高三数学一轮复习第七章不等式第四节基本不等式及其应用课件理.ppt

理数课标版 第四节基本不等式及其应用 1 基本不等式 1 基本不等式 成立的条件 a 0 b 0 2 等号成立的条件 当且仅当 a b时等号成立 3 其中 称为正数a b的算术平均数 称为正数a b的几何平均数 教材研读 2 几个重要的不等式 1 a2 b2 2ab a b R 当且仅当a b时取等号 2 ab a b R 当且仅当a b时取等号 3 a b R 当且仅当a b时取等号 4 2 a b同号 当且仅当a b时取等号 3 利用基本不等式求最值已知x 0 y 0 则 1 如果积xy是定值p 那么当且仅当 x y时 x y有最 小值 是 2 简记 积定和最小 2 如果和x y是定值s 那么当且仅当 x y时 xy有最 大值 是 简记 和定积最大 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 两个不等式a2 b2 2ab与 成立的条件是相同的 2 a b 2 4ab a b R 3 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 4 函数y x 的最小值是2 5 x 0且y 0是 2的充分不必要条件 1 若a b R 且ab 0 则下列不等式中 恒成立的是 A a2 b2 2abB a b 2C D 2答案D对A 当a b 1时 满足ab 0 但a2 b2 2ab 所以A错 对B C 当a b 1时 满足ab 0 但a b0 0 显然B C不对 对D 当ab 0时 2 2当且仅当 时等号成立 故选D 2 已知f x x 2 x 0 则f x 有 A 最大值0B 最小值0C 最大值 4D 最小值 4 答案C x 0 f x 2 2 2 4 当且仅当 x 即x 1时取等号 f x 有最大值 4 3 若x 0 y 0且x y 则xy的最大值为 A B 2C D 答案D x 0 y 0 x y 2 即 xy xy max 4 若实数x y满足xy 1 则x2 2y2的最小值为 答案2解析 x2 2y2 2 2xy 2 当且仅当x y时取 x2 2y2的最小值为2 5 若利用总长为20m的篱笆围成一个矩形场地 则矩形场地的最大面积是 答案25m2解析设矩形场地的一边长为xm 0 x 10 则其邻边长为 10 x m 面积S x 10 x 25 当且仅当x 10 x 即x 5时等号成立 所以当矩形场地的长与宽相等 即都为5m时面积取到最大值 最大面积为25m2 考点一利用基本不等式求最值典例1 1 已知a 0 b 0 且4a b 1 求ab的最大值 2 若正数x y满足x 3y 5xy 求3x 4y的最小值 3 已知正数x y满足x 2y 1 求 的最小值 解析 1 解法一 a 0 b 0 4a b 1 1 4a b 2 4 当且仅当4a b 即a b 时 等号成立 ab 所以ab的最大值为 解法二 4a b 1 ab 4a b 考点突破 当且仅当4a b 即a b 满足a 0 b 0 时 等号成立 所以ab的最大值为 2 由x 3y 5xy x 0 y 0 得 5 则3x 4y 3x 4y 13 12 5 当且仅当 即x 2y时 成立 此时由解得 满足x 0 y 0 故3x 4y的最小值为5 3 因为正数x y满足x 2y 1 所以 x 2y 2 2 4 4 2 8 当且仅当 即x 2y时取等号 所以 的最小值为8 方法技巧 1 利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值 主要有两种思路 对条件使用基本不等式 建立相应的不等式求解 对条件变形 以进行 1 的代换 从而利用基本不等式求最值 2 有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件 但可以通过添项 分离常数 平方等手段使之能运用基本不等式 常用的方法还有 拆项法 变系数法 凑因子法 换元法 整体代换法等 1 1 2017四川乐山一中月考 设0 x 则函数y 4x 3 2x 的最大值为 答案 解析y 4x 3 2x 2 2x 3 2x 2 当且仅当2x 3 2x 即x 时 等号成立 函数y 4x 3 2x 的最大值为 1 2已知x 则函数y 4x 2 的最大值为 答案1 解析 x0 y 4x 2 3 2 3 1 当且仅当5 4x 即x 1时 等号成立 故ymax 1 1 3设0 x 1 a b为正常数 则 的最小值为 答案 a b 2解析 x 1 x a2 b2 a2 b2 2 a b 2 当且仅当x 时取等号 的最小值为 a b 2 考点二基本不等式的实际应用典例2 1 2014福建 13 4分 要制作一个容积为4m3 高为1m的无盖长方体容器 已知该容器的底面造价是每平方米20元 侧面造价是每平方米10元 则该容器的最低总造价是 A 80元B 120元C 160元D 240元 2 某公司租地建仓库 每月土地占用费y1 单位 万元 与仓库到车站的距离成反比 而每月库存货物的运费y2 单位 万元 与仓库到车站的距离成正比 如果在距离车站10千米处建仓库 这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元 那么要使这两项费用之和最小 仓库应建在离车站千米处 答案 1 C 2 5解析 1 设底面相邻两边的边长分别为xm ym 总造价为T元 则xy 1 4 xy 4 T 4 20 2x 2y 1 10 80 20 x y 80 20 2 80 20 4 160 当且仅当x y时取等号 故该容器的最低总造价是160元 2 由已知可得y1 y2 0 8x 其中x 单位 千米 为仓库与车站之间的距离 则费用之和y y1 y2 0 8x 2 8 当且仅当0 8x 即x 5时 取等号 易错警示对于实际问题 在审题和建模时一定不可忽略对变量范围的准确挖掘 一般地 每个表示实际意义的代数式必须取正值 由此可得变量的范围 然后利用基本不等式求最值 2 1某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD 公园由形状为长方形的休闲区A1B1C1D1和人行道 阴影部分 组成 已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米 人行道的宽分别为4米和10米 如图所示 1 若设休闲区的长和宽的比 x x 1 求公园ABCD所占面积S关于x的函数S x 的解析式 2 要使公园所占面积最小 则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计 解析 1 设休闲区的宽为a米 则长为ax米 由a2x 4000 得a 则S x a 8 ax 20 a2x 8x 20 a 160 4000 8x 20 160 80 4160 x 1 2 80 4160 80 2 4160 1600 4160 5760 当且仅当2 即x 2 5时 等号成立 此时a 40 ax 100 所以要使公园所占面积最小 休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别设计为100米 40米 考点三含参问题典例3 1 已知不等式 x y 9对任意的正实数x y恒成立 则正实数a的最小值为 A 2B 4C 6D 8 2 已知正数a b满足 1 若不等式a b x2 4x 18 m对任意实数x恒成立 则实数m的取值范围是 A 3 B 3 C 6 D 6 当y x时取等号 所以 x y 的最小值为 1 2 于是 1 2 9恒成立 所以a 4 故选B 2 因为a 0 b 0 1 所以a b a b 10 10 2 16 当且仅当a 4 b 12时取等号 由题意 得16 x2 4x 18 m对任意实数x恒成立 即x2 4x 2 m对任意实数x恒成立 又因为x2 4x 2 x 2 2 6 所以x2 4x 2的最小值为 6 所以 6 m 即m 6 答案 1 B 2 D解析 1 x y 1 a 1 a 2 1 2 x y a 0 当且仅 易错警示1 在应用基本不等式求最值时 要把握三个条件 即 一正 各项都是正数 二定 和或积为定值 三相等 等号能取得 这三个条件缺一不可 2 若无明显 定值 则常用配凑的方法 使和为定值或积为定值 当多次使用基本不等式时 一定要注意每次是否能保证等号成立 并且要注意取等号的条件的一致性 否则就会出错 因此在利用基本不等式处理问题时 列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤 而且也是检验转换是否有误的一种方法 3 1 2016福建四地六校联考 已知函数f x x 2的值域为 0 4 则a的值是 A B C 1D 2答案C由题意可得a 0 当x 0时 f x x 2 2 2 当且仅当x 时取等号 当x 0时 f x x 2 2 2 当且仅当x 时取等号 所以解得a 1 故选C 3 2若两个正实数x y满足 1 并且x 2y m2 2m恒成立 则实数m的取值范围是 A 2 4 B 4 2 C 2 4 D 4 2 答案Dx 2y x 2y 2 2 8 当且仅当 即4y2 x2时等号成立 因x 2y m2 2m恒成立 故m2 2m 8 即m2 2m 8 0 解得 4 m 2 故选D