高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 椭圆课件 理.ppt

第九章平面解析几何 9 5椭圆 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 高频小考点 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 椭圆的概念平面内到两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于F1F2 的点的轨迹叫做 两个定点F1 F2叫做椭圆的 两焦点间的距离叫做椭圆的 集合P M MF1 MF2 2a F1F2 2c 其中a 0 c 0 且a c为常数 1 若 则集合P为椭圆 2 若 则集合P为线段 3 若 则集合P为空集 椭圆 焦点 a c a c a c 焦距 知识梳理 1 答案 2 椭圆的标准方程和几何性质 2a 2b 2c a2 b2 c2 答案 点P x0 y0 和椭圆的关系 知识拓展 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内与两个定点F1 F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 2 椭圆上一点P与两焦点F1 F2构成 PF1F2的周长为2a 2c 其中a为椭圆的长半轴长 c为椭圆的半焦距 3 椭圆的离心率e越大 椭圆就越圆 4 方程mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 表示的曲线是椭圆 思考辨析 答案 答案 解析当焦点在x轴上时 10 m m 2 0 10 m m 2 4 m 4 当焦点在y轴上时 m 2 10 m 0 m 2 10 m 4 m 8 4或8 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 解析由题意知25 m2 16 解得m2 9 又m 0 所以m 3 3 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 4 如果方程x2 ky2 2表示焦点在y轴上的椭圆 那么实数k的取值范围是 又k 0 所以0 k 1 0 1 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 返回 解析设P x y 由题意知c2 a2 b2 5 4 1 所以c 1 则F1 1 0 F2 1 0 由题意可得点P到x轴的距离为1 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 例1如图所示 一圆形纸片的圆心为O F是圆内一定点 M是圆周上一动点 把纸片折叠使M与F重合 然后抹平纸片 折痕为CD 设CD与OM交于点P 则点P的轨迹是 解析由条件知PM PF PO PF PO PM OM R OF P点的轨迹是以O F为焦点的椭圆 命题点1椭圆定义的应用 椭圆 题型一椭圆的定义及标准方程 解析答案 例2 1 已知椭圆以坐标轴为对称轴 且长轴是短轴的3倍 并且过点P 3 0 则椭圆的方程为 命题点2利用待定系数法求椭圆方程 解析答案 解析答案 解析设椭圆方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0且m n 椭圆经过点P1 P2 点P1 P2的坐标适合椭圆方程 解析答案 思维升华 思维升华 1 求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法 利用椭圆的定义定形状时 一定要注意常数2a F1F2这一条件 2 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法 具体过程是先定形 再定量 即首先确定焦点所在位置 然后再根据条件建立关于a b的方程组 如果焦点位置不确定 要考虑是否有两解 有时为了解题方便 也可把椭圆方程设为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 的形式 1 已知圆 x 2 2 y2 36的圆心为M 设A为圆上任一点 且点N 2 0 线段AN的垂直平分线交MA于点P 则动点P的轨迹是 解析点P在线段AN的垂直平分线上 故PA PN 又AM是圆的半径 PM PN PM PA AM 6 MN 由椭圆定义知 P的轨迹是椭圆 椭圆 跟踪训练1 解析答案 解析答案 由c2 a2 b2可得b2 4 解析答案 c2 16 且c2 a2 b2 故a2 b2 16 其焦点在y轴上 且c2 25 9 16 解析答案 由 得b2 4 a2 20 解析答案 解析设点B的坐标为 x0 y0 解析答案 题型二椭圆的几何性质 2 解析答案 解析答案 思维升华 由题意知M为线段QF的中点 且OM FQ 又O为线段F1F的中点 F1Q OM F1Q QF F1Q 2OM 解析答案 思维升华 解析答案 思维升华 思维升华 思维升华 1 利用椭圆几何性质的注意点及技巧 注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些量的范围 或者最大值 最小值时 经常用到椭圆标准方程中x y的范围 离心率的范围等不等关系 利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时 要结合图形进行分析 当涉及顶点 焦点 长轴 短轴等椭圆的基本量时 要理清它们之间的内在联系 2 求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时 一般是依据题设得出一个关于a b c的等式或不等式 利用a2 b2 c2消去b 即可求得离心率或离心率的范围 解析在双曲线中m2 n2 c2 跟踪训练2 解析答案 2 已知两定点A 1 0 和B 1 0 动点P x y 在直线l y x 2上移动 椭圆C以A B为焦点且经过点P 则椭圆C的离心率的最大值为 解析A 1 0 关于直线l y x 2的对称点为A 2 1 连结A B交直线l于点P 解析答案 命题点1由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质 解析答案 题型三直线与椭圆的综合问题 设椭圆的半焦距为c 由已知PF1 PF2 解由椭圆的定义 2 若PF1 PQ 求椭圆的离心率e 解析答案 解方法一连结F1Q 如图 设点P x0 y0 在椭圆上 且PF1 PF2 则 解析答案 由椭圆的定义 PF1 PF2 2a QF1 QF2 2a 从而由PF1 PQ PF2 QF2 有QF1 4a 2PF1 解析答案 方法二如图 由椭圆的定义 PF1 PF2 2a QF1 QF2 2a 从而由PF1 PQ PF2 QF2 有QF1 4a 2PF1 解析答案 命题点2由直线与椭圆的位置关系研究直线的性质 解析答案 2 过F的直线与椭圆交于A B两点 线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P C 若PC 2AB 求直线AB的方程 解析答案 思维升华 当AB与x轴不垂直时 设直线AB的方程为y k x 1 A x1 y1 B x2 y2 将AB的方程代入椭圆方程 得 1 2k2 x2 4k2x 2 k2 1 0 解析答案 若k 0 则线段AB的垂直平分线为y轴 与左准线平行 不合题意 思维升华 解得k 1 此时直线AB的方程为y x 1或y x 1 思维升华 思维升华 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题 其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立 消元 化简 然后应用根与系数的关系建立方程 解决相关问题 涉及弦中点的问题时用 点差法 解决 往往会更简单 2015 北京 已知椭圆C x2 3y2 3 过点D 1 0 且不过点E 2 1 的直线与椭圆C交于A B两点 直线AE与直线x 3交于点M 1 求椭圆C的离心率 跟踪训练3 解析答案 2 若AB垂直于x轴 求直线BM的斜率 解因为AB过点D 1 0 且垂直于x轴 所以可设A 1 y1 B 1 y1 直线AE的方程为y 1 1 y1 x 2 令x 3 得M 3 2 y1 解析答案 3 试判断直线BM与直线DE的位置关系 并说明理由 解析答案 解直线BM与直线DE平行 证明如下 当直线AB的斜率不存在时 由 2 可知kBM 1 解析答案 解析答案 所以kBM 1 kDE 所以BM DE 综上可知 直线BM与直线DE平行 返回 高频小考点 8 高考中求椭圆的离心率问题 高频小考点 解析答案 AF BF 4 AF AF0 4 a 2 解析如图 设左焦点为F0 连结F0A F0B 则四边形AFBF0为平行四边形 解析答案 温馨提醒 返回 解析答案 温馨提醒 3b4 4a2c2 解析答案 温馨提醒 温馨提醒 温馨提醒 离心率是椭圆的重要几何性质 是高考重点考查的一个知识点 这类问题一般有两类 一类是根据一定的条件求椭圆的离心率 另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围 无论是哪类问题 其难点都是建立关于a b c的关系式 等式或不等式 并且最后要把其中的b用a c表达 转化为关于离心率e的关系式 这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法 返回 思想方法感悟提高 1 椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性 正确理解 掌握定义是关键 应注意定义中的常数大于F1F2 避免了动点轨迹是线段或不存在的情况 方法与技巧 3 讨论椭圆的几何性质时 离心率问题是重点 求离心率的常用方法有以下两种 2 列出关于a b c的齐次方程 或不等式 然后根据b2 a2 c2 消去b 转化成关于e的方程 或不等式 求解 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 PF2 6 PF1 2a PF2 10 6 4 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A B两点 且AB 3 3 已知F1 1 0 F2 1 0 是椭圆C的两个焦点 过F2且垂直于x的直线与椭圆C交于A B两点 且AB 3 则C的方程为 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析当 PF1F2为直角时 根据椭圆的对称性知 这样的点P有2个 同理当 PF2F1为直角时 这样的点P有2个 当P点为椭圆的短轴端点时 F1PF2最大 且为直角 此时这样的点P有2个 故符合要求的点P有6个 6 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由题意知椭圆的两个焦点F1 F2分别是两圆的圆心 且PF1 PF2 10 从而PM PN的最小值为PF1 PF2 1 2 7 7 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为点C在椭圆上 所以由椭圆定义知CA CB 2a 而AB 2c 3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又x2 0 a2 2c2 a2 3c2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以a c 1 又因为椭圆C的右准线为x 4 代入上式解得a 2 c 1 所以b2 3 解由题意知 直线l的方程为y 2 x a 即2x y 2a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 将直线l绕点A旋转 它与椭圆C相交于另一点P 当B F P三点共线时 试确定直线l的斜率 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 又点T在直线AB上 且kNS kAB 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由题意可设P c y0 c为半焦距 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由OP OF OF 知 PFF FPO OF P OPF 解析答案 所以 PFF OF P FPO OPF 180 知 FPO OPF 90 即FP PF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由椭圆定义 得PF PF 2a 4 8 12 从而a 6 得a2 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析设椭圆上一点P的坐标为 x y 即x2 3 y2 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解设椭圆的焦距为2c 则F1 c 0 F2 c 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若F1C AB 求椭圆离心率e的值 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解因为B 0 b F2 c 0 在直线AB上 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又AC垂直于x轴 由椭圆的对称性 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又b2 a2 c2 整理得a2 5c2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解由题意知2a 4 则a 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 求 ABQ面积的最大值 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解设A x1 y1 B x2 y2 将y kx m代入椭圆E的方程 可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 16 0 由 0 可得m2 4 16k2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为直线y kx m与y轴交点的坐标为 0 m 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 将y kx m代入椭圆C的方程 可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 4 0 由 0 可得m2 1 4k2 由 可知0 t 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由 知 ABQ面积为3S 返回