高等数学微分方程复习.ppt

微分方程求解总结 求解流程图 1 折线积分 2 凑全微分 3 定积分 转为z的一阶线性 关于u一阶 二阶变系数 二阶 一阶 二阶常系数 解的结构 P338 P348 一 一阶微分方程求解 1 一阶标准类型方程求解 关键 辨别方程类型 掌握求解步骤 2 一阶非标准类型方程求解 1 变量代换法 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 2 积分因子法 选积分因子 解全微分方程 四个标准类型 可分离变量方程 齐次方程 线性方程 全微分方程 机动目录上页下页返回结束 例1 求下列方程的通解 提示 1 故为分离变量方程 通解 机动目录上页下页返回结束 方程两边同除以x即为齐次方程 令y ux 化为分 离变量方程 调换自变量与因变量的地位 用线性方程通解公式求解 化为 机动目录上页下页返回结束 方法1这是一个齐次方程 方法2化为微分形式 故这是一个全微分方程 机动目录上页下页返回结束 例2 求下列方程的通解 提示 1 令u xy 得 2 将方程改写为 贝努里方程 分离变量方程 原方程化为 机动目录上页下页返回结束 令y ut 齐次方程 令t x 1 则 可分离变量方程求解 化方程为 机动目录上页下页返回结束 变方程为 两边乘积分因子 用凑微分法得通解 机动目录上页下页返回结束 例3 机动目录上页下页返回结束 设F x f x g x 其中函数f x g x 在 内满足以下条件 1 求F x 所满足的一阶微分方程 03考研 2 求出F x 的表达式 解 1 所以F x 满足的一阶线性非齐次微分方程 机动目录上页下页返回结束 2 由一阶线性微分方程解的公式得 于是 练习题 题3只考虑方法及步骤 P353题2求以 为通解的微分方程 提示 消去C得 P353题3求下列微分方程的通解 提示 令u xy 化成可分离变量方程 提示 这是一阶线性方程 其中 P353题1 2 3 1 2 3 4 5 9 10 机动目录上页下页返回结束 提示 可化为关于x的一阶线性方程 提示 为贝努里方程 令 提示 为全微分方程 通解 提示 可化为贝努里方程 令 微分倒推公式 机动目录上页下页返回结束 原方程化为 即 则 故原方程通解 提示 令 机动目录上页下页返回结束 二 两类二阶微分方程的解法 1 可降阶微分方程的解法 降阶法 令 令 逐次积分求解 机动目录上页下页返回结束 2 二阶线性微分方程的解法 常系数情形 齐次 非齐次 代数法 欧拉方程 机动目录上页下页返回结束 二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤 1 写出相应的特征方程 2 求出特征方程的两个根 3 根据特征方程的两个根的不同情况 按照下列规则写出微分方程的通解 求解二阶常系数线性方程 非齐 通解 齐次通解 非齐特解 难点 如何求特解 方法 待定系数法 3 上述结论也可推广到高阶方程的情形 解答提示 P353题2求以 为通解的微分方程 提示 由通解式可知特征方程的根为 故特征方程为 因此微分方程为 P353题3求下列微分方程的通解 提示 6 令 则方程变为 机动目录上页下页返回结束 特征根 齐次方程通解 令非齐次方程特解为 代入方程可得 思考 若 7 中非齐次项改为 提示 原方程通解为 特解设法有何变化 机动目录上页下页返回结束 P354题4 2 求解 提示 令 则方程变为 积分得 利用 再解 并利用 定常数 思考 若问题改为求解 则求解过程中得 问开方时正负号如何确定 机动目录上页下页返回结束 P354题8设函数 在r 0 内满足拉普拉斯方程 二阶可导 且 试将方程化为以r为自变 量的常微分方程 并求f r 提示 利用对称性 即 欧拉方程 原方程可化为 机动目录上页下页返回结束 解初值问题 则原方程化为 通解 利用初始条件得特解 机动目录上页下页返回结束 特征根 例1 求微分方程 提示 故通解为 满足条件 解满足 处连续且可微的解 设特解 代入方程定A B 得 得 机动目录上页下页返回结束 处的衔接条件可知 解满足 故所求解为 其通解 定解问题的解 机动目录上页下页返回结束 例2 且满足方程 提示 则 问题化为解初值问题 最后求得 机动目录上页下页返回结束 思考 设 提示 对积分换元 则有 解初值问题 答案 机动目录上页下页返回结束 的解 例3 设函数 内具有连续二阶导 机动目录上页下页返回结束 1 试将x x y 所满足的微分方程 变换为y y x 所满足的微分方程 2 求变换后的微分方程满足初始条件 数 且 解 上式两端对x求导 得 1 由反函数的导数公式知 03考研 机动目录上页下页返回结束 代入原微分方程得 2 方程 的对应齐次方程的通解为 设 的特解为 代入 得A 0 从而得 的通解 题目录上页下页返回结束 由初始条件 得 故所求初值问题的解为 例4 解 欲向宇宙发射一颗人造卫星 为使其摆脱地球 引力 初始速度应不小于第二宇宙速度 试计算此速度 设人造地球卫星质量为m 地球质量为M 卫星 的质心到地心的距离为h 由牛顿第二定律得 G为引力系数 则有初值问题 又设卫星的初速度 机动目录上页下页返回结束 代入原方程 得 两边积分得 利用初始条件 得 因此 注意到 机动目录上页下页返回结束 为使 因为当h R 在地面上 时 引力 重力 即 代入 即得 这说明第二宇宙速度为 机动目录上页下页返回结束 求质点的运动规 例5 上的力F所作的功与经过的时间t成正比 比例系数 提示 两边对s求导得 牛顿第二定律 为k 开方如何定 已知一质量为m的质点作直线运动 作用在质点 机动目录上页下页返回结束 例6 一链条挂在一钉子上 启动时一端离钉子8m 另一端离钉子12m 如不计钉子对链条所产生的摩擦 力 求链条滑下来所需的时间 解 建立坐标系如图 设在时刻t 链条较长一段 下垂xm 又设链条线密度为常数 此时链条受力 由牛顿第二定律 得 机动目录上页下页返回结束 由初始条件得 故定解问题的解为 解得 当x 20m时 s 微分方程通解 思考 若摩擦力为链条1m长的重量 定解问题的 数学模型是什么 机动目录上页下页返回结束 摩擦力为链条1m长的重量时的数学模型为 不考虑摩擦力时的数学模型为 此时链条滑下来所需时间为 机动目录上页下页返回结束 练习题 从船上向海中沉放某种探测仪器 按探测 要求 需确定仪器的下沉深度y与下沉速度v之间的函 数关系 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用 设仪器质量为m 体积为B 海水比重为 仪器所受阻力与下沉速度成正 比 比例系数为k k 0 试建立y与v所满足的微分 方程 并求出函数关系式y y v 95考研 提示 建立坐标系如图 质量m体积B 由牛顿第二定律 重力 浮力 阻力 注意 机动目录上页下页返回结束 初始条件为 用分离变量法解上述初值问题得 质量m体积B 得 机动目录上页下页返回结束 有特 而对应齐次方程有解 微分方程的通解 解 故所给二阶非齐次方程为 方程化为 1 设二阶非齐次方程 一阶线性非齐次方程 机动目录上页下页返回结束 故 再积分得通解 复习 一阶线性微分方程通解公式 机动目录上页下页返回结束 2 1 验证函数 满足微分方程 2 利用 1 的结果求幂级数 的和 解 1 机动目录上页下页返回结束 02考研 所以 2 由 1 的结果可知所给级数的和函数满足 其特征方程 特征根 齐次方程通解为 设非齐次方程特解为 代入原方程得 故非齐次方程通解为 机动目录上页下页返回结束 代入初始条件可得 故所求级数的和 机动目录上页下页返回结束