傅里叶变换的基本概念及基本定理.ppt

快速抢答 sinc x d x 1 tri x d x 0 5 sinc x d x 1 tri x d x 0 5 0 sinc x 1 0 5d x 0 5 tri x 0 5 恩格斯 Engels 把傅里叶的数学成就与他所推崇的哲学家黑格尔 Hegel 的辩证法相提并论 第三讲二维傅里叶变换的基本概念及基本定理 他写道 傅里叶是一首数学的诗 黑格尔是一首辩证法的诗 满足狄氏条件的函数g x 具有有限周期t 可以在 展为三角傅里叶级数 展开系数 零频分量 基频 谐频 频谱等概念 奇 偶函数的三角级数展开 1 三角傅里叶级数展开 三角傅里叶展开的例子 周期为t 1的方波函数 an fn 频谱图 三角傅里叶展开的例子 练习1 15 求函数f x rect 2x comb x 的傅里叶级数展开系数 三角傅里叶展开的例子 练习0 15 求函数g x rect 2x comb x 的傅里叶级数展开系数 采用指数傅里叶级数展开 可以使展开系数的表达式统一而简洁 二维傅里叶变换 指数傅里叶级数 满足狄氏条件的函数g x 具有有限周期t 可以在 展为指数傅里叶级数 展开系数 零频分量 基频 谐频 频谱等概念 指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表示方式 一种系数可由另一种系数导出 二维傅里叶变换 指数傅里叶级数 思考题利用欧拉公式 证明指数傅里叶系数与三角傅里叶系数之间的关系 二维傅里叶变换2 DFourierTransform从傅里叶级数到傅里叶变换 函数 满足狄氏条件 具有有限周期t 可以展为傅里叶级数 n级谐波频率 n t相邻频率间隔 1 t 二维傅里叶变换2 DFourierTransform从傅里叶级数到傅里叶变换 由于t 分立的n级谐波频率n t f f 连续的频率变量相邻频率间隔 1 t 0 写作df 求和 积分 二维傅里叶变换2 DFourierTransform从傅里叶级数到傅里叶变换 写成两部分对称的形式 这就是傅里叶变换和傅里叶逆变换 二维傅里叶变换2 DFourierTransform一 定义及存在条件 函数f x y 在整个x y平面上绝对可积且满足狄氏条件 有有限个间断点和极值点 没有无穷大间断点 定义函数 f x y 原函数 F fx fy 像函数或频谱函数 傅里叶变换的核 exp j2pfx 二维傅里叶变换2 DFourierTransform一 定义 续 由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换 f x y 和F fx fy 称为傅里叶变换对 x y 和fx fy 称为一对共轭变量 它们在不同的范畴 时空域或频域 描述同一个物理对象 二维傅里叶变换2 DFourierTransform一 定义 续 描述了各频率分量的相对幅值和相移 F fx fy 是f x y 的频谱函数 傅里叶变换作为分解式 由逆变换式 可以把函数f x y 分解成形式为的基元 这种基元函数具有下述性质 1 代表传播方向为的单位振幅的平面波 2 当时 表示零位相线 其与x轴的夹角 函数的线性组合 其频谱 只不过是一个权重因子 3 引入了空间频率的概念 沿等位相线法线方向 综合上述分析 逆傅里叶变换的物理意义是 物函数f x y 可以看成是无数振幅不同 F fx fy dfxdfy 方向不同 cos fx cos fy 的平面波线性叠加的结果 此即傅里叶分解 图1 5 1函数ei2 fxx fyy 的零位相直线族 二维傅里叶变换2 DFourierTransform广义F T 对于某些不符合狄氏条件的函数 求F T 的方法 例 g x y 1 在 不可积 对某个可变换函数组成的系列取极限 不符合狄氏条件的函数 函数系列变换式的极限 原来函数的广义F T 可定义 g x y limrect x t rect y t t 根据广义傅立叶变换的定义和d函数的定义 1 d fx fy 按照广义变换的概念可以得出一系列特殊函数的F T 例1 求 解 计算过程分为三个步骤 显然有 1 选择适当的函数序列 例如 1 5 6 3 求极限 上式就是符号函数的广义傅里叶变换 1 5 7 2 求变换 例2 求 解 1 选择适当的函数序列 例如选取 显然有 2 求变换 1 5 8 令 并利用积分公式 容易求得 3 求极限 由上式取极限最后得到 二 极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶 贝塞尔变换特别适合于圆对称函数的F T 依F T 定义 极坐标变换 令 则在极坐标中 则极坐标下的的二维傅里叶变换定义为 1 7二维傅里叶变换2 DFourierTransform极坐标下的二维傅里叶变换 二维傅里叶变换2 DFourierTransform傅里叶 贝塞尔变换 当f具有园对称性 即仅是半径r的函数 f x y g r q g r 依F T 定义 二维傅里叶变换2 DFourierTransform傅里叶 贝塞尔变换例 利用F B变换求圆域函数的F T 定义 是圆对称函数 作变量替换 令r 2prr 并利用 将频谱函数G f 分别写成实部 余弦变换 和虚部 正弦变换 然后根据g x 的虚 实 奇 偶性质讨论频谱的相应性质 注意 并非实函数的频谱一定是实函数 只有厄米函数 实部为偶函数 虚部为奇函数 的频谱才一定是实函数 二维傅里叶变换2 DFourierTransform 三 虚 实 奇 偶函数的F T 二 F T 定理 F T 的基本性质 1 线性定理Linearity 2 空间缩放Scaling 相似性定理 二 F T 定理空间缩放 注意空域坐标 x y 的扩展 a b 1 导致频域中坐标 fx fy 的压缩及频谱幅度的变化 反之亦然 f 0 2 2 1 2 二 F T 定理3 位移定理Shifting 频率位移 原函数在空间域的相移 导致频谱的位移 空间位移 原函数在空域中的平移 相应的频谱函数振幅分布不变 但位相随频率线性改变 二 F T 定理4 帕色伐 Parseval 定理 若g x 代表加在单位电阻上的电流或电压 则 g x 2dx代表信号的总能量 或总功率 G f 2代表能量 功率 的谱密度 单位频率间隔的能量或功率 Parseval定理说明 信号的能量由 G f 2曲线下面积给出 或者说等于各频率分量的能量之和 能量守恒 二 F T 定理 Parseval定理的证明 交换积分顺序 先对x求积分 利用复指函数的F T 利用d函数的筛选性质 思考题 二 F T 定理5 卷积定理 空域中两个函数的卷积 其F T 是各自F T 的乘积 空域中两个函数的乘积 其F T 是各自F T 的卷积 将时 空域的卷积运算 化为频域的乘积运算 特别有用 亦可用于求复杂函数的F T 和复杂函数的卷积 卷积定理的证明 交换积分顺序 应用位移定理 应用F T 定义 7 自相关定理 9 迭次变换定理 6 互相关定理 表示互功率谱 8 积分定理 10 积分变换定理 12 共轭变换定理若f x y 是非负的实函数 例如光强度 则有具有上述性质的函数称为厄米特函数 11 微分变换定理