牛顿法解非线性方程组实验报告.doc

实验名称： 牛顿法解非线性方程组1 引言我们已经知道，线性方程组我们可以采取Jacobi迭代法，G-S迭代法以及SOR迭代方法求解。而在科学技术领域里常常提出求解非线性方程组的问题，例如，用非线性函数拟合实验数据问题、非线性网络问题，用差分法求解非线性微分方程问题等。我们在解非线性方程组时，也考虑用迭代法求解，其思路和解非线性方程式一样，首先要将F(x)=0转化为等价的方程组或者简记为x=g（x），其中迭代法：首先从某个初始向量开始，按下述逐次代入方法构造一向量序列：其中，。或写成向量形式：如果（存在），称为收敛。且当为连续函数时，可得说明为方程组的解。又称为x=g（x）的不动点。本实验中采用牛顿迭代法来求解非线性方程组。2 实验目的和要求运用matlab编写一个.m文件，要求用牛顿法非线性方程组：3 算法原理与流程图1、算法原理设有非线性方程组F(x)=0其中：由偏导数作成的矩阵记为J(x)或称为F(x)的Jacobi矩阵设为F(x)=0的解，且设，为的近似解，现利用多元函数 在点的泰勒公式有其中，在与x的所连的线段内。如果用泰勒公式中的线性函数近似代替，并将线性方程组的解作为的第k+1次近似解记为 将上述方程写成矩阵形式：如果为非奇异矩阵，则得到牛顿迭代公式：求解非线性方程组F(x)=0牛顿法或为用上式可知，每计算一步，需要：（1） 计算矩阵及；（2） 求解一个线性方程组：（3） 计算。2、流程图见附图14 程序代码及注释%牛顿法解非线性方程组function Z,P,k,e = newton(P,e0)%用P输入初始猜想矩阵，不断迭代输出计算解%Z为迭代结束后的F矩阵%k为迭代次数，e为每次迭代后的无穷范数，e0为误差限Z=F(P(1),P(2);J=JF(P(1),P(2);Q=P-JZ;e=norm(Q-P),inf);P=Q;Z=F(P(1),P(2);k=1;while e=e0 J=JF(P(1),P(2); Q=P-JZ; e=norm(Q-P),inf); P=Q; Z=F(P(1),P(2); k=k+1; endend %子函数一，用来求每一步的F（x）function out=F(x,y)syms x1 x2;f1=x1-0.5*cos(x2);f2=x2-0.5*sin(x1);Y=f1;f2;x1=x;x2=y;out=subs(Y);end %子函数二，用来求每一步的Jacobi矩阵function y=JF(x,y)syms x1 x2 f1=x1-0.5*cos(x2);f2=x2-0.5*sin(x1);df1x=diff(sym(f1),x1);df1y=diff(sym(f1),x2);df2x=diff(sym(f2),x1);df2y=diff(sym(f2),x2);j=df1x,df1y;df2x,df2y;%j中的元素为一阶偏导数x1=x;x2=y;y=subs(j);end5算例分析（1）首先输入系数矩阵初始猜想解和误差限e0 P=0 0; e0=0.001;（2）输出结果 Z P k e=newton(P,e0)Z = 1.0e-009 * 0.550442413871366 0.398026500647575P = 0.486405155145713 0.233725502568820k = 3e = 5.835820948590920e-005其中，P为计算解，k为迭代次数，Z为第k次迭代后的F矩阵，e为第k次迭代后的6讨论与结论1、 时间复杂度： tic;Z P k e=newton(P,e0);tocElapsed time is 0.068248 seconds.2、 程序优化在本次的程序设计中，我采用了C语言中子函数调用的思想，使得程序的可读性增强，条理清晰。其次，在求每一步的时，要解方程，此语句可以用Q=P-inv（J）*Z;但考虑到算法的时间复杂性，本语句采用了Q=P-JZ来实现，从而减少了计算机时间。参考文献1 易大义，沈云宝，李有法. 计算方法(第2版)，浙江大学出版社. p.29-53.2 张琨 高思超 毕靖 编著 MATLAB2010从入门到精通 电子工业出版社输入n,x,N0计算输出x，S，kk=1,2，N0求解线性方程组J(x)Y=-F(x)计算计算输出迭代N0次还没有达到精度要求信息StopSYN附图1 流程图