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2010届高三水平测试数 学(理科)本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回参考公式：直棱柱侧面积，其中c为底面周长，h为高；球的表面积，其中r为半径第一部分选择题(共40分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的 1某学校有教师150人，其中高级教师15人，中级教师45人，初级教师90人现按职称分层抽样选出30名教师参加教工代表大会，则选出的高、中、初级教师的人数分别为 A5，10，15 B.3，9，18 C.3，10，17 D.5,9，162若复数是纯虚数，则实数m的值为 A1 B-3或1 C-3 D-1或33.设计一个计算的算法图中给出了程序的一部分，则在横线上不能填入的数是A13 B135 C14 D1454如图为一个几何体的三视图，尺寸如图，则该几何体的表面积为(不考虑接触点)A B. C. D.5.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线和曲线围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是 A B. C. D.6如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵 树与两墙的距离分别是am(0a12)、4m，不考虑树 的粗细现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形 的花圃ABCD设此矩形花圃的面积为S m2，S的最大 值为f(a)，若将这棵树围在花圃内，则函数u=f(a)的 图象大致是7下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边上的中点，双曲线均以图中F1、F2为 焦点，且三个图中的F1F2的长相等设图中双曲线的离心率分别为e1,e2,e3,则A B. C. D.8如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头方向可以构成一个“锯齿形”的数列,记其前n项和为Sn，则S19的值为 A129 B.172 C228 D283第二部分非选择题(110分)二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分。(一)必做题(9-13题) 9一组数据的方差为1，则数据的方差为_10的展开式中的常数项为_。11.已知曲线在处的切线与曲线在处的切线互相平行，则x0的值为_.12.2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式如图，在坡度为的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为和，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为_米.13若不等式的解集为(-1，2)，则实数a的值为_.(二)选做题(14、15题，考生只能从中选做一题，两题都选的只计算第14题的得分)14(几何证明选讲选做题)如图，在ABC中，DEBC， DFAC， AE：AC=3：5；DE=6，则BF=_.15(坐标系与参数方程选做题)若P(2，-1)为曲线的弦的中点，则该弦所在直线的普通方程为_.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16(本小题满分12分) 己知向量,其中,且，又函数f(x)的图像两相邻对称轴之间的距离为.(1)求的值：(2)求函数f(x)在区间上的最大值与最小值及相应的x值17.(本小题满分12分) 某休闲会馆拟举行“五一”庆祝活动，每位来宾交30元的入场费，可参加一次抽奖活动抽奖活动规则是：从一个装有分值分别为1，2，3，4，5,6的六个相同小球的抽奖箱中，有放回的抽取两次，每次抽取一个球，规定：若抽得两球的分值之和为12分，则获得价值为m元的礼品；若抽得两球的分值之和为11分或10分，则获得价值为100元的礼品；若抽得两球的分值之和低于10分，则不获奖 (1)求每位会员获奖的概率； (2)假设这次活动会馆既不赔钱也不赚钱，则m应为多少元? 18(本小题满分14分) 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直,，AF=1，M是线段EF的中点(1)求证：AM/平面BDE；(2)求二面角A-DF-B的大小；(3)试问：在线段AC上是否存在一点P，使得直线PF与AD所成角为？19(本小题满分14分)如图，在直角梯形ABCD中，点E在线段AB的延长线上曲线段DE上任一点到A、B两点的距离之和都相等 (1)建立适当的直角坐标系，求曲线段DE的方程； (2)试问：过点C能否作一条直线l与曲线段DE相交于两点M、N，使得线段MN以C为中点?若能，则求直线l的方程；若不能则说明理由20(本小题满分14分)已知函数，其中a为不大于零的常数(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：，e为自然对数的底数)。21.(本小题满分14分) 设an是关于x的方程的根试证明：(1)(2)(3)2010届高三水平测试数学(理科)答案及说明说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答来改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分94； 1012； 110或； 12.30； 13-4； 144； 15x-y-3=0三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16(本小题满分12分) 己知向量,其中,且，又函数f(x)的图像两相邻对称轴之间的距离为.(1)求的值：(2)求函数f(x)在区间上的最大值与最小值及相应的x值解：(1)4分由题意，函数f(x)的最小正周期为,又, 6分(2)由(1)知,当,即时，f(x)取得最大值1， 9分当,即时，f(x)取得最小值. 12分17.(本小题满分12分) 某休闲会馆拟举行“五一”庆祝活动，每位来宾交30元的入场费，可参加一次抽奖活动抽奖活动规则是：从一个装有分值分别为1，2，3，4，5,6的六个相同小球的抽奖箱中，有放回的抽取两次，每次抽取一个球，规定：若抽得两球的分值之和为12分，则获得价值为m元的礼品；若抽得两球的分值之和为11分或10分，则获得价值为100元的礼品；若抽得两球的分值之和低于10分，则不获奖 (1)求每位会员获奖的概率； (2)假设这次活动会馆既不赔钱也不赚钱，则m应为多少元? 解：(1)两次抽取的球的分值构成的有序数对共有36对，其中分值之和为12的有1对，分值之和为11的有两对，分值之和为10的有3对，所以每位会员获奖的概率为 4分(2)设每位来宾抽奖后，休闲宾馆的获利的元数为随机变量,则的可能取值为30-m、-70、30 5分, 8分则宾馆获利的期望为若这次活动会馆既不赔钱也不赚钱，则,即,所以，m=580 11分答：(1)每位会员获奖的概率为；(2)m应为580元 12分18(本小题满分14分) 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直,，AF=1，M是线段EF的中点(1)求证：AM/平面BDE；(2)求二面角A-DF-B的大小；(3)试问：在线段AC上是否存在一点P，使得直线PF与AD所成角为？解：方法一：(1)记AC与BD的交点为O，连接OE，O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，四边形AOEM是平行四边形，AMOE.平面BDE, 平面BDE,AM/平面BDE 4分(2)在平面AFD中过A作于S，连结BS，平面ADF，,又平面ABS ,是二面角ADFB的平面角 6分在中，二面角A-DF-B的大小为 9分(3)设,作于Q，则PQ/AD，平面ABF，平面ABF，.在中，为等腰直角三角形，又为直角三角形，,或t=3(舍去)点P是AC的中点 14分方法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设，连接NE，则点N、E的坐标分别是,又点A、M的坐标分别是,且NE与AM不共线，NE/AM。又平面BDE，平面BDE，平面BDF 4分(2)平面ADF。为平面DAF的法向量得 为平面BDF的法向量与的夹角是.即所求二面角A-DF-B的大小是 9分(3)设,得,又PF和AD所成的角是,解得或(舍去)，即点P是AC的中点。 14分19.(本小题满分14分)如图，在直角梯形ABCD中，点E在线段AB的延长线上曲线段DE上任一点到A、B两点的距离之和都相等 (1)建立适当的直角坐标系，求曲线段DE的方程； (2)试问：过点C能否作一条直线l与曲线段DE相交于两点M、N，使得线段MN以C为中点?若能，则求直线l的方程；若不能则说明理由解：(1)以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则 1分依题意，曲线段DE是以A、B为左、右焦点，长轴长为8的椭圆的一部分。 3分故曲线段DE的方程为6分(2)设这样的直线l存在，由直线x=2与曲线段DE只有一个交点(0，3)，知直线l存在斜率，设直线l的方程为,即,将其代入得 9分设，则由,知,解得 12分当时，方程化为：,解得即,适合条件故直线l存在，其方程为,即 14分20(本小题满分14分)已知函数，其中a为不大于零的常数(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：，e为自然对数的底数)。解：(1) 1分当a=0时，,在单调递增,在单调递减； 3分当,即时,对恒成立在上单调递减； 5分当-1a0时，在上单调递增,在和上单调递减； 7分综上所述，当时，f(x)在上单调递减,当-1a0时，f(x)在上单调递增,在和上单调递减。当a=0时，f(x)在单调递增，在上单调递减 8分(2)由(1)知，当a=-1时，f(x)在上单调递减，当时，由得 10分 14分21.(本小题满分14分) 设an是关于x的方程的根试证明：(1)(2)(3)证明：(1)设,且函数f(x)的图象在上是连续的，f(x)在(0，1)上至少有一个零点，即方程在(0，1)内至少有一个根3分,在上是增函数方程在内有唯一根，且根在(0,1)内，即 5分(2)方法一：且函数f(x)的图象在上是连续的，在内至少有一个零点，即方程在内至少有一个根又由(1)知函数f(x)在上单调递增，方程在内有唯一根, 8分 9分方法二：由(1)知，,两式相减得： 7分若存在,使得,则，从而,矛盾所以 9分(3)由题设得当时, 12分当n3时有综上 14分
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