函数的连续与间断.ppt

第九节函数的连续与间断 一 函数的连续性 二 函数的间断点及其分类 三 连续函数的运算 四 初等函数的连续性 五 闭区间上连续函数的性质 六 小结思考题 一 函数的连续性 1 函数的增量 2 连续的定义 例1 证 由定义2知 3 单侧连续 定理 例2 解 右连续但不左连续 4 连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 例如 例3 证 二 函数的间断点及其分类 1 跳跃间断点 例4 解 2 可去间断点 例5 解 注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义 则可使其变为连续点 如例5中 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点 特点 3 第二类间断点 例6 解 例7 解 注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点 狄利克雷函数 在定义域R内每一点处都间断 且都是第二类间断点 仅在x 0处连续 其余各点处处间断 在定义域R内每一点处都间断 但其绝对值处处连续 判断下列间断点类型 例8 解 三 连续函数的运算 定理1 例如 定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数 例如 反三角函数在其定义域内皆连续 定理3 证 将上两步合起来 意义 1 极限符号可以与函数符号互换 例9 解 例10 解 同理可得 定理4 注意定理4是定理3的特殊情况 例如 四 初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的 定理5基本初等函数在定义域内是连续的 均在其定义域内连续 定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的 定义区间是指包含在定义域内的区间 1 初等函数仅在其定义区间内连续 在其定义域内不一定连续 例如 这些孤立点的邻域内没有定义 在0点的邻域内没有定义 注意 注意2 初等函数求极限的方法代入法 例11 例12 解 解 五 闭区间上连续函数的性质 定义 例如 定理1 最大值和最小值定理 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值 注意 1 若区间是开区间 定理不一定成立 2 若区间内有间断点 定理不一定成立 定理2 有界性定理 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 证 定义 几何解释 几何解释 证 由零点定理 推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值 例13 证 由零点定理 例14 证 由零点定理 六 小结 1 函数在一点连续必须满足的三个条件 3 间断点的分类与判别 2 区间上的连续函数 第一类间断点 可去型 跳跃型 第二类间断点 无穷型 振荡型 间断点 见下图 可去型 第一类间断点 跳跃型 无穷型 振荡型 第二类间断点 4 连续函数的和差积商的连续性 6 复合函数的连续性 7 初等函数的连续性 定义区间与定义域的区别 求极限的又一种方法 两个定理 两点意义 5 反函数的连续性 8 有界性定理 最值定理 介值定理 根的存在性定理 注意1 闭区间 2 连续函数 这两点不满足上述定理不一定成立 解题思路 直接法 先利用最值定理 再利用介值定理 辅助函数法 先作辅助函数F x 再利用零点定理 思考题1 思考题1解答 且 但反之不成立 例 但 思考题2 思考题2解答 是它的可去间断点 思考题3 下述命题是否正确 思考题3解答 不正确 例函数 练习题1 练习题1答案 练习题2 练习题2答案 练习题3