湖南省长沙市一中2011届高三第六次月考理科数学.doc

湖南省长沙市一中2011届高三第六次月考数学（理）试题长沙市一中高三理科数学备课组组稿命题人：胡雪文审题人：李湘斌(考试范围：集合与逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量、复数、数列、推理与证明、不等式、计数原理、二项式定理、概率与统计、直线、平面、简单几何体、空间向量)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。时量120分钟。满分150分。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若Mx|x1|2，Nx|x(x3)0，则MNA.x|0x3 B.x|1x2 C.x|1x3 D.x|1x0成立的概率是.13.某机构对小学生作业负担的情况进行调查，设每个学生平均每天作业的时间为x(单位：分钟)，且xN(60,100)，已知P(x50)0.159.现有1000名小学生接受了此项调查，下图是此次调查中某一项的流程图，则输出的结果大约是.14.已知关于x的方程9x(4a)3x40有两个实数解x1，x2，则的最小值是.15.对有10个元素的总体1,2,3，10进行抽样，先将总体分成两个子总体A1,2,3,4和B5,6,7,8,9,10，再从A和B中分别随机抽取2个元素和3个元素组成样本，用Pij表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则P15，所有Pij(1ij10)的和等于.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)已知向量m(sin，1)，n(cos，cos2)，f(x)mn.(1)若f(x)1，求cos(x)的值；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosCcb，求函数f(B)的取值范围.17.(本小题满分12分)在高三年级某班组织的欢庆元旦活动中，有一项游戏规则如下：参与者最多有5次抽题并答题的机会.如果累计答对2道题，立即结束游戏，并获得纪念品；如果5次机会用完仍未累计答对2道题，也结束游戏，并不能获得纪念品.已知某参与者答对每道题答对的概率都是，且每道题答对与否互不影响.18.(本小题满分12分)如图，在体积为1的三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC，ACAA11，P为线段AB上的动点.(1)求证：CA1C1P；(2)当AP为何值时，二面角C1PB1A1的大小为？19.(本小题满分13分)已知函数f(x)x2axlnx(aR).(1)求函数f(x)既有极大值又有极小值的充要条件；(2)当函数f(x)在，2上单调时，求a的取值范围.20.(本小题满分13分)某旅游景区的观景台P位于高(山顶到山脚水平面M的垂直高度PO)为2km的山峰上，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且PAB为等腰三角形.山坡面与山脚所在水平面M所成的二面角为(090)，且sin.现从山脚的水平公路AB某处C0开始修建一条盘山公路，该公路的第一段、第二段、第三段，第n1段依次为C0C1，C1C2，C2C3，Cn1Cn(如图所示)，且C0C1，C1C2，C2C3，Cn1Cn与AB所成的角均为，其中090，sin.试问：(1)每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米.若修建盘山公路至半山腰(高度为山高的一半)，在半山腰的中心Q处修建上山缆车索道站，索道PQ依山而建(与山坡面平行，离坡面高度忽略不计)，问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？(2)若修建xkm盘山公路，其造价为 a万元.修建索道的造价为2a万元/km.问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少.21.(本小题满分13分)已知正项数列an的首项a1，函数f(x)，g(x).(1)若正项数列an满足an1f(an)(nN*)，证明：是等差数列，并求数列an的通项公式；(2)若正项数列an满足an1f(an)(nN*)，数列bn满足bn，证明：b1b2bn1；(3)若正项数列an满足an1g(an)，求证：|an1an|()n1.数学(理科)参考答案故在区间5,0上共有5个交点；当x(0,10时，结合图象知共有9个交点，故函数h(x)f(x)g(x)在区间5,10上共有14个零点.二、填空题9.110.1811.12.13.15914.2解：原方程可化为(3x)2(4a)3x40，3x13x24，x1x22log32，x1x2(log32)2.22.15.10解：(1)由题意有：P15.(2)当1ij4时，Pij，这样的Pij共有C个，故所有Pij(1ij4)的和为61；当5ij10时，Pij.这样的Pij共有C15个，故所有Pij(5ij10)的和为153；当1i4,5j10时，Pij，这样的Pij共有4624，所有Pij(1i4,5j10)的和为246，综上所述，所有Pij(1ij10)的和等于13610.三、解答题16.解：(1)f(x)mnsincoscos2sincossin()，而f(x)1，sin().(4分)又x2()，cos(x)cos2()12sin2().(6分)(2)acosCcb，acb，即b2c2a2bc，cosA.又A(0，)，A.(10分)又0B，0)，f(x)既有极大值又有极小值方程2x2ax10有两个不等的正实数根x1，x2.(3分)，a2，函数f(x)既有极大值又有极小值的充要条件是a2.(6分)(2)f(x)2xa，令g(x)2x，则g(x)2，g(x)在，)上递减，在(，2上递增.(8分)又g()3，g(2)，g()2，g(x)max，g(x)min2.(10分)若f(x)在，2单调递增，则f(x)0即ag(x)，a.若f(x)在，2单调递减，则f(x)0，即ag(x)，a2.所以f(x)在，2上单调时，则a2或a.(13分)20.解：(1)在盘山公路C0C1上任选一点D，作DE平面M交平面M于E，过E作EFAB交AB于F，连结DF，易知DFC0F.sinDFE，sinDC0F.DFC0D，DEDF，DEC0D，所以盘山公路长度是山高的10倍，索道长是山高的倍，所以每修建盘山公路1000米，垂直高度升高100米.从山脚至半山腰，盘山公路为10km.从半山腰至山顶，索道长2.5km.(6分)(2)设盘山公路修至山高x(0x2)km，则盘山公路长为10xkm，索道长(2x)km.设总造价为y万元，则ya(2x)2a(105x)a10a.令y5a0，则x1.当x(0,1)时，y0，函数y单调递减；当x(1,2)时，y0，函数y单调递增，x1，y有最小值，即修建盘山公路至山高1km时，总造价最小，最小值为15a万元.(13分)21.证明：(1)an1f(an)，1，即1，是以2为首项，1为公差的等差数列.2(n1)，即an.(3分)(2)证明：an1，an0，即1.当n2时，()()()n1，n1，an.当n1时，上式也成立，an(nN*)，bn，b1b2bn(1)()()10.又an1an，由迭代关系可知，an1an0，ana1.又(2an)(2an1)(2)(2an1)54an17，