条件概率与独立性.ppt

1 3条件概率与独立性 一 条件概率 1 条件概率的概念 一般地P A B P A P A g g b b b g g b A b b b g g b B b g g b 记g表示女孩 b表示男孩 则 则在这种情况下事件B的概率为 称这种概率为条件概率 记作 一般地古典概型有 b b b g g b 由于信息增加了 样本空间发生了变化 此 时样本空间为 若事件B已发生 则为使A也发生 试验结果必须是既在B中又在A中的样本点 即此点必属于AB 由于我们已经知道B已发生 故B变成了新的样本空间 于是有 设A B是两个事件 且P B 0 则称 2 条件概率的定义 为在事件B发生的条件下 事件A发生的条件概率 定义1 1 3 条件概率的性质 设B是一事件 且P B 0 则 1 对任一事件A 0 P A B 1 并且前面对概率所证明的一些重要性质 2 P B 1 都适用于条件概率 4 条件概率的计算 1 用定义计算 P B 0 2 条件概率计算公式 P A B B发生后的缩减样本空间所含样本点总数 在缩减样本空间中A所含样本点个数 例2掷一颗均匀骰子 例3掷两颗均匀骰子 已知第一颗掷出6点 解法1 解法2 解 设A 掷出点数之和不小于10 B 第一颗掷出6点 应用定义 在B发生后的缩减样本空间中计算 问 掷出点数之和不小于10 的概率是多少 由条件概率的定义 即若P B 0 则P AB P B P A B 2 而P AB P BA 二 乘法公式 若已知P B P A B 时 可以反求P AB 将A B的位置对调 有 故P A 0 则P AB P A P B A 3 若P A 0 则P BA P A P B A 2 和 3 式都称为乘法公式 利用它们可计算两个事件同时发生的概率 注意P AB 与P A B 的区别 件是乙厂生产的 而在这300个零件中 有189个 所求为P AB 甲 乙共生产1000个 189个是标准件 设B 零件是乙厂生产 A 是标准件 例4甲 乙两厂共同生产1000个零件 其中300 这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少 是标准件 现从这1000个零件中任取一个 问 所求为P AB 设B 零件是乙厂生产 A 是标准件 若改为 发现它是乙厂生产的 问它是标准件的概率是多少 求的是P A B B发生 在P AB 中作为结果 在P A B 中作为条件 例5设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0 8 活到25年以上的概率为0 4 问现年20岁的这种动物 它能活到25岁以上的概率是多少 解 设A 能活20年以上 B 能活25年以上 依题意 P A 0 8 P B 0 4 所求为P B A 条件概率P A B 与P A 的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行的 设A是随机试验的一个事件 则P A 是在该试验条件下事件A发生的可能性大小 P A 与P A B 的区别在于两者发生的条件不同 它们是两个不同的概念 在数值上一般也不同 而条件概率P A B 是在原条件下又添加 B发生 这个条件时A发生的可能性大小 即P A B 仍是概率 例6假设在空战中 若甲机先向乙机开火 则 甲 乙被击落的概率 的概率为0 4 在这几个回合中 分别计算 机未被击落 再次向乙机进攻 击落乙机 就进行还击 击落甲机的概率为0 3 若甲 击落乙机的概率为0 2 若乙机未被击落 分析 在这几个回合中 乙机有两次被击落的机会 乙机第次被击落 甲机只有一次被击落的机会 甲机被击落 乙机被击落 已知 显然P A B P A 这就是说 已知事件B发生 并不影响事件A发生的概率 这时称事件A B独立 三 事件的独立性 A 第二次掷出6点 B 第一次掷出6点 先看一个例子 将一颗均匀骰子连掷两次 设 注 1 由乘法公式知 当事件A B独立时 用P AB P A P B 刻划独立性 比用 定义2设事件A B满足 P AB P A P B 1 则称A B独立 或称A B相互独立 P A B P A 或P B A P B 更好 它不受P B 0或P A 0的制约 P AB P A P B 有 P AB P B P A B 2 多个事件的独立性 将两事件独立的定义推广到三个事件 四个等式同时成立 则称事件A B C相互独立 对于三个事件A B C 若 推广到n个事件的独立性定义 可类似写出 包含等式总数为 请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系 两两独立 相互独立 对n n 2 个事件 设A1 A2 An是n个事件 如果对任意k 1 kn 任意1i1 i2 ikn 具有等式则称A1 A2 An为相互独立的事件 例7从一副不含大小王的扑克牌中任取一张 记A 抽到K B 抽到的牌是黑色的 可见 P AB P A P B 由于P A 4 52 1 13 说明事件A B独立 问事件A B是否独立 解 P AB 2 52 1 26 P B 26 52 1 2 3 在实际应用中 往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立 由于 甲命中 并不影响 乙命中 的概率 故认为A B独立 即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率 1 设A B为互斥事件 且P A 0 P B 0 下面四个结论中 正确的是 注意 独立与互斥的区别和联系 1 P B A 02 P A B P A 3 P A B 04 P AB P A P B 2 设A B为独立事件 且P A 0 P B 0 下面四个结论中 正确的是 1 P B A 02 P A B P A 3 P A B 04 P AB P A P B 请你做2个小练习 1 若A B互斥 且P A 0 P B 0 则A与B不独立 2 若A与B独立 且P A 0 P B 0 则A B不互斥 P A 1 P B P A P P A P AB P A P A AB A B独立 故A与独立 概率的性质 P A P A P B 证明 仅证A与独立 A B独立 概率的性质 往证与独立 故与独立 译出的概率分别为1 5 1 3 1 4 问三人中 解 将三人编号为1 2 3 记Ai 第i个人破译出密码 i 1 2 3 1 2 已知 P A1 1 5 P A2 1 3 P A3 1 4 P A1 A2 A3 3 例8三人独立地去破译一份密码 已知各人能 至少有一人能将密码译出的概率是多少 n个独立事件和的概率公式 设事件相互独立 则 P A1 An 也相互独立 也就是说 n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积 如果将上题改为由个人组成小组 在同一 时间内分别破译某一密码 并假设每人能译出 的概率都是0 7 问至少为多少时 才能以 99 9999 的把握将密码译出 P A1 An 因而至少需要12人参加工作 下面是一个串并联电路示意图 A B C D E F G H都是电路中的元件 它们下方的数是它们各自正常工作的概率 求电路正常工作的概率 P W P A P B P C D E P F G P H 解 将电路正常工作记为W 由于各元件独立 其中 P C D E 1 P F G 1 P W 0 782 代入得 工作 有 若某个试验由n次基本试验构成 且具有以下特点 1 每次基本试验有且只有两个可能结果 成功 失败 2 每次基本试验中每个结果出现的概率不变 3 基本试验之间相互独立 4 在相同条件下 试验可以重复进行 则称此试验为独立重复试验或贝努里 Bernoulli 试验 由于该试验由n次基本试验构成 故亦称之为n重贝努里试验 贝努里公式在n重贝努里试验中 如果 成功 在每次试验中出现的概率为p 令Bk 在n次试验中 成功 出现k次 则 贝努里 Bernoulli 概型 例7同时掷四颗均匀的骰子 试计算 1 恰有一颗是6点的概率 2 至少有一颗是6点的概率 解 这是一个4重贝努里试验 掷每一颗骰子就是一个基本试验 每次基本试验中6点出现的概率是1 6 所以 1 恰有一颗是6点的概率为 2 至少有一颗是6点的概率为 例8八门炮同时独立地向一目标各射击一发炮弹 若有不少于2发炮弹命中目标时 目标就被击毁 如果每门炮命中目标的概率为0 6 求目标被击毁的概率 解设一门炮击中目标为事件A P A 0 6 设目标被击毁为事件B 则