空间向量的数乘运算(公开课).ppt

3 1 2空间向量的数乘运算 O 结论 空间任意两个向量都可平移到同一个平面内 成为同一平面内的向量 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题 平面向量中有关结论仍适用于它们 一 空间向量的数乘 2 空间向量的数乘的性质 1 定义 实数与空间向量的乘积仍然是一个向量 称为空间向量的数乘 3 空间向量的数乘的运算律 3 数乘结合律 1 数乘分配律1 2 数乘分配律2 1 定义 如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合 则这些向量叫做 共线向量 二 空间中的共线向量 或平行向量 3 非零共线向量的传递性 1 零向量与任一向量共线 4 空间共线向量定理 对空间任意两个向量 有且只有一个实数 使 思考1 为什么要强调 思考2 这个定理有什么作用 1 判定两个向量是否共线 2 判定三点是否共线 若P为A B中点 则 向量参数表示式 推论 如果为经过已知点A且平行已知非零向量的直线 那么对任一点O 点P在直线上的充要条件是存在实数t 满足等式其中向量叫做直线的方向向量 若则A B P三点共线 A B P三点共线 结论1 三 共面向量 1 平行于同一平面的向量 叫做共面向量 注意 空间任意两个向量是共面的 但空间任意三个向量 既可能共面 也可能不共面 由平面向量基本定理知 如果 是平面内的两个不共线的向量 那么对于这一平面内的任意向量 有且只有一对实数 使 如果空间向量与两不共线向量 共面 那么可将三个向量平移到同一平面 则有 那么什么情况下三个向量共面呢 反过来 对空间任意两个不共线的向量 如果 那么向量与向量 有什么位置关系 C 2 共面向量定理 如果两个向量 不共线 则向量与向量 共面的充要条件是 存在实数对x y使 推论 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x y使 C 对空间任一点O 有 填空 1 x y x y C 式称为空间平面ABC的向量表示式 空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定 由此可判断空间任意四点共面 共面向量定理的剖析 如果两个向量a b不共线 性质 判定 P A B C四点共面 结论2 解析 由共面向量定理知 要证明P A B C四点共面 只要证明存在有序实数对 x y 使得 例1 已知A B C三点不共线 对于平面ABC外的任一点O 确定在下列各条件下 点P是否与A B C一定共面 练习3 下列说法正确的是 A 平面内的任意两个向量都共线 B 空间的任意三个向量都不共面 C 空间的任意两个向量都共面 D 空间的任意三个向量都共面 例2 课本例 如图 已知平行四边形ABCD 从平面AC外一点O引向量 求证 四点E F G H共面 平面EG 平面AC 例2 课本例 已知ABCD 从平面AC外一点O引向量 求证 四点E F G H共面 平面AC 平面EG 证明 代入 所以E F G H共面 证明 由面面平行判定定理的推论得 例4 解 连AN 小结 共面