相似三角形的判定.ppt

27 2相似三角形 第一课时 第二课时 第三课时 第四课时 人教版数学九年级下册 27 2 1相似三角形的判定 平行线分线段成比例定理及其推论 第一课时 返回 1 相似多边形的特征是什么 2 怎样判定两个多边形相似 3 什么叫相似比 4 相似多边形中 最简单的就是相似三角形 如果 A A1 B B1 C C1 那么 ABC与 A1B1C1相似吗 我们还有其他方法判定两个三角形相似吗 1 理解相似三角形的概念 并会用以证明和计算 2 体会用相似符号 表示的相似三角形之间的边 角对应关系 素养目标 3 掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用 会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算 请分别度量l3 l4 l5 在l1上截得的两条线段AB BC和在l2上截得的两条线段DE EF的长度 AB BC与DE EF相等吗 任意平移l5 再量度AB BC DE EF的长度 它们的比值还相等吗 猜想 l2 l1 l2 l3 l4 l5 平行线分线段成比例定理 若 那么 若 那么 即 事实上 当l3 l4 l5时 都可以得到 还可以得到 等 l1 l2 通过探究 你得到了什么规律呢 一般地 我们有平行线分线段成比例的基本事实 两条直线被一组平行线所截 所得的对应线段成比例 符号语言 若a b c 则 归纳 a 1 如何理解 对应线段 2 对应线段 成比例都有哪些表达形式 想一想 1 如图 已知l1 l2 l3 下列比例式中错误的是 A B C D D 如图 直线l3 l4 l5 由平行线分线段成比例的基本事实 我们可以得出图中对应成比例的线段 把直线l1向左或向右任意平移 这些线段依然成比例 平行线分线段成比例定理的推论 思考 如果把图1中l1 l2两条直线相交 交点A刚好落到l3上 如图2 1 所得的对应线段的比会相等吗 依据是什么 图1 图2 1 思考 如果把图1中l1 l2两条直线相交 交点A刚好落到l4上 如图2 2 所得的对应线段的比会相等吗 依据是什么 图1 图2 2 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 归纳 2 如图 l1 l2 l3 DE 6 求DF的长 解 l1 l2 l3 又 DE 6 解得EF 4 DF DE EF 6 4 10 例1如图 在 ABC中 DE BC AC 4 AB 3 EC 1 求AD和BD AE 3 解 AC 4 EC 1 DE BC AD 2 25 BD 0 75 利用平行线分线段成比例定理及推论求线段 3 如图 在 ABC中 EF BC AE 2cm BE 6cm FC 3cm AF的长为 1cm 如图 在 ABC中 D为AB上任意一点 过点D作BC的平行线DE 交AC于点E 问题1 ADE与 ABC的三个角分别相等吗 问题2分别度量 ADE与 ABC的边长 它们的边长是否对应成比例 相似三角形的判定定理 问题3你认为 ADE与 ABC之间有什么关系 平行移动DE的位置 你的结论还成立吗 通过度量 我们发现 ADE ABC 且只要DE BC 这个结论恒成立 思考 1 我们通过度量三角形的边长 知道 ADE ABC 但要用相似的定义去证明它 我们需要证明什么 2 由前面的结论 我们可以得到什么 还需证明什么 用相似的定义证明 ADE ABC A B C D E 证明 在 ADE与 ABC中 A A DE BC ADE B AED C 过E作EF AB交BC于F 四边形DBFE是平行四边形 F DE BF ADE ABC 则 已知 如图 在 ABC中 DE BC 且DE分别交AB AC于点D E 求证 ADE ABC A 型 X 型 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边相交 所构成的三角形与原三角形相似 符号语言 DE BC ADE ABC 讨论 过点D作与AC平行的直线与BC相交 可否证明 ADE ABC 如果在三角形中出现一边的平行线 那么你应该联想到什么 方法总结 过点D作与AC平行的直线与BC相交 仍可证明 ADE ABC 这与教材第31页证法雷同 题目中有平行线 可得相似三角形 然后利用相似三角形的性质 可列出比例式 4 已知 如图 AB EF CD 图中共有 对相似三角形 3 巩固练习 2018 临安区 如图 在 ABC中 DE BC DE分别与AB AC相交于点D E 若AD 4 DB 2 则DE BC的值为 A B C D A 1 如图 在 ABC中 EF BC AE 2cm BE 6cm BC 4cm EF长 A A 1cmB cmC 3cmD 2cm 2 如图 DE BC FG BC 则 3 如图 在 ABC中 EF BC 1 如果E F分别是AB和AC上的点 AE BE 7 FC 4 那么AF的长是多少 解 解得AF 4 2 如果AB 10 AE 6 AF 5 那么FC的长是多少 解 解得 如图所示 如果D E F分别在OA OB OC上 且DF AC EF BC 求证 OD OA OE OB 证明 DF AC EF BC 如图 已知菱形ABCD内接于 AEF AE 5cm AF 4cm 求菱形的边长 解 四边形ABCD为菱形 CD AB 设菱形的边长为xcm 则CD AD xcm DF 4 x cm 解得 菱形的边长为cm 两条直线被一组平行线所截 所得的对应线段成比例 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边延长线 所得的对应线段成比例 相似三角形判定的引理 平行于三角形一边的直线与其他两边相交 所构成的三角形与原三角形相似 基本事实 平行线分线段成比例 三边成比例的两个三角形相似 第二课时 返回 学习三角形全等时 我们知道 除了可以通过证明对应角相等 对应边相等来判定两个三角形全等外 还有判定的简便方法 SSS SAS ASA AAS 类似地 判定两个三角形相似时 是不是也存在简便的判定方法呢 类似于判定三角形全等的SSS方法 我们能不能通过三边来判断两个三角形相似呢 2 会运用 三组对应边的比相等的两个三角形相似 判定两个三角形相似 并能进行相关计算与推理 1 复习已经学过的三角形相似的判定定理 素养目标 1 定义法 对应角相等 对应边的比相等的两个三角形相似 如何判断两个三角形是否相似 DE BC ADE ABC 2 平行法 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 所构成的三角形与原三角形相似 A型 X型 三边对应成比例的两三角形相似 还有没有其他简单的判断方法呢 是否有 ABC A B C A B C 三边对应成比例 通过测量不难发现 A A B B C C 又因为两个三角形的边对应成比例 所以 ABC A B C 下面我们用前面所学的定理证明该结论 已知 如图 在 ABC和 A B C 中 A B AB A C AC B C BC 求证 ABC A B C 证明 在 ABC的边AB 或延长线 上截取AD A B D E 过点D作DE BC交AC于点E 又A B AB B C BC C A CA AD AB AE AC DE BC ADE ABC AD A B AD AB A B AB DE BC B C BC EA CA C A CA 因此DE B C EA C A A B C ABC ADE A B C 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理 三边成比例的两个三角形相似 归纳 ABC A B C 符号语言 讨论 在用三边的比判定两个三角形相似时 如何寻找对应边 方法点拨 利用三边的比判定两个三角形相似时 应先将两个三角形的三边按大小顺序排列 然后分别计算它们对应边的比 最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似 例1已知AB 4cm BC 6cm AC 8cm A B 12cm B C 18cm A C 24cm 试说明 ABC A B C ABC A B C 利用三边成比例判断三角形相似 解 方法点拨 判定三角形相似的方法之一 如果题中给出了两个三角形的三边的长 分别算出三条对应边的比值 看是否相等 计算时最大边与最大边对应 最短边与最短边对应 1 在 ABC和 DEF中 如果AB 4 BC 3 AC 6 DE 2 4 EF 1 2 FD 1 6 那么这两个三角形能否相似的结论是 理由是 2 如图 在大小为4 4的正方形网格中 是相似三角形的是 相似 C 三组对应边的比相等 A 和 B 和 C 和 D 和 例2如图 在Rt ABC与Rt A B C 中 C C 90 且求证 A B C ABC 证明 由已知条件得AB 2A B AC 2A C BC2 AB2 AC2 2A B 2 2A C 2 4A B 2 4A C 2 4 A B 2 A C 2 4B C 2 2B C 2 A B C ABC BC 2B C 判断三角形相似 3 如图 ABC中 点D E F分别是AB BC CA的中点 求证 ABC EFD ABC EFD 证明 ABC中 点D E F分别是AB BC CA的中点 试说明 BAD CAE ABC ADE BAC DAE BAC DAC DAE DAC即 BAD CAE 例3如图已知 解 利用三角形相似求角相等 解 相等的角有 BAC DAE B ADE C E BAD CAE 理由如下 在 ABC和 ADE中 AB AD BC DE AC AE ABC ADE BAC DAE B ADE C E BAC CAD DAE CAD BAD CAE 故图中相等的角有 BAC DAE B ADE C E BAD CAE 4 如图 已知AB AD BC DE AC AE 找出图中相等的角 对顶角除外 并说明你的理由 2018 临安 如图 小正方形的边长均为1 则下列图中的三角形 阴影部分 与 ABC相似的是 A B C D B 1 下列各组三角形一定相似的是 A 两个直角三角形B 两个钝角三角形C 两个等腰三角形D 两个等边三角形 D 2 下列判断 不正确的是 A 两条直角边分别是3 4和6 8的两个直角三角形相似 B 斜边长和一条直角边长分别是 4和 2的两个直角三角形相似 C 两条边长分别是7 4和14 8的两个直角三角形相似 D 斜边长和一条直角边长分别是5 3和2 5 1 5的两个直角三角形相似 C 3 如图 APD 90 AP PB BC CD 下列结论正确的是 A PAB PCAB PAB PDAC ABC DBAD ABC DCA C 4 判断图中的两个三角形是否相似 并说明理由 解 在 ABC中 AB BC CA 在 DEF中 DE EF FD DEF ABC 要制作两个形状相同的三角形框架 其中一个三角形框架的三边长分别为4 5 6 另一个三角形框架的一边长为2 它的另外两条边长应当是多少 你有几个答案 方案 1 解 设另外两条边长分别为x y 方案 2 方案 3 如图 某地四个乡镇A B C D之间建有公路 已知AB 14千米 AD 28千米 BD 21千米 DC 31 5千米 公路AB与CD平行吗 说出你的理由 解 公路AB与CD平行 ABD BDC ABD BDC AB DC 三边成比例两个三角形相似 利用三边判定两个三角形相似 相似三角形的判定定理的运用 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 第三课时 返回 1 两个三角形全等有哪些判定方法 2 我们学习过哪些判定三角形相似的方法 SSS SAS ASA AAS HL 1 通过定义 三边对应成比例 三角分别相等 2 平行于三角形一边的直线 3 三边对应成比例 类似于判定三角形全等的SAS方法 我们能不能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢 1 探索 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 的判定定理并且会运用 2 会运用 两边成比例且夹角相等 判定两个三角形相似 并进行相关计算与推理 素养目标 改变 A或k值的大小 再试一试 是否有同样的结论 实际上 我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法 等于k B B C C 改变k的值具有相同的结论 利用刻度尺和量角器画 ABC和 A B C 使 A A 量出它们第三组对应边BC和B C 的长 它们的比等于k吗 另外两组对应角 B与 B C与 C 是否相等 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 A A 如果两个三角形的两组对应边的比相等 并且相应的夹角相等 那么这两个三角形相似 类似于证明通过三边判定三角形相似的方法 我们试证明这个结论 ABC A B C 已知 如图 A B C 和 ABC中 A A A B AB A C AC 求证 A B C ABC 证明 在 ABC的边AB AC 或它们的延长线 上分别截取AD A B AE A C 连结DE 因 A A 这样 A B C ADE DE BC ADE ABC A B C ABC A B C A B C D E 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 符号语言 A A ABC A B C 归纳 思考 对于 ABC和 A B C 如果A B AB A C AC C C 这两个三角形一定会相似吗 不一定 如下图 因为能构造符合条件的三角形有两个 其中一个和原三角形相似 另一个不相似 归纳总结 如果两个三角形两边对应成比例 但相等的角不是两条对应边的夹角 那么两个三角形不一定相似 相等的角一定要是两条对应边的夹角 已知 A 120 AB 7cm AC 14cm A 120 A B 3cm A C 6cm 判断 ABC与 A B C 是否相似 并说明理由 又 A A ABC A B C 例1 利用两边成比例且夹角相等识别三角形相似 ABC A B C 理由如下 解 1 已知 A 40 AB 8 AC 15 A 40 A B 16 A C 30 判断 ABC与 A B C 是否相似 并说明理由 解 ABC A B C ABC A B C 理由如下 解 AE 1 5 AC 2 例2如图 D E分别是 ABC的边AC AB上的点 AE 1 5 AC 2 BC 3 且 求DE的长 又 EAD CAB ADE ABC 利用三角形相似求线段的长度 提示 解题时要找准对应边 2 如图 在 ABC中 AC BC D是边AC上一点 连接BD 1 要使 CBD CAB 还需要补充一个条件是 只要求填一个 2 若 CBD CAB 且AD 2 求CD的长 解 1 CD CB BC AC 2 设CD x 则CA x 2 当 CBD CAB 且AD 2 有CD CB BC AC 即 所以x 2x 3 0 解得x 1 x 3 但x 3不符合题意 应舍去 所以CD 1 证明 CD是边AB上的高 ADC CDB 90 ADC CDB ACD B ACB ACD BCD B BCD 90 例3如图 在 ABC中 CD是边AB上的高 且 求证 ACB 90 利用三角形相似求角 方法总结 解题时需注意隐含条件 如垂直关系 三角形的高等 3 如图 已知在 ABC中 C 90 D E分别是AB AC上的点 AE AD AB AC 试问 DE与AB垂直吗 为什么 证明 DE AB 理由如下 AE AD AB AC 又 A A ABC AED ADE C 90 DE与AB垂直 1 2017 同仁 如图 已知 BAC EAD AB 20 4 AC 48 AE 17 AD 40 求证 ABC AED 巩固练习 证明 AB 20 4 AC 48 AE 17 AD 40 BAC EAD ABC AED 1 如图 D是 ABC一边BC上一点 连接AD 使 ABC DBA的条件是 A AC BC AD BDB AC BC AB ADC AB2 CD BCD AB2 BD BC D 2 在 ABC和 DEF中 C F 70 AC 3 5cm BC 2 5cm DF 2 1cm EF 1 5cm 求证 DEF ABC 证明 AC 3 5cm BC 2 5cm DF 2 1cm EF 1 5cm 又 C F 70 DEF ABC 3 如图 ABC与 ADE都是等腰三角形 AD AE AB AC DAB CAE 求证 ABC ADE 证明 AD AE AB AC 又 DAB CAE DAB BAE CAE BAE 即 DAE BAC ABC ADE 如图 在四边形ABCD中 已知 B ACD AB 6 BC 4 AC 5 求AD的长 解 AB 6 BC 4 AC 5 又 B ACD ABC DCA 如图 在 ABC中 D E分别是AB AC上的点 AB 7 8 BD 4 8 AC 6 AE 3 9 试判断 ADE与 ABC是否相似 某同学的解答如下 解 AB AD BD 而AB 7 8 BD 4 8 AD 7 8 4 8 3 这两个三角形不相似 你同意他的判断吗 请说明理由 解 他的判断是错误的 AB AD BD 而AB 7 8 BD 4 8 AD 7 8 4 8 3 又 A A ADE ACB 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 利用两边及夹角判定三角形相似 相似三角形的判定定理的运用 两角分别相等的两个三角形相似 第四课时 返回 观察两副三角尺如图 其中同样角度 30 与60 或45 与45 的两个三角尺大小可能不同 但它们看起来是相似的 一般地 如果两个三角形有两组对应角相等 它们一定相似吗 1 掌握 两角对应相等 两个三角形相似 的判定方法 2 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题 素养目标 3 掌握判定两个直角三角形相似的方法 并能进行相关计算与推理 作 ABC和 A B C 使得 A A B B 这时它们的第三个角满足 C C 吗 分别度量这两个三角形的边长 计算 你有什么发现 满足 C C 两角分别相等的两个三角形相似 这两个三角形是相似的 把你的结果与邻座的同学比较 你们的结论一样吗 ABC和 A B C 相似吗 一样 ABC和 A B C 相似 你能试着证明 A B C ABC吗 如图 已知 ABC和 A B C 中 A A B B 求证 ABC A B C 证明 在 ABC的边AB 或延长线 上 截取AD A B 过点D作DE BC 交AC于点E 则有 ADE ABC ADE B B B ADE B 又 A A AD A B ADE A B C A B C ABC A B C D E A B C 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理 两角分别相等的两个三角形相似 A A B B ABC A B C 符号语言 归纳 例1如图所示 在 ABC和 A B C 中 B B 90 A A 判断这两个三角形是否相似 解 B B 90 A A ABC A B C 利用两角相等判断三角形相似 ACD ACB B ADC 1 如图 点D在AB上 当 或 时 ACD ABC 例2弦AB和CD相交于 O内一点P 求证 PA PB PC PD A C D 证明 连接AC BD A D都是弧CB所对的圆周角 A D 同理 C B PAC PDB 即PA PB PC PD A 利用三角形相似求等积式 2 如图 O的弦AB CD相交于点P 若PA 3 PB 8 PC 4 则PD 6 解 ED AB EDA 90 又 C 90 A A AED ABC 如图 在Rt ABC中 C 90 AB 10 AC 8 E是AC上一点 AE 5 ED AB 垂足为D 求AD的长 两直角三角形相似的判定 由此得到一个判定直角三角形相似的方法 有一个锐角相等的两个直角三角形相似 归纳 已知 ABC A1B1C1 求证 你能证明吗 可要仔细哟 Rt ABC和Rt A1B1C1 如图 在Rt ABC和Rt A B C 中 C 90 C 90 求证 Rt ABC Rt A B C 目标 证明 设 则AB kA B AC kA C 由 得 Rt ABC Rt A B C 勾股定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 那么这两个直角三角形相似 判定两直角三角形相似的定理 ABC A1B1C1 即如果 那么 Rt ABC和Rt A1B1C1 例3如图 已知 ACB ADC 90 AD 2 当AB的长为时 ACB与 ADC相似 直角三角形相似的判定 解析 ADC 90 AD 2 要使这两个直角三角形相似 有两种情况 1 当Rt ABC Rt ACD时 有AC AD AB AC 即 解得AB 3 2 2 当Rt ACB Rt CDA时 有AC CD AB AC 即 解得 当AB的长为3或时 这两个直角三角形相似 2 3 如图 在Rt ABC中 ABC 90 BD AC于D 若AB 6 AD 2 则AC BD BC 18 1 2018 永州 如图 在 ABC中 点D是边AB上的一点 ADC ACB AD 2 BD 6 则边AC的长为 A 2B 4C 6D 8 巩固练习 B 2 2018 绍兴 学校门口的栏杆如图所示 栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置 已知AB BD CD BD 垂足分别为B D AO 4m AB 1 6m CO 1m 则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 A 0 2mB 0 3mC 0 4mD 0 5m 巩固练习 C 1 如图 ABC中 AE交BC于点D C E AD DE 3 5 AE 8 BD 4 则DC的长等于 A B C D A 2 如图 在 ABC和 A B C 中 若 A 60 B 40 A 60 当 C 时 ABC A B C 80 3 如图 ABC中 DE BC EF AB 求证 ADE EFC 证明 DE BC EF AB AED C A FEC ADE EFC 证明 在 ABC中 A 40 B 80 C 180 A B 60 在 DEF中 E 80 F 60 B E C F ABC DEF 4 如图 ABC和 DEF中 A 40 B 80 E 80 F 60 求证 ABC DEF 证明 ABC的高AD BE交于点F FEA FDB 90 AFE BFD 对顶角相等 FEA FDB 1 如图 ABC的高AD BE交于点F 求证 解 A A ABD C ABD ACB AB AC AD AB AB2 AD AC AD 2 AC 8 AB 4 2 已知 如图 ABD C AD 2 AC 8 求AB 如图 BE是 ABC的外接圆O的直径 CD是 ABC的高 求证 AC BC BE CD 证明 连接CE 又 BE是 ABC的外接圆O的直径 BCE 90 ADC AC BC BE CD ACD EBC A E BCE ADC 则 A E 两角分别相等的两个三角形相似 利用两角判定三角形相似 直角三角形相似的判定 课后作业 作业内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习