高考数学一轮总复习 第九章 概率与统计 第3讲 几何概型课件 文.ppt

第3讲几何概型 1 几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例 则称这样的概率模型为几何概率模型 简称 为 几何概型 2 几何概型中 事件A的概率计算公式 P A 构成事件A的区域长度 面积或体积 区域的全部结果所构成的区域长度 面积或体积 3 要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 1 无限性 在一次试验中 可能出现的结果有无限多个 2 等可能性 每个结果的发生具有等可能性 注意 几何概型的试验中 事件A的概率P A 只与子区域A的几何度量 长度 面积或体积 成正比 而与A的位置和形状无关 求试验中几何概型的概率 关键是求得事件所占区域和 整个区域 的几何度量 然后代入公式即可求解 1 如图9 3 1 四个可以自由转动的转盘被平均分成若干个扇形 转动转盘 转盘停止转动后 有两个转盘的指针指向白色 C 区域的概率相同 则这两个转盘是 图9 3 1 A 转盘1和转盘2C 转盘2和转盘4 B 转盘2和转盘3D 转盘3和转盘4 2 一只蚂蚁在三边边长分别为3 4 5的三角形的边上爬行 某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为 D 1 3 如图9 3 2 一只蚂蚁在边长分别为3 4 5的三角形区域内随机爬行 则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率 为 D 图9 3 2 A 12 B 1 3 C 1 6 12 4 取一根长度为4m的绳子 拉直后在任意位置剪断 那 么剪得的两段都不少于1m的概率是 C A 14 B 13 C 12 D 23 解析 把绳子4等分 当剪断点位于中间两部分时 两段 考点1 与长度 角度 有关的几何概型 例1 1 2013年福建 利用计算机产生0 1之间的均匀随机数a 则事件 3a 1 0 发生的概率为 解析 事件 3a 1 0 发生的概率可转化为长度之比 则 答案 23 2 2014年湖南 在区间 2 3 上随机选取一个数x 则x 1 的概率为 A 45 B 35 C 25 D 15 解析 在区间 2 3 上符合x 1的区间为 2 1 因为区间 2 3 的长度为5 区间 2 1 的长度为3 根据几何概型的35答案 B 概率计算公式可得p 规律方法 应用几何概型求概率的步骤 把每一次试验当作一个事件 看事件是否是等可能的且事件的个数是否是无限个 若是 则考虑用几何概型 将试验构成的区域和所求事件构成的区域转化为几何图 形 并加以度量 将几何概型转化为长度 面积 体积之比 应用几何概 型的概率公式求概率 面积不小于的概率是 互动探究 1 在面积为S的 ABC的边AB上任取一点P 则 PBC的 A A 23 B 13 C 34 D 14 解析 如图D53 取AB的三等分点P 如 概率为p AP2AB3 图D53 果在线段BP上取点 PBC的面积小于 如果 在线段AP上取点 PBC的面积不小于 所以 考点2 与面积 或体积 有关的几何概型 例2 1 如图9 3 3 向面积为S的 ABC内任投一点P 图9 3 3 则 PBC的面积小于的概率为 答案 34 图D51 2 如图9 3 4 在长方体ABCD A1B1C1D1中 有一动点在此长方体内随机运动 则此动点在三棱椎A A1BD内的概率为 图9 3 4 答案 16 1 2 3 图D52 答案 B 规律方法 如果试验结果构成的试验区域的几何测度可用面积或体积表示 那么概率的计算公式为P A 构成事件A的区域长度 面积或体积 区域的全部结果所构成的区域长度 面积或体积 互动探究 2 2014年辽宁 若将一个质点随机投入如图9 3 5所示的长方形ABCD中 其中AB 2 BC 1 则质点落在以AB为直径 的半圆内的概率是 图9 3 5 A 2 B 4 C 6 D 8 B 考点3 与线性规划有关的几何概型 例3 甲 乙两人约定上午9时至12时在某地点见面 并约定任何一个人先到之后等另一个人不超过1小时 1小时之内若对方不来 则离去 如果他们两个人在9时到12时之间的任何时刻到达约定地点的概率都是相等的 求他们见到面的概率 思维点拨 1 考虑甲 乙两人分别到达某地点的时间 我们以9时为起时 在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约定地点的时间 y轴表示乙到达约定地点的时间 用0时到3时表示9时至12时的时间段 则横轴0时到3时与纵轴0时到3时的正方形中任一时的坐标 x y 就表示甲 乙两人分别在9时至12时时间段内到达的时间对 2 两人能会面的时间必须满足 x y 1 这就将问题化归为几何概型问题 32 2 22 32 解 设9时后过了x小时甲到达 9时后过了y小时乙到达 取点Q x y 则0 x 3 0 y 3 两人见到面的充要条件是 x y 1 如图9 3 6 其概率是 p 9 图9 3 6 规律方法 将随机事件转化为面积之比时 要注意哪部分代表总的基本事件表示的区域 哪部分是所求事件所表示的区域 5 互动探究 3 2014年重庆 由人教版教材必修3P137 例2改编 某校早上8 00开始上课 假设该校学生小张与小王在早上7 30 7 50之间到校 且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的 则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 用数字作答 解析 如图D54 用x表示小张到校的时间 30 x 50 用y表示小王到校的时间 30 y 50 则所有可能的结果对应平面直角坐标系的正方形ABCD区域 小张比小王至少早5分钟到校 即y x 5 所对应的区域为 DEF 图D54 所以P 小张比小王至少早5分钟到校 12 15 1520 20 932 答案 932 易错 易混 易漏 几何概型中容易混淆几何量的比例题 1 在Rt ABC中 A 30 过直角顶点C作射 线CM交线段AB于点M 则使 AM AC 的概率为 正解 如图9 3 7 取AD AC A 30 此时 ACD 75 欲使 AM AC CM必须在 BCD内 其概率为 图9 3 7答案 B 2 在Rt ABC中 A 30 在斜边AB上任取一点M 则使 AM AC 的概率为 A 13 B 16 C 2 2 D 34 正解 如图9 3 8 取AD AC AM AC 欲使 AM AC 点M必须在线段BD内 其概率为 2 2 图9 3 8答案 C 失误与防范 请注意两题的区别 过直角顶点C作射线CM交线段AB于点M 在斜边AB上任取一点M 前者CM在直角内等可能 结果应该为角度的比 后者M为斜边AB上任一点 结果应该为斜边AB上的长度比 1 几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型 二者的共同点是基本事件都是等可能的 不同点是基本事件的个数一个是无限的 一个是有限的 基本事件可抽象为点 对于几何概型 这些点尽管是无限的 但它们与所占据的区域却是有限的 根据等可能性 这个点落在区域的概率与该区域的度量成正比 而与该区域的位置和形状无关 2 对一个具体问题 可以将其几何化 如建立坐标系将试 验结果和点对应 然后利用几何概型概率公式 1 一般地 一个连续变量可建立与长度有关的几何概型 只需把这个变量放在坐标轴上即可 2 若一个随机事件需要用两个变量来描述 则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件 然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型 3 若一个随机事件需要用三个连续变量来描述 则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件 利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型