高考数学一轮总复习第九章直线和圆的方程9.3直线与圆圆与圆的位置关系课件理新人教B版.ppt

9 3直线与圆 圆与圆的位置关系 高考理数 1 直线与圆的位置关系设直线l Ax By C 0 A2 B2 0 圆 x a 2 y b 2 r2 r 0 d为圆心 a b 到直线l的距离 联立直线和圆的方程 消元后得到的一元二次方程的判别式为 知识清单 2 圆与圆的位置关系设圆O1 x a1 2 y b1 2 r1 0 圆O2 x a2 2 y b2 2 r2 0 知识拓展 1 过圆x2 y2 r2上一点P x0 y0 的切线方程为x0 x y0y r2 2 过圆 x a 2 y b 2 r2上一点P x0 y0 的切线方程为 x0 a x a y0 b y b r2 3 过圆x2 y2 r2外一点P x0 y0 作圆的切线PA PB 其中A B为切点 则直线AB的方程 x0 x y0y r2 4 过圆 x a 2 y b 2 r2外一点P x0 y0 作圆的切线PA PB 其中A B为切点 则直线AB的方程 x0 a x a y0 b y b r2 1 直线与圆相切 圆心到直线的距离等于半径长 直线与圆只有一个公共点 直线和圆的方程组成的方程组只有一组解 2 直线与圆相交 圆心到直线的距离小于半径长 直线与圆有两个公共点 直线和圆的方程组成的方程组有两组解 3 直线与圆相离 圆心到直线的距离大于半径长 直线与圆无公共点 直线和圆的方程组成的方程组无解 例1 2015贵州贵阳一模 3 5分 对任意实数k 直线y kx 1与圆x2 y2 4的位置关系一定是 A 相离B 相切C 相交且不过圆心D 相交且过圆心解题导引导引一 求圆心到直 突破方法 方法1直线和圆的位置关系 线的距离比较圆心到直线的距离与半径的大小结论导引二 求直线所过的定点判断该定点与圆的位置关系结论解析解法一 直线方程可化为kx y 1 0 圆心到直线的距离d 1 0 d 1 2 直线与圆一定相交 且不过圆心 故选C 解法二 直线y kx 1过定点 0 1 而点 0 1 在圆内 直线与圆一定相交 又 直线斜率存在 直线不过圆心 故选C 答案C1 1若过点A 4 0 的直线l与曲线 x 2 2 y2 1有公共点 则直线l的斜率的取值范围为 A B C D 答案C解析设直线方程为y k x 4 即kx y 4k 0 因为直线l与曲线 x 2 2 y2 1有公共点 所以圆心到直线的距离d小于或等于半径 即d 1 解得 k 涉及圆的弦长问题时 一般采用几何法 如图 直线被圆截得的半弦长 弦心距d和圆的半径r构成直角三角形 则r2 d2 图 图 方法2有关弦长问题的解法 若用代数法 则联立直线方程和圆的方程得方程组 1 解方程组得A B点的坐标 再由两点间的距离公式求弦长 AB 如图 2 消去一个未知数得到一个一元二次方程 利用根与系数的关系可得弦长公式 AB x1 x2 y1 y2 其中k为直线的斜率且k 0 特别地 当k 0时 可直接利用 AB x1 x2 计算 当斜率不存在时 可直接利用 AB y1 y2 计算 例2已知直线l 2mx y 8m 3 0和圆C x2 y2 6x 12y 20 0 1 m R时 证明l与C总相交 2 m取何值时 l被C截得的弦长最短 求此弦长 解析 1 证明 直线的方程可化为y 3 2m x 4 由点斜式可知 直线过点P 4 3 由于42 3 2 6 4 12 3 20 15 0 所以点P在圆内 故直线l与圆C总相交 2 圆的方程可化为 x 3 2 y 6 2 25 如图 当圆心C 3 6 到直线l的距离最大时 线段AB的长度最 短 此时PC l 又kPC 3 所以直线l的斜率为 则2m 所以m 在Rt APC中 PC AC r 5 所以 AB 2 2 故当m 时 l被C截得的弦长最短 最短弦长为2 2 1已知点P 0 5 及圆C x2 y2 4x 12y 24 0 1 若直线l过P且被圆C截得的线段长为4 求l的方程 2 求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程 解析 1 解法一 如图所示 AB 4 D是AB的中点 则CD AB AD 2 圆x2 y2 4x 12y 24 0可化为 x 2 2 y 6 2 16 圆心C 2 6 半径r 4 故AC 4 在Rt ACD中 CD 2 当直线l的斜率存在时 设所求直线l的斜率为k 则直线方程为y 5 kx 即kx y 5 0 点C到直线AB的距离d 2 解得k 此时直线l的方程为3x 4y 20 0 当直线l的斜率不存在时 方程为x 0 与圆C的方程联立并消去x 得y2 12y 24 0 y1 6 2 y2 6 2 y1 y2 4 故x 0满足题意 所求直线l的方程为3x 4y 20 0或x 0 解法二 当直线l的斜率存在时 设所求直线l的斜率为k 则直线的方程为y 5 kx 即y kx 5 联立直线与圆的方程得消去y得 1 k2 x2 4 2k x 11 0 设方程 的两根为x1 x2 由根与系数的关系得 由弦长公式得 x1 x2 4 将 代入 解得k 此时直线l的方程为3x 4y 20 0 又可知直线l的斜率不存在时也满足题意 此时直线l的方程为x 0 所求直线l的方程为x 0或3x 4y 20 0 2 设过P点的圆C的弦的中点为E x y 则CE PE 即 0 x 2 y 6 x y 5 0 化简得所求轨迹方程为x2 y2 2x 11y 30 0