中考数学一轮复习 第一部分 系统复习 成绩基石 第五章 四边形与相似 第20讲 相似三角形.ppt

第20讲相似三角形 考点成比例线段1 定义 四条线段如果a b c d 那么这四条线段叫做成比例线段 2 基本性质 如果a b c d ad bc 考点平行线分线段成比例1 两条直线被一组平行线所截 所得的对应线段成比例 2 平行于三角形一边 并且与其他两边相交的直线 所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例 考点相似三角形1 定义 如果两个三角形的对应角 对应边 那么这两个三角形相似 相等 成比例 2 性质 1 相似三角形的对应角 对应边 2 相似三角形对应线段的比等于 周长的比等于 面积的比等于 3 判定 1 平行于三角形的一边的直线与其余两边相交 所得的三角形与原三角形相似 2 有两个角分别 的两个三角形相似 3 两边对应 夹角相等的两个三角形相似 4 三边对应 的两个三角形相似 相等 成比例 相似比 相似比 相似比的平方 相等 成比例 成比例 考点相似多边形1 定义 各角都相等 各边对应 的两个多边形相似 2 性质 1 相似多边形的对应角 对应边 2 相似多边形周长的比等于 面积的比等于 成比例 相等 成比例 相似比 相似比的平方 考点位似图形1 定义 每对对应点所在直线交于 的相似图形叫做位似图形 这个点叫做位似中心 2 性质 1 如果两个多边形是位似图形 且对应边 那么图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都 对应边的比 或位似比 2 在平面直角坐标系中 将一个多边形每个顶点的横 纵坐标都乘同一个数k k 0 所对应的图形与原图形位似 位似中心是 它们的相似比为 k 一点 平行或在同一直线上 等于 坐标原点 点拨 由于利用位似变换可以将图形放大或缩小 所以位似变换常常与其他变换 轴对称 平移 旋转 方式结合考查作图 解答问题时 先确定变换方式及变换顺序 再根据相应的变换作出关键点 如 三角形的三个顶点 图形的拐点等 的对应点 最后按照图形的原有顺序连接即可 命题点相似三角形 考情分析 相似三角形是泰安每年都考查的重点考点 近六年都是以解答题的形式出现 而且有四年是以压轴题的形式出现的 难度较大 估计2019年仍然会以压轴题的形式出现 1 2018 泰安 T25 12分 如图 在菱形ABCD中 AC与BD交于点O E是BD上一点 EF AB EAB EBA 过点B作DA的垂线 交DA的延长线于点G 1 DEF和 AEF是否相等 若相等 请证明 若不相等 请说明理由 2 找出图中与 AGB相似的三角形 并证明 3 BF的延长线交CD的延长线于点H 交AC于点M 求证 BM2 MF MH 规范解答 1 DEF AEF 理由如下 EF AB DEF EBA AEF EAB 又 EAB EBA DEF AEF 2分 2 EOA AGB 证明 四边形ABCD是菱形 AB AD AC BD GAB ABE ADB 2 ABE 4分 又 AEO ABE BAE 2 ABE GAB AEO 6分 又 AGB AOE 90 EOA AGB 7分 3 如图 连接DM 四边形ABCD是菱形 由对称性 可知BM DM ADM ABM 9分 AB CH ABM H ADM H 又 DMH FMD MFD MDH 11分 DM2 MF MH BM2 MF MH 12分 解题要领 在判别两个三角形相似时 应注意利用图形中已有的公共角 公共边等隐含条件 以充分发挥基本图形的作用 寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形 或构造成比例的线段 或利用特征图形 如公共边 公共角的两个三角形 找相似三角形 注意依据基本图形对图形进行分解 组合 或作辅助线构造相似三角形 或利用分别等于中间比的两个比相等实现对等比进行转移 判别三角形相似的方法有时单独使用 有时需要综合运用 无论是单独使用还是综合运用 都要具备应有的条件方可 2 2017 泰安 T29 11分 如图 四边形ABCD是平行四边形 AD AC AD AC E是AB的中点 F是AC延长线上一点 1 若ED EF 求证 ED EF 证明 在ABCD中 AD AC AD AC AC BC AC BC 如图 连接CE E是AB的中点 AE EC CE AB ACE BCE 45 ECF EAD 135 ED EF CEF AED 90 CED CEF AED 在 CEF和 AED中 EC EA ECF EAD CEF AED ASA ED EF 2 在 1 的条件下 若DC的延长线与FB交于点P 试判定四边形ACPE是否为平行四边形 并证明你的结论 请先补全图形 再解答 解 四边形ACPE是平行四边形 证明 补全图形如图 由 1 知 CEF AED CF AD AD AC AC CF DP AB FP PB CP AB AE 又 CP AE 四边形ACPE为平行四边形 3 若ED EF ED与EF垂直吗 若垂直给出证明 若不垂直说明理由 解 垂直 证明 如图 过E作EM DA交DA的延长线于点M 过E作EN AF于点N NAE MAE 45 ENA M 90 AE EM EN EM EN EM EN 在Rt DME与Rt FNE中 DE EF DME FNE HL ADE CFE ADE CFE 在 ADE与 CFE中 DAE FCE 135 DE EF ADE CFE AAS DEA FEC DEA DEC 90 CEF DEC 90 DEF 90 ED EF 3 2016 泰安 T27 3分 如图 在四边形ABCD中 AC平分 BCD AC AB E是BC的中点 AD AE 1 求证 AC2 CD BC 证明 AC平分 BCD DCA ACB 又 AC AB AD AE DAC CAE 90 CAE EAB 90 DAC EAB 又 E是BC的中点 AE BE EAB ABC DAC ABC ACD BCA AC2 CD BC 2 过E作EG AB 并延长EG至点K 使EK EB 若点H是点D关于AC的对称点 点F为AC的中点 求证 FH GH 若 B 30 求证 四边形AKEC是菱形 证明 如图 连接AH ADC BAC 90 点H D关于AC对称 AH BC EG AB AE BE 点G是AB的中点 HG AG GAH GHA 点F为AC的中点 AF FH HAF FHA FHG FHA GHA HAF GAH CAB 90 FH GH EK AB AC AB EK AC 又 B 30 AC BC EB EC 又 EK EB EK AC 即AK KE EC CA 四边形AKEC是菱形 4 2015 泰安 T27 3分 如图 在 ABC中 AB AC 点P D分别是BC AC边上的点 且 APD B 1 求证 AC CD CP BP 证明 AB AC B C APD B APD B C APC BAP B APD CPD BAP CPD ABP PCD AB CD PC BP AB AC AC CD CP BP 2 若AB 10 BC 12 当PD AB时 求BP的长 解 PD AB APD BAP APD C BAP C B B BAP BCA AB 10 BC 12 BP 5 2013 泰安 T26 11分 如图 四边形ABCD中 AC平分 DAB ADC ACB 90 E为AB的中点 1 求证 AC2 AB AD 2 求证 CE AD 3 若AD 4 AB 6 求的值 解 1 证明 AC平分 DAB DAC CAB ADC ACB 90 ADC ACB AC2 AB AD 2 证明 E为AB的中点 CE AB AE EAC ECA DAC CAB DAC ECA CE AD 3 CE AD AFD CFE CE AB AD 4 AB 6 CE 3 关联考题 2014 泰安 T28 11分 见第19讲过真题第5题 类型成比例线段 例1 如果线段a b c d满足那么 1 2018 白银 已知 a 0 b 0 下列变形错误的是 A B 2a 3bC D 3a 2b B 2 2018 昆明 黄金分割数是一个很奇妙的数 大量应用于艺术 建筑和统计决策等方面 请你估算的值 A 在1 1和1 2之间B 在1 2和1 3之间C 在1 3和1 4之间D 在1 4和1 5之间 B 3 2018 宁夏 已知 则的值是 4 2018 成都 已知 且a b 2c 6 则a的值为 12 5 2017 娄底 湖南地图出版社首发的竖版 中华人民共和国地图 将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1 6700000表示出来 使读者能够全面 直观地认识我国版图 若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82 09厘米 则我国南北的实际距离大约是千米则我国南北的实际距离大约是千米 结果精确到1千米 5500 类型平行线分线段成比例 例2 如图 已知 ABC中 点D E分别在边AB和AC上 DE BC 点F是DE延长线上的点 连接FC 若 求的值 思路 由平行线分线段成比例定理和已知条件得出 证出AB CF 再由平行线分线段成比例定理和比例的性质即可得出结果 自主解答 DE BC 又 AB CF 6 2018 嘉兴 如图 直线l1 l2 l3 直线AC交l1 l2 l3于点A B C 直线DF交l1 l2 l3于点D E F 已知 则 2 7 2017 长春 如图 直线a b c 直线l1 l2与这三条平行线分别交于点A B C和点D E F 若AB BC 1 2 DE 3 则EF的长为 6 8 2017 阜新 如图 在 ABC中 若DE BC DE 4 则BC的长是 10 9 2017 临沂 如图 已知AB CD AD与BC相交于点O 若 AD 10 则AO 4 类型相似三角形 例3 2018 东营 1 某学校 智慧方园 数学社团遇到这样一个题目 如图1 在 ABC中 点O在线段BC上 BAO 30 OAC 75 AO BO CO 1 3 求AB的长 经过社团成员讨论发现 过点B作BD AC 交AO的延长线于点D 通过构造 ABD就可以解决问题 如图2 请回答 ADB AB 2 请参考以上解决思路 解决问题 如图3 在四边形ABCD中 对角线AC与BD相交于点O AC AD AO ABC ACB 75 BO OD 1 3 求DC的长 10 2018 玉林 两三角形的相似比是2 3 则其面积之比是 A B 2 3C 4 9D 8 27 C 11 2018 临沂 如图 利用标杆BE测量建筑物的高度 已知标杆BE高1 2m 测得AB 1 6m BC 12 4m 则建筑物CD的高是 A 9 3mB 10 5mC 12 4mD 14m B 12 2018 北京 如图 在矩形ABCD中 E是边AB的中点 连接DE交对角线AC于点F 若AB 4 AD 3 则CF的长为 类型图形的位似 例4 2017 凉山州 如图 在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系 已知 ABC三个顶点分别为A 1 2 B 2 1 C 4 5 1 画出 ABC关于x对称的 A1B1C1 2 以原点O为位似中心 在x轴的上方画出 A2B2C2 使 A2B2C2与 ABC位似 且位似比为2 并求出 A2B2C2的面积 13 2018 抚顺 如图 AOB三个顶点的坐标分别为A 8 0 O 0 0 B 8 6 点M为OB的中点 以点O为位似中心 把 AOB缩小为原来的 得到 A O B 点M 为O B 的中点 则MM 的长为 14 请以O点作为位似中心 作一个四边形 使其与已知四边形ABCD的位似比为1 2 不写作法 保留作图痕迹 解 以O为位似中心的四边形可以画2个 所画图形如图所示