二次函数与abc关系.ppt

二次函数 26 1二次函数的性质 二次函数y ax bx c的符号问题 知识点一 抛物线y ax2 bx c的符号问题 与y轴的正半轴相交 c 0 与y轴的负半轴相交 c 0 经过坐标原点 c 0 1 a的符号 由抛物线的开口方向确定 如果y ax2 bx c的图象与x轴的交点为A x1 0 B x2 0 那么AB x1 x2 C x1 x2 1 抛物线y ax2 bx c在x轴上方的条件是什么 变式 不论x取何值时 函数y ax2 bx c a 0 的值永远是正值的条件是什么 你知道吗 不论x取何值时 函数y ax2 bx c a 0 的值永远是非负数的条件是什么 知识点二 a 0 b2 4ac 0 a 0 b2 4ac 0 知识点二 2 抛物线y ax2 bx c在x轴下方的条件是什么 变式 不论x取何值时 函数y ax2 bx c a 0 的值永远是负值的条件是什么 你知道吗 不论x取何值时 函数y ax2 bx c a 0 的值永远是非正数的条件是什么 知识点三 抛物线y ax2 bx c的符号问题 5 a b c的符号 由x 1时抛物线上的点的位置确定 点在x轴上方 点在x轴下方 点在x轴上 a b c 0 a b c 0 a b c 0 6 a b c的符号 由x 1时抛物线上的点的位置确定 点在x轴上方 点在x轴下方 点在x轴上 a b c 0 a b c 0 a b c 0 1 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o a 0 b0 0 练习 2 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o a 0 b 0 c 0 0 练习 3 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o a0 0 练习 4 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o a 0 b 0 c 0 0 练习 5 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o a 0 b 0 c 0 0 练习 6 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o a0 c 0 0 练习 7 已知 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 则点M a 在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 x o y a0 c 0 D 练习 8 已知 一次函数y ax c与二次函数y ax2 bx c 它们在同一坐标系中的大致图象是图中的 A B C D C 练习 9 已知 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 下列结论中 abc 0 b 2a a b c 0 a b c 0 a b c 0正确的个数是 A 2个B 3个C 4个D 5个 C 练习 10 已知 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 下列结论中 b 0 c 0 4a 2b c 0 a c 2 b2 其中正确的个数是 A 4个B 3个C 2个D 1个 B 练习 因为a b c 0所以b a c两边同时平方 11 已知 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 下列结论中下不正确的是 A abc 0B b2 4ac 0C 2a b 0D 4a 2b c 0 D 练习 b 2a 2a 2a b 0 1 抛物线y x2 8x m的顶点在x轴上则m 2 抛物线y x2 bx 1的顶点在y轴上则b 3 抛物线y x2 bx 1对称轴是直线x 2则b 16 0 4 练一练 1 已知 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 下列结论中 abc 0 b 2a a b c 0 a b c 0 a b c 0正确的个数是 A 2个B 3个C 4个D 5个 C 4错 练一练 2 已知 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 下列结论中下正确的是 A abc 0B b2 4ac 0C 2a b 0D 4a 2b c 0 D 1 天津 已知二次函数y ax2 bx c 且a 0 a b c 0 则一定有 A b2 4ac 0B b2 4ac 0C b2 4ac 0D b2 4ac 0 二 典型例题分析 A 2 重庆 二次函数y ax2 bx c的图像如图所示 则点M b c a 在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 D 1 a0 c 0 3 河北省 在同一直角坐标系中 一次函数y ax c和二次函数y ax2 c的图像大致为 B 4 山西省 二次函数y x2 bx c的图像如图所示 则函数值y 0时 对应的x取值范围是 3 x 1 3 3 5 已知二次函数y ax2 bx c的图像如图所示 下列结论 a b c 0 a b c 0 abc 0 b 2a中正确个数为 A 4个B 3个C 2个D 1个 A 6 无论m为任何实数 二次函数y x2 2 m x m的图像总是过点 A 1 3 B 1 0 C 1 3 D 1 0 C 当x 1时 y a b c 当x 1时 y a b c a0 x b 2a 1 D 7 安徽 二次函数y ax2 bx c的图像如图 则下列a b c间的关系判断正确的是 A ab0D a b c 0 8 绵阳 二次函数y ax2 bx c的图像如图 则不等式bx a 0的解为 A x a bB x a bC x a bD x a b D a 0 b 0 c 0 a 0 b 0 9 已知二次函数y ax2 bx c的图像如图所示 那么下列判断不正确的有 A abc 0B b2 4ac 0C 2a b 0D 4a 2b c 0 D X b 2a 1 b 2a 2a b 0 当x 2时 y 4a 2b c 0 D 10 若抛物线y ax2 3x 1与x轴有两个交点 则a的取值范围是 A a 0B a 4 9C a 9 4D a 9 4且a 0 11 某幢建筑物 从10米高的窗口A用水管向外喷水 喷出的水呈抛物线状 抛物线所在平面与墙面垂直 如图所示 如果抛物线的最高点M离墙1米 离地面40 3米 则水流落地点B离墙的距离OB是 A 2米B 3米C 4米D 5米 B O 抛物线顶点M 1 40 3 与y轴交点A 0 10 求得抛物线解析式 求出抛物线与x轴的交点 1 青海省 如图所示 已知抛物线y x2 bx c与x轴的两个交点分别为A x1 0 B x2 0 且x1 x2 4 x1x2 3 1 求此抛物线的解析式 2 设此抛物线与y轴的交点为C 过点B C作直线 求此直线的解析式 3 求 ABC的面积 1 y x2 4x 3 2 y x 3 3 3 三 综合应用能力提升 2 已知 二次函数y 2x2 m 1 x m 1 1 求证 不论m为何值时 函数的图像与x轴总有交点 并指出m为何值时 只有一个交点 2 当m为何值时 函数图像过原点 并指出此时函数图像与x轴的另一个交点 3 若函数图像的顶点在第四象限 求m的取值范围 2 另一个交点坐标为 1 0 3 当m 1且m 3时 抛物线的顶点在第四象限 确定二次函数解析式 用待定系数法求二次函数解析式 要根据给定条件的特点选择合适的方法来求解 一般地 在所给条件中已知顶点坐标时 可设顶点式y a x h 2 k 在所给条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称轴 可设交点式y a x x1 x x2 在所给的三个条件是任意三点时 可设一般式y ax2 bx c 然后组成三元一次方程组来求解 例 已知关于x的二次函数 当x 1时 函数值为10 当x 1时 函数值为4 当x 2时 函数值为7 求这个二次函数的解析试 待定系数法 例 根据下列条件 分别求出对应的二次函数解析式 1 已知抛物线的顶点是 1 2 且过点 2 3 2 已知抛物线与x轴两交点横坐标为1 3且图像过 0 3 已知顶点坐标设顶点式y a x h 2 k 顶点是 1 2 设y a x 1 2 2 又过点 2 3 a 2 1 2 2 3 a 1 y x 1 2 2 即y x2 2x 3 已知与x轴两交点横坐标 设交点式y a x x1 x x2 由抛物线与x轴两交点横坐标为1 3 设y a x 1 x 3 过 0 3 a 0 1 0 3 3 a 1 y x 1 x 3 即y x2 4x 3 3 已知二次函数的图像过 1 2 0 1 2 7 已知普通三点设一般式y ax2 bx c 设y ax2 bx c过 1 2 0 1 2 7 三点 y x2 2x 1 例 已知一抛物线与x轴的交点A 2 0 B 1 0 且经过点C 2 8 1 求该抛物线的解析式 2 求该抛物线的顶点坐标 解 设这个抛物线的表达式为Y ax2 bx c 由已知 抛物线过点 2 0 B 1 0 C 2 8 三点 得 4a 2b c 0 a b c 0 4a 2b c 8 解这个方程组得 a 2 b 2 C 4 所以该抛物线的表达式为y 2x2 2x 4 2 y 2x2 2x 4 2 x2 x 2 2 x 1 2 2 9 2 所以该抛物线的顶点坐标为 1 2 9 2 例 如图 已知二次函数的图像经过点A和点B 1 求该二次函数的表达式 2 写出该抛物线的对称轴及顶点坐标 3 点P m m 与点Q均在该函数图像上 其中m 0 且这两点关于抛物线的对称轴对称 求m的值及点Q到x轴的距离 解 1 将x 1 y 1 x 3 y 9分别代入得解得 二次函数的表达式为 2 对称轴为 顶点坐标为 2 10 3 将 m m 代入 得 解得 m 0 不合题意 舍去 m 6 点P与点Q关于对称轴对称 点Q到x轴的距离为6 抛物线y ax2 bx c的符号问题 1 a的符号 由抛物线的开口方向确定 小结