同济大学高等数学第七版1-1映射与函数.ppt

第一章 分析基础 函数 极限 连续 研究对象 研究方法 研究桥梁 函数与极限 第一章 二 映射 三 函数 一 集合 第一节 机动目录上页下页返回结束 映射与函数 四 初等函数 元素a属于集合M 记作 元素a不属于集合M 记作 一 集合 1 定义及表示法 定义1 具有某种特定性质的事物的总体称为集合 组成集合的事物称为元素 不含任何元素的集合称为空集 记作 机动目录上页下页返回结束 表示法 1 列举法 按某种方式列出集合中的全体元素 例 有限集合 自然数集 2 描述法 x所具有的特征 例 整数集合 或 有理数集 p与q互质 实数集合 x为有理数或无理数 机动目录上页下页返回结束 注 M为数集 表示M中排除0的集 表示M中排除0与负数的集 是B的子集 或称B包含A 2 集合之间的关系及运算 定义2 则称A 若 且 则称A与B相等 例如 显然有下列关系 若 设有集合 记作 记作 必有 机动目录上页下页返回结束 定义3 给定两个集合A B 并集 交集 且 差集 且 定义下列运算 余集 直积 特例 为平面上的全体点集 机动目录上页下页返回结束 或 3 区间与领域 是指介于某两个实数之间的全体实数 这两个实数叫做区间的端点 称为开区间 称为闭区间 机动目录上页下页返回结束 区间 称为半开区间 称为半开区间 以上是有限区间 无限区间 机动目录上页下页返回结束 邻域 机动目录上页下页返回结束 绝对值 设a是一个实数 数轴上a所对应的点到原点的距离 称为a的绝对值 记为 一般 机动目录上页下页返回结束 数轴上点x到点a的距离为 运算性质 机动目录上页下页返回结束 逻辑量词 全称量词 任意 A ForAll ForAll 存在量词 E 存在 ThereExist ThereExist 机动目录上页下页返回结束 解释以下命题 对任意实数x 都存在比x更大的实数y 任意两个实数之间 都存在着一个实数 机动目录上页下页返回结束 二 映射 1 映射的概念 某校学生的集合 学号的集合 某班学生的集合 某教室座位的集合 机动目录上页下页返回结束 引例 定义4 设X Y是两个非空集合 若存在一个对应规 则f 使得 有唯一确定的 与之对应 则 称f为从X到Y的映射 记作 元素y称为元素x在映射f下的像 记作 元素x称为元素y在映射f下的原像 机动目录上页下页返回结束 定义域 Df X Rf 值域 注意 1 映射的三要素 定义域 对应规则 值域 2 元素x的像y是唯一的 但y的原像不一定唯一 机动目录上页下页返回结束 对应规则 f 几种映射的类型 满映射 满射 单映射 单射 一一映射 双射 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 定义 则当 由上述映射链可定义由D到Y的 设有映射链 记作 复合映射 时 或 机动目录上页下页返回结束 注意 构成复合映射的条件 不可少 复合映射 三 函数 1 函数的概念 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 2 反函数 教材14页 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 InExcel abs x 机动目录上页下页返回结束 例7 符号函数 Thesignfunction 当x 0 当x 0 当x 0 InExcel sign x 奇函数 机动目录上页下页返回结束 例8 取整函数 当 InExcel x INT x 3 函数的几种特性 1 有界性 2 单调性 3 奇偶性 4 周期性 机动目录上页下页返回结束 3 函数的几种特性 定义 设函数 1 有界性 恒有 则称 在 a b 上为有界函数 否则称 在 a b 上为无界函数 有界函数必介于直线 与 之间 机动目录上页下页返回结束 在D上有上 或下 界 如果存在常数M N 有时还要用到有上界或有下界 使得对任意的 总有 则称 函数 函数在某个区间D上有 界时函数既有上界 也有下界 反之也成立 但当函数 在D上只有上界 或有下界 时 函数在D上无界 机动目录上页下页返回结束 当 时 则称 当 时为有界函数 当 不存在正数 使 则称 当 时 为无界函数 说明 一个函数是否有界与所给的实数集密切相关 同一个函数在不同的实数集是否有界的结论可能不一样 例1设 机动目录上页下页返回结束 时 则称f x 则称 上是单调增加的 上是单调减少的 2 单调性 定义 设函数 且 在 在 单增和单减函数统称为单调函数 机动目录上页下页返回结束 例1 证明 的符号 证明函数 且 的单调性 关键是看 看 机动目录上页下页返回结束 或当 例2 这说明 有时一个函数在整个区间D不是单调的 而将D分成几个小区间 却在每个小区间上是单调的 这需要分别讨论 机动目录上页下页返回结束 3 奇偶性 若 则称f x 为偶函数 若 则称f x 为奇函数 定义 设函数 在对称区间 上有定义 且满足 其图形对称于y轴 其图形对称于原点 机动目录上页下页返回结束 3 奇偶性 说明 若 在x 0有定义 为奇函数时 则当 必有 偶倍奇零 机动目录上页下页返回结束 则此函数在为偶函数 例2判断函数 的奇偶性 解 是偶函数 是奇函数 例1 机动目录上页下页返回结束 是定义在 上的任意函数 证明 是偶函数 是奇函数 证明对于任意的 是偶函数 是奇函数 例3设 一个奇函数与一个偶函数之积是奇函数 补充 两个奇 偶 函数之和仍是奇 偶 函数 之积是偶函数 机动目录上页下页返回结束 4 周期性 且 则称 为周期函数 若 称l为周期 一般指最小正周期 周期为 周期为 注 周期函数不一定存在最小正周期 例如 常量函数 机动目录上页下页返回结束 求周期函数的周期的方法 由此等式中解出l 例 求函数 的周期l 解 机动目录上页下页返回结束 4 复合函数 定义 的定义域内 则 即 设有函数链 称为由 确定的复合函数 u称为中间变量 注意 构成复合函数的条件 不可少 机动目录上页下页返回结束 两个以上函数也可构成复合函数 例如 可定义复合函数 或 机动目录上页下页返回结束 例1 设 求 解 即 机动目录上页下页返回结束 求f x 解 例2 已知 机动目录上页下页返回结束 四 初等函数 1 基本初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 2 初等函数 由常数及基本初等函数 否则称为非初等函数 例如 并可用一个式子表示的函数 经过有限次四则运算和复合步 骤所构成 称为初等函数 可表为 故为初等函数 机动目录上页下页返回结束 1 幂函数 无论 为何值 幂函数在 内总是有定义 反比例函数 定义域为 机动目录上页下页返回结束 幂函数的图形和性质 1 图形都通过点 1 1 2 时 图形过原点 且在 内单调增加 3 时 图形在 内单调减少 图像特点及性质 机动目录上页下页返回结束 2 指数函数 此类函数的特点是 底数均为常数 指数是变量 定义 称为指数函数 用描点法在同一坐标系中 引例 三个函数的图形分别为 它的定义域是整个实数 指数函数 3 曲线从左到右逐渐上升 曲线从左到右逐渐下降 但与x轴不相交 4 与 的图形对称于y轴 1 图形在x轴的上方 2 图形均过点 性质 机动目录上页下页返回结束 3 对数函数的定义 的反函数记为 称为对数函数 指数函数 与对数函数 互为反函数 机动目录上页下页返回结束 对数函数的性质 2 图形在y轴的右方 1 图形均过点 4 与 的图形对称于x轴 不与y轴相交 曲线从左到右逐渐上升 曲线从左到右逐渐下降 3 机动目录上页下页返回结束 特别 自然对数函数 的反函数记为 称为自然对数函数 互为反函数 与 机动目录上页下页返回结束 例1 验证函数 是单调增加的 证 且 是单调增加的 机动目录上页下页返回结束 则此函数为奇函数 判断函数 的奇偶性 解 例2 机动目录上页下页返回结束 4 三角函数 1 是有界函数 是奇函数 4 周期 3 是单增函数 此为最小周期 图形关于原点对称 值域 1 1 1 正弦函数的性质 机动目录上页下页返回结束 2 余弦函数的性质 1 是有界函数 是偶函数对称于y轴 4 周期 3 是单减函数 值域 1 1 机动目录上页下页返回结束 3 正切函数 机动目录上页下页返回结束 正切函数的性质 1 在定义域中是无界函数 2 是奇函数 3 在 内是单调增函数 4 周期为 4 余切函数 性质 1 在定义域 2 是奇函数 3 在 内是单调减函数 4 周期为 中是无界函数 5 正割函数 机动目录上页下页返回结束 6 余割函数 机动目录上页下页返回结束 5 反三角函数 三角函数的对应关系在其定义域内是单值的 但是 它们的反对应关系是多值的 根据反函数的 定义 三角函数在其定义域内是没有反函数的 如果把三角函数的定义域划分成若干个区间 使在每个区间函数的反对应关系是单值的 那么 三角函数在这些区间内都分别存在反函数 机动目录上页下页返回结束 1 反正弦函数的定义 正弦函数 反正弦函数 定义 正弦函数 在 上的反函数 称为 反正弦函数 记为 机动目录上页下页返回结束 反正弦函数的性质 1 在 1 1 上有界函数 2 是奇函数 3 在 上是单调增函数 机动目录上页下页返回结束 2 反余弦函数的定义 余弦函数 反余弦函数 定义 余弦函数 在 上的反函数 称为 反余弦函数 记为 机动目录上页下页返回结束 反余弦函数的性质 1 在 1 1 是有界函数 2 是非奇非偶函数 3 在 上是单调减函数 机动目录上页下页返回结束 3 反正切函数 定义 正切函数 在 内的反函数 称为反正切函数 记为 定义域 值域 其图形 机动目录上页下页返回结束 反正切函数的性质 1 在 2 是奇函数 3 在 上是单调增函数 内是有界函数 机动目录上页下页返回结束 性质 1 在 2 是非奇非偶函数 3 在 内是单调减函数 内是有界函数 4 反余切函数 机动目录上页下页返回结束 注意 1 都是表示角 3 反三角函数的值域称为主值区间 务必牢记 注意反三角函数的定义 定义域和值域 2 机动目录上页下页返回结束 常用几个的初等函数公式 机动目录上页下页返回结束 内容小结 1 集合的概念 定义域对应规律 3 函数的特性 有界性 单调性 奇偶性 周期性 4 反函数与复合函数 2 函数的定义及函数的二要素 5 基本初等函数 机动目录上页下页返回结束