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第3讲平面向量的数量积最新考纲1理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.知 识 梳 理1平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.(2)几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积2平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角(1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|.(3)夹角：cos .(4)两非零向量ab的充要条件：ab0x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2| .3平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)ab(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)辨 析 感 悟1对平面向量的数量积的认识(1)两个向量的数量积是一个向量，向量加、减、数乘运算的结果是向量()(2)(2013湖北卷改编)已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为.()(3)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角()2对平面向量的数量积的性质、运算律的理解(4)ab0，则a0或b0.()(5)(ab)ca(bc)()(6)abac(a0)，则bc.()感悟提升三个防范一是两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，如(1)；二是在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量设向量a，b的夹角为，当为锐角时，投影为正值；当为钝角时，投影为负值；当为直角时，投影为0；当0时，b在a的方向上投影为|b|，当180时，b在a方向上投影为|b|，如(2)；当0时，ab0，180，ab0，即ab0是两个向量a，b夹角为锐角的必要而不充分条件，如(3)；三是ab0不能推出a0或b0，因为ab0时，有可能ab，如(4) 考点一平面向量数量积的运算【例1】 (1)(2014威海期末考试)已知a(1,2)，2ab(3,1)，则ab()A2 B3 C4 D5(2)(2013江西卷)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若ae13e2，b2e1，则向量a在b方向上的射影为_解析(1)a(1,2)，2ab(3,1)b2a(3,1)2(1,2)(3,1)(1,3)ab(1,2)(1,3)1235.(2)由于ae13e2，b2e1，所以|b|2，ab(e13e2)2e12e6e1e2265，所以a在b方向上的射影为|a|cos.答案(1)D(2)学生用书第74页规律方法 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用【训练1】 (1)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)满足条件(8ab)c30，则x()A6 B5 C4 D3(2)(2013山东卷)已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_解析(1)8ab8(1,1)(2,5)(6,3)，所以(8ab)c(6,3)(3，x)30，即183x30，解得x4.故选C.(2)，0，()0，即()()(1)220.向量与的夹角为120，|3，|2，(1)|cos 120940，解得.答案(1)C(2)考点二向量的夹角与向量的模【例2】 (1)若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_(2)已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|2ab|_.解析(1)等式平方得|a|29|b|2|a|24|b|24ab，则|a|2|a|24|b|24|a|b|cos ，即04|b|243|b|2cos ，得cos .(2)因为|2ab|2(2ab)24a2b24ab4a2b2448，故|2ab|2.答案(1)(2)2规律方法 (1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)|a|常用来求向量的模【训练2】 (1)(2014长沙模拟)已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.(2)若平面向量a，b满足|a|1，|b|1，且以向量a，b为邻边的平行四边形的面积为，则a和b的夹角的取值范围是_解析(1)由|2ab|平方得，4a24abb210，即|b|24|b|cos 45410，亦即|b|22|b|60，解得|b|3或|b|(舍去)(2)依题意有|a|b|sin ，即sin ，由|b|1，得sin 1，又0，故有.答案(1)3(2)考点三平面向量的垂直问题【例3】 已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(0)(1)求证：ab与ab互相垂直；(2)若kab与akb的模相等，求(其中k为非零实数)审题路线证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证由模相等，列等式、化简求.(1)证明(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)0，ab与ab互相垂直(2)解kab(kcos cos ，ksin sin )，akb(cos kcos ，sin ksin )，|kab|，|akb|.|kab|akb|，2kcos()2kcos()又k0，cos()0.0，0，.规律方法 (1)当向量a与b是坐标形式给出时，若证明ab，则只需证明ab0x1x2y1y20.(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明ab0.(3)数量积的运算ab0ab中，是对非零向量而言的，若a0，虽然有ab0，但不能说ab.【训练3】 已知平面向量a(，1)，b.(1)证明：ab；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使ca(t23)b，dkatb，且cd，试求函数关系式kf(t)(1)证明ab10，ab.(2)解ca(t23)b，dkatb，且cd，cda(t23)b(katb)ka2t(t23)b2tk(t23)ab0.又a2|a|24，b2|b|21，ab0，cd4kt33t0，kf(t)(t0) 1计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用2求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算3利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.学生用书第75页教你审题5数量积的计算问题【典例】 (2012上海卷)在矩形ABCD中，设AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，则的取值范围是_审题一审：抓住题眼“矩形ABCD”；二审：合理建立平面直角坐标系，转化为代数问题解决解析 如图，以A点为坐标原点建立平面直角坐标系，则各点坐标为A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1)，设k(0k1)，则点M的坐标为(2，k)，点N的坐标为(22k,1)，则(2，k)，(22k,1)，2(22k)k43k，而0k1，故143k4.答案1,4反思感悟 在利用平面向量的数量积解决平面几何中的问题时，首先要想到是否能建立平面直角坐标系，利用坐标运算题目会容易的多【自主体验】(2012江苏卷)如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_解析法一以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)，(x,2)，(，0)，(，1)，(x，2)，x，解得x1，F(1,2)，.法二|cosBAF，|cosBAF1，即|1，|1，()()(1)(1)121.答案基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2013湛江二模)向量a(1,2)，b(0,2)，则ab()A2 B(0,4) C4 D(1,4)解析ab(1,2)(0,2)10224.答案C2(2014绍兴质检)在边长为2的菱形ABCD中，BAD120，则在方向上的投影为()A. B. C1 D2解析如图所示，在方向上的投影为|cos 6021.答案C3(2013山东省实验中学诊断)已知向量a(，1)，b(0,1)，c(k，)若a2b与c垂直，则k()A3 B2 C1 D1解析由题意知(a2b)c0，即ac2bc0.所以k20，解得k3.答案A4(2014浙江五校联盟)若非零向量a，b满足|a|b|，且(2ab)b0，则向量a，b的夹角为()A. B. C. D.解析由(2ab)b0，得2ab|b|20.2|b|2cos|b|20，cos，又0，.答案A5(2013福建卷)在四边形ABCD中，(1,2)，(4,2)，则该四边形的面积为()A. B2 C5 D10解析1(4)220，S四边形5.答案C二、填空题6(2013新课标全国卷)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，则t_.解析bcbta(1t)btab(1t)b2t|a|b|cos 60(1t)|b|21t1.由bc0，得10，所以t2.答案27(2014南京三模)在平面直角坐标系xOy中，已知(3，1)，(0,2)若0，则实数的值为_解析设C(x，y)，则(x，y)，又(0,2)(3，1)(3,3)，所以3x3y0，解得xy.又(x3，y1)(0,2)，得结合xy，解得2.答案28.(2014潍坊二模)如图，在ABC中，O为BC中点，若AB1，AC3，60，则|_.解析因为60，所以|cos 6013，又，所以2()2(222)，即2(139)，所以|.答案三、解答题9已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)(xR)(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.解(1)若ab，则ab1(2x3)x(x)0.整理得x22x30，故x1或x3.(2)若ab，则有1(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.当x0时，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|2.当x2时，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2.综上，可知|ab|2或2.10已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61，(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面积解(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，644ab2761，ab6.cos .又0，.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，|ab|.(3)与的夹角，ABC.又|a|4，|b|3，SABC|sinABC433.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2013青岛一模)若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|a|，则向量ab与a的夹角为()A. B. C. D.解析由|ab|ab|，得a22abb2a22abb2，即ab0，所以(ab)aa2ab|a|2.故向量ab与a的夹角的余弦值为cos .所以.答案B2(2014昆明调研)在ABC中，设222，那么动点M的轨迹必通过ABC的()A垂心 B内心 C外心 D重心解析假设BC的中点是O.则22()()22，即()0，所以，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过ABC的外心，选C.答案C二、填空题3(2013浙江卷)设e1，e2为单位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于_解析因为e1e2cos ，所以b2x2y22xye1e2x2y2xy.所以，设t，则1t2t2，所以04，即的最大值为4，所以的最大值为2.答案2三、解答题4设两向量e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夹角为60，若向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围解由已知得e4，e1，e1e221cos 601.(2te17e2)(e1te2)2te(2t27)e1e27te2t215t7.欲使夹角为钝角，需2t215t70，得7t.设2te17e2(e1te2)(0)，2t27.t，此时.即t时，向量2te17e2与e1te2的夹角为.当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是.
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