大数定律、中心极限定理.ppt

概率论与数理统计 5 1大数定律 5 2中心极限定理 广东金融学院应用数学系 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科 所以 要从随机现象中去寻求统计规律 就应该对随机现象进行大量的观测 第五章极限定理 随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量的重复试验才能呈现出来 研究随机现象的大量观测 常采用极限形式 由此导致了极限定理的研究 极限定理的内容很广泛 最重要的有两种 大数定律 和 中心极限定理 对随机现象进行大量重复观测 各种结果的出现频率具有稳定性 5 1大数定律 大量地掷硬币正面出现频率 字母使用频率 生产过程中废品率 5 1 1切比雪夫不等式 定理1 设随机变量X有期望 和方差 2 则对任给的 0 有 或 证明 只对X是连续型情况加以证明 设X的概率密度函数为f x 则有 放大被积函数 放大积分域 5 1 2大数定律 首先引入随机变量序列相互独立的概念 定义1 设X1 X2 是一随机变量序列 如果对任意的n 1 X1 X2 Xn相互独立 则称X1 X2 相互独立 几个常见的大数定律 定理2 切比雪夫大数定律 设随机变量序列X1 X2 相互独立 且有相同的期望和方差 E Xi Var Xi 2 i 1 2 则对任意的 0 有 证明 令n 并注意到概率小于等于1 得 1 式 定理证毕 该大数定律表明 无论正数 怎样小 只要n充分大 事件发生的概率均可任意地接近于1 即当n充分大时 差不多不再是随机变量 其取值接近于其数学期望 的概率接近于1 在概率论中 将 1 式所表示的收敛性称为随机变量序列依概率收敛于 记为 请注意 下面再给出定理2的一种特例 贝努里大数定律 设nA是n重贝努里试验中事件A发生的频数 p是每次试验中A发生的概率 引入 于是 有下面定理 设nA是n重贝努里试验中事件A发生的频数 p是A发生的概率 对任给的 0 有 定理3 贝努里大数定律 或 贝努里大数定律表明 当重复试验次数n充分大时 事件A发生的频率nA n与事件A发生的概率p有一定偏差的概率很小 例在一个罐子中 装有10个编号为0 9的同样的球 从罐中有放回地抽取若干次 每次抽一个 并记下号码 问对序列 Xk 能否应用大数定律 即对任意的 0 解 诸Xk独立同分布 且期望存在 故能使用大数定律 中心极限定理是棣莫弗 DeMoivre 在18世纪首先提出的 到现在内容已十分丰富 在这里 我们只介绍其中两个最基本的结论 5 2中心极限定理 当n无限增大时 独立同分布随机变量之和的极限分布是正态分布 2 当n很大时 二项分布可用正态分布近似 由于无穷个随机变量之和可能趋于 故我们不研究n个随机变量之和本身 而只考虑其标准化的随机变量 的极限分布 的极限分布 可以证明 当 Xn 满足一定条件时 Zn的极限分布是标准正态分布 考虑 概率论中 常把随机变量之和标准化后的分布收敛于正态分布的定理称为中心极限定理 中心极限定理的几种简单情形 下面给出独立同分布随机变量序列和的中心极限定理 称作列维 林德伯格 Levy Lindberg 定理 定理1 列维 林德伯格定理 即独立同分布的中心极限定理 设X1 X2 是独立同分布随机变量序列 且E Xi Var Xi 2 对任给x 均有 其中 x 是标准正态分布N 0 1 的分布函数 还有另一记法 例1 设一批产品的强度服从期望为14 方差为4的分布 每箱中装有这种产品100件 求 1 每箱产品的平均强度超过14 5的概率 2 每箱产品的平均强度超过期望14的概率 解 n 100 设Xi是第i件产品的强度 则E Xi 14 Var Xi 4 i 1 2 100 每箱产品的平均强度为 根据定理1 有 例一部件包括10部分 每部分的长度是一个随机变量 相互独立 且具有同一分布 其数学期望是2mm 均方差是0 05mm 规定总长度为20 0 1mm时产品合格 试求产品合格的概率 解设部件的总长度为X 每部分的长度为Xi i 1 2 10 则 由定理4可知 X近似地服从正态分布 即 则产品合格的概率为 定理2 棣莫佛 拉普拉斯定理 定理2表明 当n很大时 二项分布Yn标准化后的分布近似于标准正态分布N 0 1 设随机变量Yn服从参数为 n p 的二项分布 0 p 1 则对任意x 均有 例2 某公司有200名员工参加一种资格证书考试 按往年经验 考试通过率为0 8 试计算这200名员工至少有150人考试通过的概率 解 令 依题设 知P Xi 1 0 8 np 200 0 8 160 np 1 p 32 X1 X2 X200是考试通过人数 因Xi满足棣莫佛 拉普拉斯定理的条件 故依此定理 近似地有 于是 例3 某市保险公司开办一年人身保险业务 被保人每年需交付保费160元 若一年内发生重大人身事故 其本人或家属获赔付金2万元 己知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0 005 现有5000人参加此项保险 求 保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万元到40万元之间的概率 解 令 由Xi B 1 p p 0 005 X1 X2 X5000相互独立 得 P 20万元 总收益 40万元 P 20万元 0 016万元 参保人数 2万元 一年内发生重大人身事故人数 40万元 P 20 0 016 5000 2 X1 X2 X5000 40 所以 近似服从标准正态分布 2 解 在100次抽取中 数码 0 出现次数为 由中心极限定理 即 其中E Xk 0 1 D Xk 0 09 即在100次抽取中 数码 0 出现次数在7和13之间的概率为0 6826 0 6826 小结 本讲首先介绍了两个大数定律 切比雪夫大数定律 贝努里大数定律 切比雪夫大数定律如下 设随机变量序列X1 X2 相互独立 且有相同的期望和方差 E Xi Var Xi 2 i 1 2 则对任意的 0 有 贝努里大数定律是切比雪夫大数定律的特例 设nA是n重贝努里试验中事件A发生的频数 p是A发生的概率 对任给的 0 有 其后介绍了两个中心极限定理 列维 林德伯格定理 独立同分布的中心极限定理 和棣莫佛 拉普拉斯定理 棣莫佛 拉普拉斯定理的内容是 当n很大时 二项分布可用正态分布近似 列维 林德伯格定理的内容是 独立同分布随机变量之和标准化之后的极限分布是标准正态分布