合情推理与演绎推理.ppt

13 3合情推理与演绎推理要点梳理1 合情推理主要包括和 合情推理的过程 从具体问题出发 观察 分析 比较 联想 归纳 类比 提出猜想 归纳推理 类比推理 基础知识自主学习 1 归纳推理 由某类事物的具有某些特征 推出该类事物的都具有这些特征的推理 或者由概括出的推理 称为归纳推理 简称归纳 简言之 归纳推理是由到 由个别到的推理 归纳推理的基本模式 结论 d M d也具有某属性 2 类比推理 由具有某些类似特征和其中的某些已知特征 推出也具有这些特征的推理称为类比推理 简称类比 简言之 类比推理是由的推理 a b c M且a b c具有 某属性 两类对象 一类对象 另一类对象 特殊到特殊 部分对象 全部对象 个别事实 一般结论 部分 整体 一般 类比推理的基本模式 A 具有属性a b c d B 结论 B具有属性d a b c d与a b c d 相似或相同 2 演绎推理 从的原理出发 推出某个的结论 我们把这种推理称为演绎推理 简言之 演绎推理是由到的推理 具有属性a b c 一般性 特 殊情况下 一般 特殊 1 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊情况 结论 根据一般原理 对特殊情况做出的判断 2 三段论 可以表示为 大前提 M是P 小前提 S是M 结论 S是P 用集合说明 即若集合M的所有元素都具有性质P S是M的一个子集 那么S中所有元素也都具有性质P 基础自测1 下面几种推理是合情推理的是 由圆的性质类比出球的有关性质 由直角三角形 等腰三角形 等边三角形的内角和是180 归纳出所有三角形的内角和都是180 张莉某次考试成绩是100分 由此推出全班同学的成绩都是100分 三角形内角和是180 四边形内角和是360 五边形内角和是540 由此得凸n边形内角和是 n 2 180 A B C D 解析 是类比推理 是归纳推理 是归纳推理 所以 为合情推理 C 2 下面几种推理过程是演绎推理的是 A 两条直线平行 同旁内角互补 如果 A和 B是两条平行直线的同旁内角 则 A B 180 B 某校高三 1 班有55人 2 班有54人 3 班有52人 由此得高三所有班人数超过50人C 由平面三角形的性质 推测空间四边形的性质D 在数列 an 中 a1 1 n 2 由此归纳出 an 的通项公式解析两条直线平行 同旁内角互补大前提 A与 B是两条平行直线的同旁内角小前提 A B 180 结论 A 3 某同学在电脑上打下了一串黑白圆 如图所示 按这种规律往下排 那么第36个圆的颜色应是 A 白色B 黑色C 白色可能性大D 黑色可能性大解析由图知 图形是三白二黑的圆周而复始相继排列 是一个周期为5的三白二黑的圆列 因为36 5 7余1 所以第36个圆应与第1个圆颜色相同 即白色 A 4 给出下列三个类比结论 ab n anbn与 a b n类比 则有 a b n an bn loga xy logax logay与sin 类比 则有sin sin sin a b 2 a2 2ab b2与 a b 2类比 则有 a b 2 a2 2a b b2 其中结论正确的个数是 A 0B 1C 2D 3解析 正确 B 5 若数列 an 中 a1 1 a2 3 5 a3 7 9 11 a4 13 15 17 19 则a8 解析由a1 a2 a3 a4的形式可归纳 1 2 3 4 7 a8的首项应为第29个正奇数 即2 29 1 57 a8 57 59 61 63 65 67 69 71 512 题型一归纳推理在数列 an 中 a1 1 an 1 n N 猜想这个数列的通项公式 这个猜想正确吗 请说明理由 根据已知条件和递推关系 先求出数列的前几项 然后总结归纳其中的规律 写出其通项公式 解在 an 中 a1 1 a2 所以猜想 an 的通项公式 思维启迪 题型分类深度剖析 这个猜想是正确的 证明如下 通过归纳推理得出的结论可能正确 也可能不正确 它的正确性需通过严格的证明 猜想所得结论可用演绎推理给出证明 虽然由归纳推理所得出的结论未必是正确的 但它所具有的由特殊到一般 由具体到抽象的认识过程 对于科学的发明是十分有用的 通过观察实验 对有限的资料作归纳整理 提出带有规律性的猜想 也是数学研究的基本方法之一 归纳推理的一般步骤是 1 通过观察个别情况发现某些相同的性质 2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题 猜想 知能迁移1设先分别求f 0 f 1 f 1 f 2 f 2 f 3 然后归纳猜想一般性结论 并给出证明 解并注意到在这三个特殊式子中 自变量之和均等于1 归纳猜想得 当x1 x2 1时 均有f x1 f x2 证明 设x1 x2 1 题型二类比推理在Rt ABC中 AB AC AD BC于D 求证 那么在四面体A BCD中 类比上述结论 你能得到怎样的猜想 并说明理由 首先利用综合法证明结论正确 然后依据直角三角形与四面体之间形状的对比猜想结论 并予以证明 解如图 所示 由射影定理知AD2 BD DC AB2 BD BC AC2 BC DC 四面体A BCD中 AB AC AD两两垂直 图 如图 连接BE交CD于F 连接AF AB AC AB AD AB 平面ACD 而AF 平面ACD AB AF 在Rt ABF中 AE BF 图 类比推理是根据两个对象有一部分属性类似 推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法 例如分式与分数类比 平面几何与立体几何的某些对象类比等 当然类比时有可能出现错误 如 在平面内 直线a b c 若a b b c 则a c 在空间内 三个平面 若 但 与 之间可能平行 也可能相交 知能迁移2已知O是 ABC内任意一点 连结AO BO CO并延长交对边于A B C 则这是一道平面几何题 其证明常采用 面积法 请运用类比思想 对于空间中的四面体V BCD 存在什么类似的结论 并用体积法证明 证明在四面体V BCD中 任取一点O 连结VO DO BO CO并延长分别交四个面于E F G H点 题型三演绎推理 12分 1 证明函数f x x2 2x在 1 上是增函数 2 判断函数f x 在区间 5 2 上的单调性 并加以说明 1 证明本题的大前提是增函数的定义 即增函数f x 满足 在给定区间内任取自变量的两个值x1 x2 且x1 x2 f x1 f x2 小前提是函数f x x2 2x x 1 结论是满足增函数定义 2 关键是看 5 2 与f x 的增区间或减区间的关系 解 1 方法一任取x1 x2 1 x10 f x 0在x 1 上恒成立 6分故f x 在 1 上是增函数 8分 2 f x 在 1 上是增函数 9分而 5 2 是区间 1 的子区间 11分 f x 在 5 2 上是增函数 12分三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是 若集合M的所有元素都具有性质P S是M的子集 那么S中所有元素都具有性质P 三段论推理中包含三个判断 第一个判断称为大前提 它提供了一个一般的原理 第二个判断叫小前提 它指出了一个特殊情况 这两个判断联合起来 揭示了一般原理和特殊情况的内在联系 从而产生了第三个判断 结论 知能迁移3已知函数 x R 1 判定函数f x 的奇偶性 2 判定函数f x 在R上的单调性 并证明 解 1 对 x R有 x R 所以f x 是奇函数 2 f x 在R上单调递增 证明如下 任取x1 x2 R 并且x1 x2 x1 x2 2x1 2x2 0 即2x1 2x2 0 又 2x1 1 0 2x2 1 0 f x1 f x2 f x 在R上为单调递增函数 思想方法感悟提高方法与技巧1 合情推理主要包括归纳推理和类比推理 数学研究中 在得到一个新结论前 合情推理能帮助猜测和发现结论 在证明一个数学结论之前 合情推理常常能为证明提供思路与方向 2 合情推理的过程概括为 从具体问题出发 观察 分析 比较 联想 归纳 类比 提出猜想 3 演绎推理是从一般的原理出发 推出某个特殊情况的结论的推理方法 是由一般到特殊的推理 常用的一般模式是三段论 数学问题的证明主要通过演绎推理来进行 4 合情推理仅是 合乎情理 的推理 它得到的结论不一定正确 但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律 为我们提供证明的思路和方法 而演绎推理得到的结论一定正确 前提和推理形式都正确的前提下 失误与防范1 合情推理是从已知的结论推测未知的结论 发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明 2 演绎推理是由一般到特殊的证明 它常用来证明和推理数学问题 注意推理过程的严密性 书写格式的规范性 3 合情推理中运用猜想时不能凭空想象 要有猜想或拓展依据 一 选择题1 下面使用类比推理恰当的是 A 若a 3 b 3 则a b 类推出 若a 0 b 0 则a b B a b c ac bc 类推出 C a b c ac bc 类推出 c 0 D ab n anbn 类推出 a b n an bn 解析由类比推理的特点可知 C 定时检测 2 2009 湖北文 10 古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数 比如 他们研究过图 1 中的1 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形数 类似的 称图 2 中的1 4 9 16 这样的数为正方形数 下列数中既是三角形数又是正方形数的是 A 289B 1024C 1225D 1378解析设图 1 中数列1 3 6 10 的通项公式为an 其解法如下 a2 a1 2 a3 a2 3 a4 a3 4 an an 1 n 故an a1 2 3 4 n 而图 2 中数列的通项公式为bn n2 因此所给的选项中只有1225满足 C 3 给出下面类比推理命题 其中Q为有理数集 R为实数集 C为复数集 若a b R 则a b 0 a b 类比推出 若a b C 则a b 0 a b 若a b c d R 则复数a bi c di a c b d 类比推出 若a b c d Q 则a b c d a c b d 若 a b R 则a b 0 a b 类比推出 若a b C 则a b 0 a b 其中类比结论正确的个数是 A 0B 1C 2D 3解析 正确 错误 因为两个复数如果不全是实数 不能比较大小 C 4 2009 山东理 10 定义在R上的函数f x 满足则f 2009 的值为 A 1B 0C 1D 2解析当x 0时 f x f x 1 f x 2 f x 1 f x f x 1 f x 1 f x 2 即f x 3 f x f x 6 f x 即当x 0时 函数f x 的周期是6 又 f 2009 f 334 6 5 f 5 由已知得f 1 log22 1 f 0 0 f 1 f 0 f 1 1 f 2 f 1 f 0 1 f 3 f 2 f 1 1 1 0 f 4 f 3 f 2 0 1 1 f 5 f 4 f 3 1 C 5 定义A B B C C D D A的运算分别对应下图中的 1 2 3 4 那么下图中的 A B 所对应的运算结果可能是 A B D A DB B D A CC B C A DD C D A D 解析由 1 2 3 4 图得A表示 B表示 C表示 D表示 故图 A B 表示B D和A C 答案B 6 设又记f1 x f x fk 1 x f fk x k 1 2 则f2009 x 等于 A B xC D 解析 D 二 填空题7 考察下列一组不等式 23 53 22 5 2 52 24 54 23 5 2 53 25 55 23 52 22 53 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广 使以上的不等式成为推广不等式的特例 则推广的不等式可以是 注 填2m n 5m n 2m5n 2n5m m n为正整数 也对 am n bm n ambn anbm a b 0 a b m n 0 或a b 0 a b m n为正整数 8 2009 江苏 8 在平面上 若两个正三角形的边长比为1 2 则它们的面积比为1 4 类似地 在空间中 若两个正四面体的棱长比为1 2 则它们的体积比为 解析 两个正三角形是相似的三角形 它们的面积之比是相似比的平方 同理 两个正四面体是两个相似几何体 体积之比为相似比的立方 所以它们的体积比为1 8 1 8 9 现有一个关于平面图形的命题 如图所示 同一个平面内有两个边长都是a的正方形 其中一个的某顶点在另一个的中心 则这两个正方形重叠部分的面积恒为 类比到空间 有两个棱长均为a的正方体 其中一个的某顶点在另一个的中心 则这两个正方体重叠部分的体积恒为 解析在已知的平面图形中 中心O到两边的距离相等 如右图 即OM ON 四边形OPAR是圆内接四边形 所以Rt OPN Rt ORM 因此S四边形OPAR S正方形OMAN 同样地 类比到空间 如下图 两个棱长均为a的正方体重叠部分的体积为 答案 三 解答题10 把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比 试由 平行四边形对边相等 得出平行六面体的相关性质 解如图所示 由平行四边形的性质可知AB DC AD BC 于是类比平行四边形的性质 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中 我们猜想 S ABCD S S S S S 且由平行六面体对面是全等的平行四边形知 此猜想是正确的 11 用三段论的形式写出下列演绎推理 1 若两角是对顶角 则两角相等 所以若两角不相等 则两角不是对顶角 2 矩形的对角线相等 正方形是矩形 所以 正方形的对角线相等 3 0 332是有理数 4 y sinx x R 是周期函数 解 1 若两个角是对顶角 则两角相等 大前提 1和 2不相等 小前提 1和 2不是对顶角 结论 2 每一个矩形的对角线相等 大前提 正方形是矩形 小前提 正方形的对角线相等 结论 3 所有的循环小数是有理数 大前提 0 332是循环小数 小前提 所以0 332是有理数 结论 4 三角函数是周期函数 大前提 y sinx是三角函数 小前提 y sinx是周期函数 结论 12 已知椭圆具有性质 若M N是椭圆C上关于原点对称的两个点 点P是椭圆上任意一点 当直线PM PN的斜率都存在 并记为kPM kPN时 那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值 试对双曲线写出具有类似特性的性质 并加以证明 解类似的性质为 若M N是双曲线上关于原点对称的两个点 点P是双曲线上任意一点 当直线PM PN的斜率都存在 并记为kPM kPN时 那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值 证明如下 设点M P的坐标分别为 m n x y 则N m n 因为点M m n 在已知双曲线上 返回