高考数学一轮总复习 第五章 数列、推理与证明 第2讲 等差数列课件(理).ppt

第2讲等差数列 1 等差数列的定义 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 通常用字母 表示 2 等差数列的通项公式 如果等差数列 an 的首项为a1 公差为d 那么它的通项公 式是an a1 n 1 d d 3 等差中项 4 等差数列的前n项和公式设等差数列 an 的公差为d 其前n项和Sn 5 等差数列的前n项和公式与函数的关系 数列 an 是等差数列 Sn An2 Bn A B为常数 6 等差数列的常用性质 1 数列 an 是等差数列 则数列 an p pan p是常数 都是等差数列 2 若m n p q m n p q N 则am an ap aq 特别地 若m n 2p m n p N 则am an 2ap 4 若等差数列 an 的前n项和为Sn 则Sk S2k Sk S3k S2k S4k S3k是等差数列 5 等差数列的单调性 若公差d 0 则数列单调递增 若公差d 0 则数列单调递减 若公差d 0 则数列为常数列 7 等差数列的最值 小 在等差数列 an 中 若a1 0 d0 则Sn存在最 值 B C 1 2015年重庆 在等差数列 an 中 若a2 4 a4 2 则a6 A 1B 0C 1D 6解析 由等差数列的性质得a6 2a4 a2 2 2 4 0 故选B 2 设Sn是等差数列 an 的前n项和 已知a2 3 a6 11 则S7 A 13B 35C 49D 633 在等差数列 an 中 若S11 220 则a6 20 4 若数列 an 满足 a1 19 an 1 an 3 n N 而数列 an 的前n项和数值最大时 n的值为 B A 6 B 7 C 8 D 9 解析 an 1 an 3 数列 an 是以19为首项 3为公差的等差数列 an 19 n 1 3 22 3n a7 22 21 1 0 a8 22 24 2 0 n 7时 数列 an 的前n项和最大 考点1等差数列的基本运算例1 1 2015年新课标 已知 an 是公差为1的等差数列 Sn为 an 的前n项和 若S8 4S4 则a10 答案 B 2 2013年新课标 设等差数列 an 的前n项和为Sn Sm 1 2 Sm 0 Sm 1 3 则m A 3 B 4 C 5 D 6 答案 C 规律方法 在解决等差数列问题时 已知a1 an d n Sn中的任意三个 可求其余两个 称为 知三求二 而求得a1和d是解决等差数列 an 所有运算的基本思想和方法 互动探究 1 2013年福建 已知等差数列 an 的公差d 1 前n项和为Sn 1 若1 a1 a3成等比数列 求a1 2 若S5 a1a9 求a1的取值范围 考点2 等差数列的基本性质及应用 例2 1 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若S3 9 S6 36 则a7 a8 a9等于 A 63B 45C 36D 27解析 1 方法一 设其公差为d S3 a1 a2 a3 3a2 3 a1 d 9 a1 d 3 S6 a1 a2 a3 a4 a5 a6 3 a3 a4 3 2a1 5d 36 a7 a8 a9 3a8 3 a1 7d 45 方法二 由等差数列的性质 知 S3 S6 S3 S9 S6成等差数列 2 S6 S3 S3 S9 S6 a7 a8 a9 S9 S6 2 S6 S3 S3 45 答案 B 2 若一个等差数列前3项的和为34 最后3项的和为146 且所有项的和为390 则这个数列的项数为 A 13 B 12 C 11 D 10 答案 A 解析 因为a1 a2 a3 34 an 2 an 1 an 146 a1 a2 a3 an 2 an 1 an 34 146 180 又 a1 an a2 an 1 a3 an 2 3 a1 an 180 从而a1 an 60 答案 2016 4 可以把an与Sn结合起来 给计算带来很大便利 是解决等差数列的有效方法 巧用性质 减少运算量 在等差 等比数列的计算中非常重要 但也要用好 基本量法 运用方程的思想 知三求二 规律方法 1 利用等差数列 an 的性质 若m n p q m n p q N 则am an ap aq 2 等差数列 an 的前n项和为Sn 则Sk S2k Sk S3k S2k S4k S3k是等差数列 互动探究 B 2 2014年重庆 在等差数列 an 中 a1 2 a3 a5 10 则 a7 A 5 B 8 C 10 D 14 解析 方法一 a1 2 a3 a5 2a1 6d 4 6d 10 d 1 则a7 a1 6d 8 方法二 a1 2 a3 a5 10 a1 a7 a7 8 3 2015年广东 在等差数列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 25 则a2 a8 10 解析 因为 an 是等差数列 所以a3 a7 a4 a6 a2 a8 2a5 a3 a4 a5 a6 a7 5a5 25即a5 5 所以a2 a8 2a5 10 故应填入10 考点3 等差数列前n项和的最值问题 例3 1 2013年新课标 等差数列 an 的前n项和为Sn 已知S10 0 S15 25 则nSn的最小值为 答案 49 2 2014年北京 若等差数列 an 满足a7 a8 a9 0 a7 a10 0 则当n 时 an 的前n项和最大 解析 由等差数列的性质 a7 a8 a9 3a8 a8 0 又 a7 a10 0 所以a8 a9 0 a9 0 所以S8 S7 S8 S9 故数列 an 的前8项和最大 答案 8 互动探究 4 2014年江西 在等差数列 an 中 a1 7 公差为d 前n项和为Sn 当且仅当n 8时Sn取最大值 则d的取值范围为 思想与方法 利用函数的思想求等差数列的最值 例题 在等差数列 an 中 若a1 25 S17 S9 则Sn的最 大值为 思维点拨 利用前n项和公式和二次函数性质求解 解析 方法一 由S17 S9 得 由二次函数性质知 当n 13时 Sn有最大值169 图5 2 1 方法三 由S17 S9 得a10 a11 a17 0 而a10 a17 a11 a16 a12 a15 a13 a14 故a13 a14 0 d 20 a13 0 a14 0 故当n 13时 Sn有最大值169 方法四 由d 2 得Sn的图象如图5 2 1 图象上一些孤立点 当n 13时 Sn取得最大值169 答案 169 规律方法 求等差数列前n项和的最值 常用的方法 利用等差数列的单调性 求出其正负转折项 利用等差数列的性质求出其正负转折项 便可求得和的最值 将等差数列的前n项和Sn An2 Bn A B为常数 看作二次函数 根据二次函数的性质或图象求最值 1 等差数列的判定方法 1 定义法 an 1 an d n N d是常数 an 是等差数列 2 中项法 2an 1 an an 2 n N an 是等差数列 3 通项公式法 an kn b k b是常数 an 是等差数列 4 前n项和公式法 Sn An2 Bn A B是常数 A 0 an 是等差数列 2 解决与等差数列有关问题时常见的思想方法 1 函数思想 在等差数列中an dn c d c为常数 是关于n的一次函数 或常数函数 Sn an2 bn a b为常数 是关于n的二次函数 或一次函数 2 方程思想 准确分析a1 d an Sn n之间的关系 通过列方程 组 可做到 知三求二 3 整体思想 在应用等差数列 an 的性质 若m n p q m n p q N 则am an ap aq 时 要会用整体思想进行代换