数yax2c，当x取x1、x2(x1x2)时，函数值相等，则当x取x1x2时，函数值为( ) Aac B. ac Cc D. c 4已知二次函数yax2bxc图象如图(3)所示，下列结论中： abc0，b2a；abc0，abc0，正确的个数是( ) A4个 B3个 C. 2个 D1个 三、解答题。 已知抛物线yx2(2m1)xm2m2。 (1)证明抛物线与x轴有两个不相同的交点， (2)分别求出抛物线与x轴交点A、B的横坐标xA、xB，以及与y轴的交点的纵坐标yc(用含m的代数式表示) (3)设ABC的面积为6，且A、B两点在y轴的同侧，求抛物线的解析式。第26章二次函数小结与复习（3）教学目标： 1使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。 2能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，获得用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值。重点难点
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